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1、分類號(hào)017456學(xué)校代碼10542密級(jí)學(xué)號(hào)200921011024全純Proper映照和Loewner鏈的邊界性質(zhì)ProperholomorphicmappingsandBoundary一一一一——1■●nT■●benaVl0Ur0IL0eWnerCnaln研究生姓名:劉春生指導(dǎo)教師姓名、職稱:董新漢教授學(xué)科專業(yè):基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究方向:分形幾何與復(fù)分析湖南師范大學(xué)學(xué)位評(píng)定委員會(huì)辦公室二零一二年五月摘要IIIIlllllIIIIIIIIII
2、Illl\2147554Proper映照是多復(fù)變函數(shù)的重要研究對(duì)象,單復(fù)變的proper映照則主要考慮在Riemann曲面上。但是,近幾年proper映照、分形幾何和邊界性質(zhì)問題的交叉區(qū)域受到數(shù)學(xué)家的關(guān)注,并且取得了一定成績(jī)。Loewner微分方程是單葉函數(shù)中的一個(gè)重要內(nèi)容,它被證明是解決單葉函數(shù)中極值問題最有用的工具之一,典型的例子是Bieberbach猜想的證明。1999年,OdedSchramm提出了一族帶有一個(gè)參數(shù)的隨機(jī)共形映射
3、,它可以通過解一個(gè)含有布朗運(yùn)動(dòng)的微分方程得到。實(shí)際上,這個(gè)微分方程就是在Loewner微分方程中取一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的Brownian運(yùn)動(dòng)為驅(qū)動(dòng)函數(shù)得到的(即A(£):以B)。人們稱這個(gè)隨機(jī)版本的Loewner微分方程為StochasticLoewnerEvolution簡(jiǎn)記(SLE),它是一個(gè)新的研究方向,不僅在數(shù)學(xué)上,更在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)上有著重要的意義。該研究方向以單復(fù)變函數(shù)論為工具,Loewner微分方程為基礎(chǔ),與現(xiàn)代概率論、物理學(xué)、共形場(chǎng)論緊
4、密結(jié)合,互相滲透,是一個(gè)前沿研究方向。美國康乃爾大學(xué)教授LawlerGF是該領(lǐng)域最活躍的人物之一,并于2005年出版了第一本系統(tǒng)介紹該理論的書:ConformallyInvariantProcessesInThePlane(MathematicalSurveysAndMonographs,v01114)。目前已經(jīng)有兩位數(shù)學(xué)家因在這個(gè)領(lǐng)域有杰出工作分別在2006年和2010年獲得菲爾茲獎(jiǎng)。本文第一章介紹Proper映照和Loewner鏈的
5、一些基本知識(shí)和現(xiàn)有結(jié)論以及本文主要結(jié)論。本文的核心在第二章和第三章。第二章主要研究了有界解析函數(shù)的拓?fù)涠群蜕习肫矫娴缴习肫矫娴哪婢o映照的具體形式。第三章主要從以下幾個(gè)方面著手考慮Loewner鏈gt(z)的邊界性質(zhì):(1)考察k的單調(diào)性,我們證明了L。是單調(diào)遞增的;(2)估計(jì)L。長度,我們得到了L。長度與驅(qū)動(dòng)函數(shù)、上半平面的容量及對(duì)數(shù)容量之間的關(guān)系;(3)討論Loewner鏈gt(。)在邊界上的導(dǎo)數(shù),估計(jì)這個(gè)導(dǎo)數(shù)的范圍和它增長的快慢;(
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