微分算子實(shí)參數(shù)平方可積解的個(gè)數(shù)與譜的定性分析.pdf

1、本文主要圍繞微分方程實(shí)參數(shù)平方可積解的個(gè)數(shù)與譜的定性分析之間的關(guān)系開展研究.
　　 我們注意到:由于自共軛算子的譜是實(shí)的,自共軛線性算子的譜分析與實(shí)參數(shù)解形成的零空間有相當(dāng)緊密的聯(lián)系.同時(shí)由于微分方程實(shí)參數(shù)平方可積解的個(gè)數(shù)是由系數(shù)決定的,微分算子的本質(zhì)譜,以及虧指數(shù)也只與算子的系數(shù)有關(guān),這三者(虧指數(shù)、微分方程實(shí)參數(shù)平方可積解的個(gè)數(shù)、微分算子的本質(zhì)譜)之間應(yīng)該有密切的聯(lián)系.探討研究這三者之間的關(guān)系是一個(gè)十分重要的課題.基于這種考

2、慮,本文采用新的方法,即利用奇異微分方程實(shí)參數(shù)平方可積解的個(gè)數(shù)來定性地研究譜的分布.
　　 對(duì)于一端奇異的微分算子,著名數(shù)學(xué)家Weidmann1987年在他的專著[86]中提出了著名的猜想:對(duì)于任意的λ∈I()R,如果微分方程實(shí)參數(shù)平方可積解的個(gè)數(shù)“充分多”,區(qū)間I中沒有本質(zhì)譜.需要特別注意的是:1996年Remling在[62]中指出了,在n=2且d=1的情況下,即使對(duì)任意的λ∈I()R,r(λ)=d=1,I中也可以有本質(zhì)譜.

3、這個(gè)重要的結(jié)論說明,僅僅依靠微分方程實(shí)參數(shù)平方可積解的個(gè)數(shù)足夠多不足以保證本質(zhì)譜是空的.我們不禁要問,在什么情況下Weidmann猜想成立,即若對(duì)任意的λ∈I,有r(λ)=d,需要附加什么樣的條件來保證I中無本質(zhì)譜?
　　 針對(duì)上述問題,本文首先對(duì)一端奇異微分算子的自共軛域給出一個(gè)全新描述,分析了分離邊界條件與其它邊界條件的關(guān)系,并在此基礎(chǔ)上通過正則算子逼近,證明了如果對(duì)于任意的λ∈I,微分方程有d個(gè)平方可積解,那么對(duì)于任何一個(gè)

4、由微分算式生成的自共軛算子,它的連續(xù)譜與I的交集是空的.其次我們給出微分方程的解關(guān)于參數(shù)λ解析依賴的條件(A)(見定義3.1.2),并證明在該條件成立的條件下,I中無本質(zhì)譜,換句話說,在區(qū)間I中譜是離散的。這樣我們對(duì)Weidmann在[86]中的猜測(cè)給出了一個(gè)全面的回答,也就是說在一個(gè)區(qū)間上微分方程實(shí)參數(shù)解平方可積解的個(gè)數(shù)充分多時(shí),加上解對(duì)參數(shù)λ解析依賴的條件,微分算子在該區(qū)間中的本質(zhì)譜是空的.
　　 接下來我們討論了兩端奇異微

5、分算子實(shí)參數(shù)平方可積解的個(gè)數(shù)與譜的分布之間的關(guān)系.本文用微分方程實(shí)參數(shù)解來給出兩端奇異的微分算子自共軛域的完全刻畫.首先我們給出最大算子域的一個(gè)新的分解,其關(guān)鍵點(diǎn)是把兩個(gè)奇異端點(diǎn)分離開來加以考慮,利用最大算子域中的分段函數(shù),把微分方程在兩個(gè)奇異端點(diǎn)的實(shí)參數(shù)平方可積解加以聯(lián)結(jié).這種分解使得最大算子域的結(jié)構(gòu)清晰,方法統(tǒng)一,即一端奇異(或兩端正則)的微分算子也可使用同樣的方法處理,僅僅是把正則點(diǎn)的虧指數(shù)看成n.通過最大算子域的這種新的刻畫,我

6、們運(yùn)用微分方程的解給出了在奇異點(diǎn)的邊界條件和自共軛域的完全刻畫.
　　 進(jìn)一步地,我們研究?jī)啥似娈悤r(shí)微分方程實(shí)參數(shù)平方可積解的個(gè)數(shù)與微分算子譜的分布之間的關(guān)系.首先我們證明了對(duì)于兩端奇異的微分算子,微分方程實(shí)參數(shù)平方可積解的個(gè)數(shù)可以小于等于d,但是也可以大于d(這在一端奇異的情況下是不可能發(fā)生的).這一結(jié)論說明,在研究譜的定性分析時(shí),兩端奇異的情形和一端奇異的情形有本質(zhì)的不同,兩端奇異的情況并不是一端奇異情形下的簡(jiǎn)單推廣.在此基

7、礎(chǔ)上我們對(duì)于兩端奇異的情形運(yùn)用直和算子的譜理論,十分簡(jiǎn)明地解決了Weidmann在[86]中提出的開放問題,即證明了如果微分方程實(shí)參數(shù)平方可積解的個(gè)數(shù)r(λ)d,則λ是任意自共軛擴(kuò)張的特征值,這意味著當(dāng)微分方程實(shí)參數(shù)平方可積解的

8、個(gè)數(shù)“過于多”時(shí),反而可能會(huì)有本質(zhì)譜.這一結(jié)論與一端奇異情形有著本質(zhì)的不同.
　　 微分算子自共軛域的標(biāo)準(zhǔn)型是研究微分算子邊界條件對(duì)微分算子特征值分布影響的基礎(chǔ),本文在最后一章分別給出一端奇異的四階微分算子在d=4(包括兩端正則以及兩端奇異的情況),d=3以及d=2時(shí)自共軛邊界條件的標(biāo)準(zhǔn)型.由于在四階的情形下,標(biāo)準(zhǔn)型的種類非常多,為看清自共軛邊界條件的基本特征,我們找到一種統(tǒng)一的辦法來得到各種具體的標(biāo)準(zhǔn)型,即我們給出了“基本標(biāo)準(zhǔn)