非線性奇異常微分方程的若干問題.pdf

1、　　隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,在物理學(xué)、化學(xué)、數(shù)學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)、控制論等領(lǐng)域出現(xiàn)了各種各樣的非線性問題。由于其廣泛的應(yīng)用背景和深刻的數(shù)學(xué)意義,這些非線性問題引起了許多學(xué)者的密切關(guān)注。目前,非線性泛函分析已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一個重要分支。它為解決各種各樣的非線性問題提供了一個富有成效的理論工具。利用非線性泛函分析研究問題的主要方法有：拓?fù)涠壤碚?、臨界點理論、半序方法以及分析方法等。關(guān)于非線性泛函分析及其應(yīng)用,國內(nèi)外有許多優(yōu)秀的

2、專著(見[1,5,6])。
　　許多非線性問題可以通過轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程獲得研究,例如可以轉(zhuǎn)化為：微分方程、積分方程、積分-微分方程、差分方程及算子方程等其它類型的各種方程。奇異常微分方程的研究起源于各種應(yīng)用學(xué)科,例如,核物理、氣體動力學(xué)、牛頓流體力學(xué)、邊界層理論、非線性光學(xué)等。在普通空間中,奇異微分方程的正解以及多個正解的存在性獲得了充分的研究,出現(xiàn)了一大批優(yōu)秀的成果。近十年來,抽象空間中的常微分方程理論已經(jīng)發(fā)展成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一

3、個新的重要的分支(見[4,11,12])。到目前為止,只有少數(shù)文獻(xiàn)在抽象空間中研究奇異微分方程。脈沖微分方程理論是近年來發(fā)展起來的另一個重要的研究分支([8,71]),其相應(yīng)的理論尚需進(jìn)一步的完善。本文的目的之一就是研究抽象空間中同時具有奇異性和脈沖的微分-積分方程解的存在性。
　　增算子不動點理論以及建立在其基礎(chǔ)之的上下解方法是研究各種非線性問題時經(jīng)常使用的基本方法之一。我們在使用傳統(tǒng)的上下解方法時通常要求相應(yīng)的非線性算子是增算

4、子。無疑,當(dāng)非線性算子在不具有增性條件時,如何使用上下解方法無論在理論上還是應(yīng)用上都具有重要的意義。文[77]中,作者提出了極限增算子的概念,利用上下解方法在非線性算子滿足一定的條件時,獲得了算子方程解的存在性結(jié)果。本文的另一目的就是進(jìn)一步研究極限增算子方程解的存在性。
　　本文中,我們利用拓?fù)涠壤碚摵陀嘘P(guān)非緊性測度的理論,在相對廣泛的條件下,研究了抽象空間中幾類微分方程正解及多解的存在性。特別的,我們還考慮了一類m-點邊值問題正

5、解的全局結(jié)構(gòu)。本文的最后給出了極限增算子方程解的一些存在性結(jié)果。
　　本文共分四章。
　　第一章,我們討論了幾類奇異微分方程正解及多個正解的存在性?！?.2,考察了Banach空間中一階奇異混合型脈沖積分-微分方程正解的存在性。首先構(gòu)造了一個特殊的非空閉凸集,然后利用M(？)nch不動點定理獲得了本節(jié)主要結(jié)果。在§1.3中,我們利用不動點指數(shù)理論,在Banach空間中針對一類奇異二階Neumann邊值問題的多個正解的存在性進(jìn)