增長區(qū)域上具擴(kuò)散的Logistic方程解的漸近性.pdf

1、生物數(shù)學(xué)已經(jīng)成為現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)研究的熱點(diǎn)之一。別地，數(shù)學(xué)在生態(tài)學(xué)中的作用日益重要。對(duì)于生態(tài)學(xué)中產(chǎn)生的許多有趣的問題，數(shù)學(xué)可以通過提供模型和方法來進(jìn)行解釋，反過來再由生態(tài)學(xué)去檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的合理性。數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)的作用是要開發(fā)生態(tài)和數(shù)學(xué)兩者之間的自然關(guān)系，幫助我們對(duì)所觀察到的生態(tài)現(xiàn)象作出科學(xué)的解釋以及作出預(yù)測。
　　 目前人們已經(jīng)建立了大量的生態(tài)數(shù)學(xué)模型，其中的許多模型可以用非線性拋物和橢圓型偏微分方程來描述。擴(kuò)散的Logistic方程就

2、是其中一個(gè)經(jīng)典的標(biāo)量反應(yīng)擴(kuò)散模型，它也是生態(tài)學(xué)中更為復(fù)雜的多種群模型的核心組成部分。人們對(duì)它及其推廣形式已做了深入地研究，取得了相當(dāng)多的結(jié)果。需要指出的是，這些研究所考慮的空間區(qū)域是不變的。我們的問題是，當(dāng)空間區(qū)域隨時(shí)間增長時(shí)，方程解的性質(zhì)會(huì)發(fā)生怎樣的變化?最近，區(qū)域增長已經(jīng)成為了數(shù)學(xué)和生物學(xué)的一個(gè)有趣的話題，它來源于人們?cè)谘芯縏uring模式時(shí)，考慮到了生物體或組織生長對(duì)模式生成和選擇的影響。本文中我們嘗試著將增長區(qū)域運(yùn)用到種群生態(tài)學(xué)

3、中，考慮增長區(qū)域上擴(kuò)散的Logistic方程解的漸近性態(tài)。
　　 第一章，我們簡要地介紹與本文所研究的問題有關(guān)的背景知識(shí)和研究工作的發(fā)展概況。
　　 第二章，我們總結(jié)了固定區(qū)域上擴(kuò)散的Logistic方程在Dirichlet邊界條件下的幾個(gè)經(jīng)典結(jié)論，并給出了證明。
　　 第三章，我們首先建立了n維歐氏空間中的一個(gè)增長區(qū)域上的反應(yīng)擴(kuò)散方程，然后在假定區(qū)域的增長為各向同性的前提下，給出了一維增長區(qū)域上的擴(kuò)散的Logi

4、stic方程。事實(shí)上，在這種情形下我們已經(jīng)把它轉(zhuǎn)換為固定區(qū)域上的新的反應(yīng)擴(kuò)散方程了。
　　 第四章，研究在Dirichlet邊界條件下增長區(qū)域上擴(kuò)散的Logistic方程解的漸近性。我們考慮了兩種區(qū)域增長的情形，即Logistic型增長和無限增長。在區(qū)域具Logistic型增長情形，我們先給出新的方程上下解的定義和比較原理，然后利用上下解方法和已有的經(jīng)典的結(jié)論得出該方程解的全局漸近性態(tài)。結(jié)果表明，區(qū)域的增長對(duì)方程正穩(wěn)態(tài)解的漸近穩(wěn)

5、定起到一個(gè)好的作用，而對(duì)平凡解的漸近穩(wěn)定性有不利的影響。在區(qū)域無限增長情形，我們運(yùn)用同樣的方法討論了新的方程解的全局漸近性態(tài)。結(jié)果表明，當(dāng)區(qū)域無限增長，但增長得較慢時(shí)，種群將擴(kuò)展到整個(gè)區(qū)域，并將穩(wěn)定在一個(gè)正常數(shù)狀態(tài)；如果區(qū)域增長得較快，那么種群終將絕滅。
　　 第五章，我們利用Matlab分別對(duì)兩種區(qū)域增長情形進(jìn)行了數(shù)值模擬，以此來驗(yàn)證已得到的理論上的結(jié)果。
　　 第六章，我們總結(jié)了全文的工作，并對(duì)今后的研究工作做進(jìn)一步