Grobner基及理想的準(zhǔn)素分解與矩陣分解研究.pdf

1、理想的準(zhǔn)素分解與矩陣分解是計(jì)算代數(shù)的核心問題，它們?cè)谟?jì)算機(jī)代數(shù)、計(jì)算代數(shù)幾何、代數(shù)編碼和密碼學(xué)、多維系統(tǒng)理論等學(xué)科都有非常重要的理論意義與應(yīng)用價(jià)值.Gr(o)bner基理論是研究理想的準(zhǔn)素分解與矩陣素分解的重要工具之一.
　　本文主要討論理想的準(zhǔn)素分解和矩陣分解以及Gr(o)bner基的理論與算法等問題.全文由六章組成.
　　第一章，主要對(duì)所研究問題的歷史背景、研究現(xiàn)狀和研究方法進(jìn)行較全面的綜述.
　　第二章，主要研究

2、主理想整環(huán)上多項(xiàng)式環(huán)理想的Gr(o)bner基算法.將目前效率最快、形式最簡單的計(jì)算域上多項(xiàng)式環(huán)理想的Gr(o)bner基算法(GVW算法)拓展到主理想整環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)理想，并給出例子對(duì)所推廣的算法進(jìn)行說明.
　　第三章，首先，研究多元多項(xiàng)式矩陣一般分解問題.我們考慮行滿秩矩陣F∈Cl×m[z]的l-1級(jí)子式，得到幾類存在一般分解的多項(xiàng)式矩陣.接著研究多項(xiàng)式矩陣因子素分解問題，獲得一些更簡便的判別f是否為正則因子的條件.最后，研究

3、唯一分解整環(huán)上的矩陣素分解問題，得到該環(huán)上行滿秩矩陣F∈Dl×m[z]具有子式素分解的充分必要條件是ρ(F)∶d是秩為l的自由模，其中ρ(F)是F的行向量生成的子模.對(duì)正則因子f，獲得F具有因子素分解的充分必要條件為ρ(F)∶f是秩為l的自由模.
　　第四章，首先，我們對(duì)零維理想關(guān)于某個(gè)變?cè)欠駷檎Ｎ恢眠M(jìn)行討論，給出零維理想關(guān)于某個(gè)變?cè)欠駷檎Ｎ恢玫牡葍r(jià)條件，得到一種較容易的求該理想準(zhǔn)素分解的方法，對(duì)某些理想能較快地得到其部分

4、準(zhǔn)素分支;接著，研究當(dāng)給定零維理想對(duì)所有變?cè)疾皇钦Ｎ恢脮r(shí)，對(duì)該零維理想的擴(kuò)張理想中c的選取進(jìn)行討論，找到一種去隨機(jī)化，確定、快速選取c的方法.
　　第五章，研究具有特殊性質(zhì)的Gr(o)bner基，給出弱Gr(o)bner基的定義及其在多項(xiàng)式復(fù)合下的應(yīng)用，并利用給出的新準(zhǔn)則研究下面兩個(gè)問題:
　　問題1什么時(shí)候集合{f+s，g+t}都是Gr(o)bner基，其中，s，t是系數(shù)域k上的任意元素;
　　問題2什么時(shí)候集合

5、{fλ，gσ}都是Gr(o)bner基，其中，λ，σ是任意非負(fù)整數(shù).
　　得到:
　　1，對(duì)任意s，t∈k，{f+s，g+t}是Gr(o)bner基當(dāng)且僅當(dāng)lm(f)與lm(g)互素;
　　2，對(duì)任意非負(fù)整數(shù)λ，σ，{fλ，gσ}是Gr(o)bner基當(dāng)且僅當(dāng)f與g首項(xiàng)平衡.
　　第六章，我們利用結(jié)式理論給出任意多項(xiàng)式環(huán)R[x1，…，xn]（R是唯一分解整環(huán)）上的m個(gè)多項(xiàng)式f1，f2…，fm互素判定的充分必要條件