偏微分方程的徑向基無網(wǎng)格配置法.pdf

1、偏微分方程在工程實際和科學技術中有廣泛的應用背景,研究其數(shù)值解對處理在電磁學、聲學等領域中的很多物理問題具有很重要的意義。傳統(tǒng)求解偏微分方程的數(shù)值方法都基于網(wǎng)格劃分,如有限差分法、有限元法等。針對網(wǎng)格劃分的有效算法,研究人員進行了大量的工作,目前仍沒有一種針對各種復雜區(qū)域問題的通用算法。無網(wǎng)格法是過去十多年興起的一種新的數(shù)值方法,該方法基于點的近似,不需要預先定義或生成網(wǎng)格,為計算力學研究者回避網(wǎng)格劃分難題提供了一條新的途徑。到目前在不

2、同領域已產(chǎn)生了十余種無網(wǎng)格方法,每種方法都是不同的近似方案和離散方案的結合。用徑向基函數(shù)插值求偏微分方程定解問題的數(shù)值解,是近年來國際上比較流行的一種無網(wǎng)格方法,其原因是徑向基函數(shù)具有形式簡單、各向同性等優(yōu)點。如果采用徑向基函數(shù)進行近似,離散方案一般采用最小二乘方法、伽遼金方法、配置法等。用最小二乘法、伽遼金法逼近時,已得到不錯的收斂性結果,而對于配置法在計算方面具有簡單實用的優(yōu)點,但進行的相關分析與使用還不是很多。本文首先引入了一種徑

3、向基函數(shù),對其性質進行了具體的研究。然后將這種徑向基函數(shù)與配置法相結合,構造了求解橢圓型方程和拋物型方程的徑向基無網(wǎng)格配置法,并討論了數(shù)值解的存在唯一性。在進行具體數(shù)值計算時,給出了徑向基函數(shù)中自由參數(shù)在不同維空間中取值的經(jīng)驗公式,并且討論了這些經(jīng)驗公式的適用范圍。通過與經(jīng)典有限元方法的比較,表明本文構造的徑向基無網(wǎng)格配置法有效、實用；再通過與其它徑向基函數(shù)構造的徑向基無網(wǎng)格配置法相比較,說明本文引入的徑向基函數(shù)對于偏微分方程求解效果更