偏微分方程的徑向基無(wú)網(wǎng)格配置法.pdf

1、偏微分方程在工程實(shí)際和科學(xué)技術(shù)中有廣泛的應(yīng)用背景,研究其數(shù)值解對(duì)處理在電磁學(xué)、聲學(xué)等領(lǐng)域中的很多物理問(wèn)題具有很重要的意義。傳統(tǒng)求解偏微分方程的數(shù)值方法都基于網(wǎng)格劃分,如有限差分法、有限元法等。針對(duì)網(wǎng)格劃分的有效算法,研究人員進(jìn)行了大量的工作,目前仍沒(méi)有一種針對(duì)各種復(fù)雜區(qū)域問(wèn)題的通用算法。無(wú)網(wǎng)格法是過(guò)去十多年興起的一種新的數(shù)值方法,該方法基于點(diǎn)的近似,不需要預(yù)先定義或生成網(wǎng)格,為計(jì)算力學(xué)研究者回避網(wǎng)格劃分難題提供了一條新的途徑。到目前在不

2、同領(lǐng)域已產(chǎn)生了十余種無(wú)網(wǎng)格方法,每種方法都是不同的近似方案和離散方案的結(jié)合。用徑向基函數(shù)插值求偏微分方程定解問(wèn)題的數(shù)值解,是近年來(lái)國(guó)際上比較流行的一種無(wú)網(wǎng)格方法,其原因是徑向基函數(shù)具有形式簡(jiǎn)單、各向同性等優(yōu)點(diǎn)。如果采用徑向基函數(shù)進(jìn)行近似,離散方案一般采用最小二乘方法、伽遼金方法、配置法等。用最小二乘法、伽遼金法逼近時(shí),已得到不錯(cuò)的收斂性結(jié)果,而對(duì)于配置法在計(jì)算方面具有簡(jiǎn)單實(shí)用的優(yōu)點(diǎn),但進(jìn)行的相關(guān)分析與使用還不是很多。本文首先引入了一種徑

3、向基函數(shù),對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行了具體的研究。然后將這種徑向基函數(shù)與配置法相結(jié)合,構(gòu)造了求解橢圓型方程和拋物型方程的徑向基無(wú)網(wǎng)格配置法,并討論了數(shù)值解的存在唯一性。在進(jìn)行具體數(shù)值計(jì)算時(shí),給出了徑向基函數(shù)中自由參數(shù)在不同維空間中取值的經(jīng)驗(yàn)公式,并且討論了這些經(jīng)驗(yàn)公式的適用范圍。通過(guò)與經(jīng)典有限元方法的比較,表明本文構(gòu)造的徑向基無(wú)網(wǎng)格配置法有效、實(shí)用；再通過(guò)與其它徑向基函數(shù)構(gòu)造的徑向基無(wú)網(wǎng)格配置法相比較,說(shuō)明本文引入的徑向基函數(shù)對(duì)于偏微分方程求解效果更