貝努利多項(xiàng)式與冪和等式.pdf

1、貝努利數(shù)及貝努利多項(xiàng)式在許多領(lǐng)域，如數(shù)論、組合學(xué)、數(shù)量分析理論中有許多重要的應(yīng)用，在過(guò)去的兩個(gè)多世紀(jì)中數(shù)學(xué)家們對(duì)此進(jìn)行了廣泛而又深入的研究。十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)家Jacob Bernoulli在研究自然數(shù)的冪和式時(shí)發(fā)現(xiàn)了這類特殊的數(shù)在等式中的應(yīng)用。此后，在有關(guān)貝努利數(shù)及多項(xiàng)式的研究中，包含貝努利數(shù)或多項(xiàng)式的恒等式引起了眾多研究者的興趣。研究者用許多不同的方法得到包含貝努利數(shù)及多項(xiàng)式的恒等式。本論文的主要內(nèi)容是關(guān)于推導(dǎo)一些新的關(guān)于貝努利多項(xiàng)式的

2、恒等式并給出與貝努利多項(xiàng)式有關(guān)的Faulhaber定理的一般推廣。
　　 第一章中我們介紹了貝努利數(shù)和歐拉數(shù)及多項(xiàng)式的基本定義和性質(zhì)，以及一些不同的擴(kuò)展貝努利多項(xiàng)式。同時(shí)我們介紹了一個(gè)與冪和相關(guān)的重要定理，F(xiàn)aulhaber定理，并將此定理推廣到一般等差級(jí)數(shù)的冪和。
　　 在第二章中，我們首先列出了一些已知的貝努利恒等式，這些恒等式同時(shí)包含了一般卷積和二項(xiàng)式卷積。之后我們得到一個(gè)Carlitz恒等式的擴(kuò)展形式，并由此推導(dǎo)

3、出一個(gè)可推出一些已知等式的更一般化的對(duì)稱貝努利恒等式。最后得到兩個(gè)包含擴(kuò)展貝努利多項(xiàng)式的對(duì)稱恒等式。
　　 貝努利多項(xiàng)式與Stirling數(shù)有著密切的聯(lián)系。利用Stirling數(shù)的反演關(guān)系，我們?cè)诘谌轮械玫絻蓪?duì)包含貝努利多項(xiàng)式及第二類貝努利多項(xiàng)式乘積的反演關(guān)系式。
　　 第四章中，我們證明了Falhaber定理對(duì)于任意等差級(jí)數(shù)的奇數(shù)冪和仍然成立，即等差數(shù)列α+b，α+2b，…，α+nb的奇數(shù)冪和是nα+n(n+1)b/

4、2的多項(xiàng)式。其系數(shù)是由貝努利多項(xiàng)式給出。利用Knuth的方法，我們用中心階乘數(shù)給出了r重冪和的公式。同樣的我們給出了r重交錯(cuò)冪和的公式。
　　 最后，我們研究了二項(xiàng)式的冪和等式。利用超幾何級(jí)數(shù)的多重變換公式，我們得到(r+1 r)，(r+2 r)…，(r+n r)的冪和含有因子(n+r+1 r+1)。若m為每一項(xiàng)的乘方數(shù)，當(dāng)rm為奇數(shù)且r≥3時(shí)，二項(xiàng)式的冪和含有因子(n+r+1 r+1)2.應(yīng)用相同的變換公式，我們給出了Schm