量子力學(xué)經(jīng)典練習(xí)題及答案解析

1、1. 1.設(shè)氫原子處于基態(tài) 設(shè)氫原子處于基態(tài) 為 Bohr Bohr 半徑，求電子徑向概率密 半徑，求電子徑向概率密 0 3 0, 1 ) , , ( 0 a eara r ? ??? ? ?度最大的位置（最概然半徑） 度最大的位置（最概然半徑） 。解 2 2 ) ( ) ( r r R r w nl nl ? ?23 01002 1 ) ( r e a r war ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?02022

2、 2 1 203 010 ararre r e a a drdw?0 1 1 203 002?? ? ?? ? ? ? ? ?? r a re aar?由此得， ， 0 ? r ? ? r 0 a r ?2. 2. 驗(yàn)證 驗(yàn)證 是 和 的共同本征函數(shù)，并指出相應(yīng)的本 的共同本征函數(shù)，并指出相應(yīng)的本 ? ? ? ? ? 3 3 sin ) ( ) , , ( i e r f r ? 2 ? L z L ?征值。 征值。(

3、) ? ??? ???? ? ???? ? ? 2222 2sin1 ) (sin sin1 ?? ? ? ? ? ? ? L解 ? ??? ???? ? ???? ? ? 2222 2sin1 ) (sin sin1 ?? ? ? ? ? ? ? L將 作用于所給函數(shù)上，得 2 ? L? ? ? ? ? ? ? ?3 32222 sin ) ( sin1 ) (sin sin1 i e r f ? ??? ???? ? ????

4、??? ??? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 323 3 2 sin ) ( sin9 cos sin ) ( sin3 i i e r f e r f ?? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 322 2 2 3 2 sin ) ( sin9 ) sin cos sin 3 ( ) ( sin3 i i e r f e r f ?顯然， 滿足線性算符的定義，故 是線性算符。 1

5、? L 2 ? L 1 ? L 2 ? L積 也是線性算符。 1 ? L 2 ? L4. 4.下列算符哪些是 下列算符哪些是 Hermitian Hermitian 算符？ 算符？（1） ；（ ；（2） ；（ ；（3） ；（ ；（4） 。 dxd i dxd224dxd22dxd i解 厄密算符的定義是 ? ? ? dx u F dx F u * * ) ? ( ? ? ?（1） 不是厄密算符，因?yàn)?dxddx u dxd u dx

6、dxd u * * * ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?dx u dxd * ) ( 0 ? ? ? ?（2） 是厄密算符，因?yàn)?i dxddx u dxd i iu dx dxd i u * * * ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?dx u dxd i * ) ( 0 ? ? ? ?（3） 是厄密算符，因?yàn)?224dxddx dxddxd u dx dxd u ? ? 4 4 *22* ? ? ?dx u dxddxd