隨機游動的更新理論和尾漸近理論及其應用.pdf

1、眾所周知，隨機游動理論，包括隨機游動的更新理論，隨機游動及相關(guān)對象的尾漸近性理論等等，歷來是概率論研究的重要組成部分.它不但自身具有重要的理論研究價值，而且在排隊論、風險理論、大偏差理論和分支過程等許多領(lǐng)域也都有重要的應用.如在風險理論中，保險公司的破產(chǎn)概率就可以通過隨機游動的上確界大于初始資本的概率來刻畫，因而隨機游動理論對金融保險中的實際工作也具有一定的指導意義.
　　 本文將從如下三個方面研究隨機游動理論.
　　

2、更新計數(shù)過程的基本更新定理，更一般地，隨機游動生成的計數(shù)過程的基本更新定理，是更新理論的重要組成部分.對于增量是獨立同分布的情形，經(jīng)典的更新理論已日趨成熟.但是在實踐中，相關(guān)的增量往往不是相互獨立的.那么，對于帶某種相依增量的隨機游動生成的計數(shù)過程，是否也可以建立相應的基本更新定理？在很長一段時間內(nèi)，這一問題沒有實質(zhì)性的進展.本文的第二章將系統(tǒng)地討論這些問題.我們將給出帶寬相依增量的隨機游動所生成的計數(shù)過程的基本更新定理.為了證明基本更

3、新定理，我們還將建立一個帶寬相依增量的隨機游動的弱大數(shù)律.在進一步的條件下，我們還給出了帶寬相依增量的隨機游動的強大數(shù)律.此外，我們還將使用所得的基本更新定理的結(jié)果，給出一個隨機游動的隨機和的精致大偏差的漸近估計，其中隨機和中的隨機指標是一個帶寬相依增量的非標準更新計數(shù)過程.在這一章的最后部分，我們還將討論帶正飄移的隨機游動生成的首超時過程的強大數(shù)律，所得結(jié)果較大程度地推廣和改進了一些已有的結(jié)果.
　　 另一方面，隨機游動的尾漸

4、近理論與其增量的分布理論有著密切的關(guān)系.分布理論，特別是重尾分布理論中的一個重要事實是，當隨機游動的增量相互獨立且服從相同的次指數(shù)分布時，這些增量是最大-和等價的.即若干隨機變量和的尾分布等價于它們中最大一個隨機變量的尾分布.如在風險理論中，這一性質(zhì)可解釋為保險公司破產(chǎn)往往是由一個大額索賠導致的.因此，這一性質(zhì)受到了廣泛的關(guān)注.在這一問題的研究中，人們通常要求隨機游動的增量的分布屬于某個特定的分布族.然而這個條件顯得比較苛刻.Li和Ta

5、ng(2010)[1]注意到了這個問題，他們將相應的條件加到了隨機變量的最大值的分布上，從而擴大了應用的范圍.但他們的研究仍如前人那樣，要求最大值的分布屬于次指數(shù)分布族.由于存在大量的分布屬于長尾分布族和O-次指數(shù)分布族的交集，但不屬于次指數(shù)分布族，所以在第三章中，我們的工作是將上述問題的研究范圍進一步擴大到長尾分布族和O-次指數(shù)分布族的交集.值得指出的是，當隨機游動增量的最大值的分布屬于次指數(shù)分布族時，它們的和產(chǎn)生的振蕩是最小的;或者

6、說，當增量的最大值的分布屬于長尾分布族和O-次指數(shù)分布族的交集，但不屬于次指數(shù)分布族時，就可能產(chǎn)生大的振蕩或風險.因此很有必要研究增量的最大值的分布屬于長尾分布族和O-次指數(shù)分布族的交集的隨機游動的相關(guān)理論.
　　 最后，在第四章中，我們將給出隨機游動理論在一類同時帶有金融風險和保險風險的非標準離散時風險模型中的應用.我們將給出該類風險模型中有限時破產(chǎn)概率的漸近估計，其中保險風險或其與金融風險的乘積的分布可以不屬于卷積等價分布族

7、.為此，我們將先研究一個比卷積等價分布族更大的分布族，即指數(shù)分布族的性質(zhì).我們將給出指數(shù)分布族中分布的卷積封閉性和卷積的尾漸近等價的幾個充要條件和一些便于驗證的充分條件.由于以往的研究只給出了充分性的結(jié)果，所以我們的工作推廣和改進了以往的工作.另外，以往人們得到的一些漸近等價關(guān)系，都需要相關(guān)分布屬于卷積等價分布族的條件.而我們的這部分工作，從理論上并通過實例，說明上述條件不是必要的，從而較大幅度地擴大了所得結(jié)果的應用面，豐富了相應的分布