限制李超代數(shù)與Hom-李超代數(shù)中若干問題研究.pdf

1、李代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)前沿領(lǐng)域中具有重要地位的學(xué)科之一。由于物理學(xué)中超對稱性問題研究的需要，李代數(shù)被推廣到李超代數(shù)，并成為一個(gè)活躍的研究領(lǐng)域。根據(jù)代數(shù)基域特征的不同，李超代數(shù)分為模李超代數(shù)（素特征域上的李超代數(shù)）和非模李超代數(shù)（特征零域上的李超代數(shù)）。在模李超代數(shù)方面，有限維單模李超代數(shù)的分類問題還沒有完全解決。李代數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)說明，限制理論與上同調(diào)理論將對這一問題的解決有很大幫助。本文首先建立了限制李超代數(shù)的一些基本理論。然后，計(jì)算了一類重

2、要的典型李超代數(shù)slm|n到限制Cartan型李超代數(shù)W, S, H的低階上同調(diào)群；在非模李超代數(shù)方面，主要研究了Hom-李超代數(shù)結(jié)構(gòu)問題。首先建立了Hom-李超代數(shù)的結(jié)構(gòu)理論，然后根據(jù)Kac對向量場線性緊致單李超代數(shù)的分類，研究了這些Z-階化單李超代數(shù)上的Hom-結(jié)構(gòu)。本文具體研究內(nèi)容如下：
　　第一，在限制李超代數(shù)基本理論方面，首先將限制李代數(shù)的一系列基本概念及性質(zhì)推廣到限制李超代數(shù)中，建立起限制李超代數(shù)基礎(chǔ)理論。然后重點(diǎn)研究

3、了限制李超代數(shù)的環(huán)面秩，得到了關(guān)于限制李超代數(shù)的環(huán)面秩的若干重要結(jié)論，如環(huán)面秩為零的充分必要條件，環(huán)面具有極大環(huán)面秩的充分條件等。作為應(yīng)用，給出了典型李超代數(shù)slm|n與限制Cartan型李超代數(shù)W, S的絕對環(huán)面秩及S在W中的環(huán)面秩。
　　第二，在計(jì)算典型李超代數(shù)slm|n到限制Cartan型李超代數(shù)W, S, H的低階上同調(diào)群中，首先將slm|n嵌入到W, S, H的零階化分支中，使得在伴隨表示的意義下，W, S, H成為sl

4、m|n-模。然后利用適當(dāng)?shù)淖幽７纸?，采取新的簡約的方法，將計(jì)算slm|n到W, S, H的零階和一階上同調(diào)問題分別轉(zhuǎn)化為計(jì)算到一些子模的零階上同調(diào)和保持權(quán)不變的導(dǎo)子的問題。本文對該類問題的解決方法，不同于以往的簡單計(jì)算，所得的結(jié)果也與在非模李超代數(shù)中的經(jīng)典結(jié)論有所不同。
　　第三，在Hom-李超代數(shù)方面，首先建立了Hom-李超代數(shù)的結(jié)構(gòu)理論。特別地，對單Hom-李超代數(shù)進(jìn)行研究，得到了單Hom-李超代數(shù)沒有任何非平凡的左（右）理想

5、、理想的結(jié)論。然后，給出了Hom-李超代數(shù)的一些基本性質(zhì)，如正則Hom-李超代數(shù)可解（冪零）的充要條件及單性的必要條件等。最后，根據(jù)無限維向量場單李超代數(shù)的階化結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過計(jì)算其零階化分支和負(fù)一階化分支上的保積Hom-結(jié)構(gòu)，得到了Z-階化無限維向量場單李超代數(shù)的保積Hom-結(jié)構(gòu)都是平凡的結(jié)論。
　　本文關(guān)于限制李超代數(shù)的結(jié)論將對模李超代數(shù)分類問題的解決提供參考，關(guān)于Hom-李超代數(shù)的結(jié)論將豐富Hom-代數(shù)結(jié)構(gòu)理論，同時(shí)為量子群和