多目標(biāo)最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

1、第六章 第六章 最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型 最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型§1 最優(yōu)化問題 最優(yōu)化問題1．1 最優(yōu)化問題概念1．2 最優(yōu)化問題分類1．3 最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型§2 經(jīng)典最優(yōu)化方法 經(jīng)典最優(yōu)化方法2．1 無約束條件極值2．2 等式約束條件極值2．3 不等式約束條件極值§3 線性規(guī)劃 線性規(guī)劃3．1 線性規(guī)劃3．2 整數(shù)規(guī)劃§4 最優(yōu)化問題數(shù)值算法 最優(yōu)化問題數(shù)值算法4．1 直接搜索法4．2 梯度法4．3 罰函數(shù)法

2、§5 多目標(biāo)優(yōu)化問題 多目標(biāo)優(yōu)化問題5．1 多目標(biāo)優(yōu)化問題5．2 單目標(biāo)化解法5．3 多重優(yōu)化解法5．4 目標(biāo)關(guān)聯(lián)函數(shù)解法5．5 投資收益風(fēng)險(xiǎn)問題第六章 第六章 最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型 最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型§1 最優(yōu)化問題1．1 最優(yōu)化問題概念（1）最優(yōu)化問題在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通運(yùn)輸、商業(yè)、國防、建筑、通信、政府機(jī)關(guān)等各部門各領(lǐng)域的實(shí)際工作中，我們經(jīng)常會(huì)遇到求函數(shù)的極值或最大值最小值問題， 這一類問題我們稱之為最優(yōu)化問題 最

3、優(yōu)化問題。 而求解最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)方法被稱為最優(yōu)化方法。它主要解決最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃、 最優(yōu)分配、最佳設(shè)計(jì)、最優(yōu)決策、最優(yōu)管理等求函數(shù)最大值最小值問題。最優(yōu)化問題的目的有兩個(gè)： ①求出滿足一定條件下， 函數(shù)的極值或最大值最小值； ②求出取得極值時(shí)變量的取值。最優(yōu)化問題所涉及的內(nèi)容種類繁多，有的十分復(fù)雜，但是它們都有共同的關(guān)鍵因素：變量，約束條件和目標(biāo)函數(shù)。（2）變量變量是指最優(yōu)化問題中所涉及的與約束條件和目標(biāo)函數(shù)有關(guān)的待確定的量。一般來說，它

4、們都有一些限制條件（約束條件） ，與目標(biāo)函數(shù)緊密關(guān)聯(lián)。設(shè)問題中涉及的變量為 x1, x2,? , xn ；我們常常也用 X ? (x1, x2,? , xn ) 表示。（3）約束條件在最優(yōu)化問題中，求目標(biāo)函數(shù)的極值時(shí)，變量必須滿足的限制稱為約束條件 約束條件。例如，許多實(shí)際問題變量要求必須非負(fù)，這是一種限制；在研究電路優(yōu)化設(shè)計(jì)問題時(shí)，變量必須服從電路基本定律， 這也是一種限制等等。 在研究問題時(shí)， 這些限制我們必須用數(shù)學(xué)表達(dá)式準(zhǔn)確地描述

5、它們。用數(shù)學(xué)語言描述約束條件一般來說有兩種：等式約束條件 gi (X ) ? 0, i ? 1,2,? ,m? ?最速下降法 ? ?? 無約束梯度法? 擬牛頓法 ? ? ?共軛梯度法 ? ? ? ? 變尺度法? ?可行方向法 ? ③數(shù)值算法（梯度法） ? 有約束梯度法?梯度投影法 ? ? ? ?SUMT法 ? ? 化有約束為無約束?SWIFT法 ? ? 復(fù)形法 ? ? ? ? ?? 單目標(biāo)化方法 ? ④多目標(biāo)優(yōu)化方法 ?多重目標(biāo)化方法?

6、目標(biāo)關(guān)聯(lián)函數(shù)法 ?⑤網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化方法1．3 最優(yōu)化問題的求解步驟和數(shù)學(xué)模型（1）最優(yōu)化問題的求解步驟最優(yōu)化問題的求解涉及到應(yīng)用數(shù)學(xué)， 計(jì)算機(jī)科學(xué)以及各專業(yè)領(lǐng)域等等， 是一個(gè)十分復(fù)雜的問題，然而它卻是需要我們重點(diǎn)關(guān)心的問題之一。 怎樣研究分析求解這類問題呢？其中最關(guān)鍵的是建立數(shù)學(xué)模型和求解數(shù)學(xué)模型。一般來說，應(yīng)用最優(yōu)化方法解決實(shí)際問題可分為四個(gè)步驟進(jìn)行： 步驟 步驟 1：建立模型 ：建立模型提出最優(yōu)化問題， 變量是什么？約束條件有那些？目標(biāo)函

7、數(shù)是什么？建立最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型：確定變量，建立目標(biāo)函數(shù)，列出約束條件——建立模型 建立模型。步驟 步驟 2：確定求解方法 ：確定求解方法分析模型，根據(jù)數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)，選擇優(yōu)化求解方法——確定求解方法 確定求解方法。步驟 步驟 3：計(jì)算機(jī)求解 ：計(jì)算機(jī)求解編程序（或使用數(shù)學(xué)計(jì)算軟件） ，應(yīng)用計(jì)算機(jī)求最優(yōu)解——計(jì)算機(jī)求解 計(jì)算機(jī)求解。步驟 步驟 4：結(jié)果分析 ：結(jié)果分析對算法的可行性、 收斂性、 通用性、 時(shí)效性、 穩(wěn)定性、 靈敏性和誤差

8、等等作出評價(jià)——結(jié)果分析 結(jié)果分析。（2）最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型最優(yōu)化問題的求解與其數(shù)學(xué)模型的類型密切相關(guān)， 因而我們有必要對最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型有所掌握。一般來說，最優(yōu)化問題的常見數(shù)學(xué)模型有以下幾種：①無約束最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型由某實(shí)際問題設(shè)立變量， 建立一個(gè)目標(biāo)函數(shù)且無約束條件， 這樣的求函數(shù)極值或最大值最小值問題，我們稱為無約束最優(yōu)化問題 無約束最優(yōu)化問題。其數(shù)學(xué)模型為：min f (x1, x2,? , xn )——目標(biāo)函數(shù)例如：求一

9、元函數(shù) y ? f (x) 和二元函數(shù) z ? f (x, y) 的極值。2 2 ? 6x3 ? 2x1x2 ? 4x1x3 ? 2x2x3 的極值和取得極值的點(diǎn)。 又例如：求函數(shù) f (x1, x2, x3) ? 3x1 2 ? 4x2②有約束最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型由某實(shí)際問題設(shè)立變量，建立一個(gè)目標(biāo)函數(shù)和若干個(gè)約束條件（等式或不等式） ，這樣的求函數(shù)極值或最大值最小值問題，我們稱為有約束最優(yōu)化問題 有約束最優(yōu)化問題。其數(shù)學(xué)模型為：min