解析系統(tǒng)的正規(guī)形及其應用.pdf

1、正規(guī)形理論的基本思想是：對一個給定的非線性微分系統(tǒng)，如何尋找形式簡單的微分系統(tǒng)，同時保持其“本質性質”不變，也就是所求得的簡單微分系統(tǒng)與原微分系統(tǒng)是“等價”的。這里面臨的一個問題是如何界定兩個微分系統(tǒng)是等價的？現(xiàn)有的文獻都把這種等價描述為所求得的簡單微分系統(tǒng)與原微分系統(tǒng)具有相同的拓撲結構。由于拓撲結構與定性結構應該是兩個不同的概念，并且定性結構比拓撲結構更能體現(xiàn)一個非線性微分系統(tǒng)的動力學行為。比如平面非退化線性系統(tǒng)的結點與焦點具有相同的

2、拓撲結構，但顯然它們的動力學行為是完全不同的！然而，到目前為止，在國內外的文獻中還沒有給出平面解析系統(tǒng)定性結構的嚴格定義。本文將給出平面解析系統(tǒng)定性結構的嚴格定義，同時按照已有的拓撲結構的定義和我們所給出的定性結構的定義分別對平面非退化解析系統(tǒng)的奇點進行分類。結果表明：我們的定義是合理的，并且對于平面非退化解析系統(tǒng)，按定性結構進行分類比按拓撲結構進行分類能更好地刻畫系統(tǒng)的動力學行為。
　　同一個非線性微分系統(tǒng)的正規(guī)形一般是不唯一的

3、，因此研究兩個正規(guī)形之間的關系是有意義的。本文的另一個工作是利用向量場的內積，給出了冪零系統(tǒng)兩種不同正規(guī)形的單項式系數之間的關系。
　　冪零系統(tǒng)是一類具有廣泛應用價值的非線性微分系統(tǒng)，例如在研究偏微分方程行波解的存在性時，通過一個行波變換，常常把原來的偏微分方程化為一個常微分的冪零系統(tǒng)進行研究。本文的最后一個工作是利用正規(guī)形理論及擬齊次極坐標Blow up變換研究冪零系統(tǒng)奇點的單值性問題。
　　最后，我們對全文進行了總結與展