在多層無(wú)界區(qū)域中Helmholtz方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用.pdf

1、本文主要提出了一種在無(wú)界區(qū)域上求解Helmholtz方程的有效數(shù)值解法。 首先，研究無(wú)界區(qū)域上Helmholtz方程的區(qū)域有界化問(wèn)題；以往在無(wú)界區(qū)域上求解Helmholtz方程的方法是設(shè)立假的邊界條件將無(wú)界的求解區(qū)域有界化，如設(shè)這些邊界條件為第一、第二或第三類(lèi)邊界條件，這種做法只是將原方程求解粗糙地近似化，所以無(wú)論是對(duì)此近似問(wèn)題進(jìn)行精確求解還是離散方程后進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，解的偏差會(huì)變得很大，導(dǎo)致解的逼近效果變差。產(chǎn)生偏差的主要原因在

2、于這樣的邊界條件實(shí)際上并不符合無(wú)界區(qū)域中波傳播的特性(產(chǎn)生了較強(qiáng)的反射波)?；诖巳毕荩琂.P.Berenger于1994年提出了完美匹配層(PerfectlyMatchedLayer，簡(jiǎn)稱(chēng)PML)的概念，1997年FrancisCollino針對(duì)上述添加的PML，在數(shù)學(xué)上相當(dāng)于對(duì)坐標(biāo)做了一個(gè)復(fù)的伸展變換(＾x)=x+i∫x0σ(τ)dτ，把方程轉(zhuǎn)換為一個(gè)新的復(fù)方程，本文稱(chēng)之為改進(jìn)的復(fù)Helmholtz方程。 其次，在有界區(qū)域上

3、求解Helmholtz方程有許多直接的數(shù)值方法，如有限元和有限差分法等。但若用有限差分或者有限元方法來(lái)處理這樣一個(gè)水平區(qū)域很大的Helmholtz方程時(shí)，產(chǎn)生的線性系統(tǒng)的階數(shù)將非常的大，導(dǎo)致相當(dāng)大的存貯空間，計(jì)算的代價(jià)也很高昂。同時(shí)這些系統(tǒng)常常也是不定的，或非對(duì)稱(chēng)的，這就使得方程的求解更加困難。根據(jù)波導(dǎo)對(duì)區(qū)域水平距離依賴(lài)很弱的特性，本文采用在波的傳播計(jì)算中有效常用的步進(jìn)方法，如One-way方法計(jì)算聲波的傳播。 最后，用步進(jìn)方法

4、計(jì)算波的傳播問(wèn)題將涉及方程的特征問(wèn)題。曾有人做過(guò)界面是平坦的光波導(dǎo)的特征值問(wèn)題，而本文研究的是在帶有彎曲界面的聲波導(dǎo)中的波傳播性態(tài)。首先選取適當(dāng)?shù)姆蔷€性坐標(biāo)正交變換及方程變換將界面拉直，然后從數(shù)值角度出發(fā)，離散上述問(wèn)題的特征方程相應(yīng)的算子，得到一復(fù)矩陣；為求特征問(wèn)題，利用Rayleigh迭代方法的具有局部收斂和快速收斂的特點(diǎn)，構(gòu)造多重Rayleigh迭代算法，成功地求出此復(fù)矩陣的特征值與特征向量，為波的傳播計(jì)算提供了基礎(chǔ)。 結(jié)果