直接微擾方法和非線性薛定諤方程族的近似解.pdf

1、孤子理論是非線性科學(xué)中一個十分重要的分支，它在物理學(xué)和其它的許多領(lǐng)域中有著越來越廣泛的應(yīng)用。而微擾理論作為孤子理論中的一個重要方面，關(guān)于它的研究也日益引起人們的關(guān)注。到目前為止，人們已經(jīng)發(fā)展了多種有效的微擾方法，它們大體可分為兩大類：一類是逆散射微擾方法。它能成功地處理各種復(fù)雜的微擾問題，在理論上有著重要的學(xué)術(shù)價值，但其思路較迂回曲折，數(shù)學(xué)計算繁瑣。另一種是直接微擾方法。它的最常用的系統(tǒng)方法是將孤子方程線性化后再按Jost函數(shù)的平方作微

2、擾展開。由于Jost解是逆散射變換(IST)過程中所出現(xiàn)的一種特解，所以這種微擾方法并沒有完全脫離對IST的依賴，與其仍有或多或少的關(guān)聯(lián)。而且關(guān)于直接微擾法的含時、空的偏微分算子的本征函數(shù)系，前人并沒有找到直接求解它的方法，都是利用它與IST間的某種聯(lián)系來求得的。最近，在前人的基礎(chǔ)上發(fā)展了一種新的直接微擾方法，它完全擺脫了對IST的依賴，思路和計算較為簡便。而且利用這種直接微擾方法得到的微擾解比用其他微擾方法得到的解要豐富得多。

3、 本文就直接微擾方法作了較為全面、系統(tǒng)的研究，主要工作內(nèi)容如下：1.從可積的非線性薛定諤方程入手，將利用直接微擾方法得到的近似解與其精確解進(jìn)行了對比、分析，驗證了直接微擾方法的可靠性。微擾小參量ε越小，相應(yīng)的近似解與精確解越符合，此時，直接微擾方法給出的微擾方程的近似解也就越可靠。2.以不同的微擾非線性薛定諤方程為實際例子，例如，耦合非線性薛定諤方程、(2+1)維非線性薛定諤方程，來闡述直接微擾方法的具體運(yùn)用和適用性。通常，針對微擾非線

4、性薛定諤方程的不同形式的解需要采用不同的微擾方法對其進(jìn)行分別處理，但是，從本文的求解過程中發(fā)現(xiàn)，采用樓的直接微擾方法可以得到多種不同形式的微擾解。而且微擾方程的零階解可以為無微擾非線性薛定諤方程的任意一個精確解，它們的一階修正則可以是無微擾方程的無窮多個對稱的任意一個。借助符號處理軟件Matlab，我們還實現(xiàn)了受線性損耗影響的耦合非線性薛定諤方程的數(shù)值模擬，結(jié)果表明，在ε值的較大范圍內(nèi)，近似的解析解與數(shù)值解吻合得非常好。另一方面，非線性

5、薛定諤方程族的近似求解的實現(xiàn)也為樓所發(fā)展的直接微擾方法提供了幾個重要的實例，使直接微擾方法得到進(jìn)一步的完善和充實。3.基于直接微擾方法給出的可靠的近似解，我們還給出在微擾作用下孤子的各個參數(shù)的解析表達(dá)式。無論是對于單孤子還是多孤子，在線性損耗的作用下，它們的振幅和能量都將隨著時間的增加而指數(shù)衰減直至零。不過，微擾的影響并不會改變孤子的傳輸速度。特別地，對于多孤子，孤子的碰撞性質(zhì)也不會受微擾影響而發(fā)生改變。也就是說，原來等幅傳輸?shù)膹椥耘鲎?/p>