高等數(shù)學(xué)習(xí)題及答案解析

1、高等數(shù)學(xué)習(xí)題及答案 高等數(shù)學(xué)習(xí)題及答案一、填空題（每小題 3 分，共 21 分）1．設(shè) 為常數(shù)，則. b a by ax y x f , , ) , ( 其中 ? ? ? )) , ( , ( y x f xy f y b abx axy 2 ? ?2．函數(shù) 在點(diǎn) 處，沿從點(diǎn) 到點(diǎn) 的方向的 2 2 y x z ? ? ) 2 , 1 ( ) 2 , 1 ( ) 3 2 , 2 ( ?方向?qū)?shù)是 .3 2 1?3．設(shè)有向量場

2、 ，則. k xz j xy i y A? ? ? ?? ? ? 2 ? A div?x 24．二重積分 交換積分次序后為 . ? ?2010) , (xdy y x f dx ? ?1 10) , (ydx y x f dy5．冪級數(shù) 的收斂域?yàn)?. ????1 3) 3 (nnnnx [0,6)6．已知 ，而 ，則y x e z 2 ? ? 3 , sin

3、 t y t x ? ? ? dtdz 3 sin 2 2 (cos 6 ) t t e t t ? ?7．三重積分3 ，其中 是由 ? ????dv ?所圍成的立體. 3 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 ? ? ? ? ? ? z z y y x x二、計(jì)算題（一） （每小題 7 分，共 21 分）1．設(shè) 的夾角為 ，向量 相互垂直，求 b a b a? ? ? ? 與 , 5 , 2 ? ? ? 32 b a

4、 n b a m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 17 與 ?. ?解：由 25 17 32 cos 5 2 ) 51 ( 12 17 ) 51 ( 3 02 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b b a a n m? ? ? ? ? ?得 . 40 ? ?2．求過點(diǎn) 且與直線 垂直的平面方程. ) 1 , 2 , 1 ( ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?0 4 2 3

5、0 5 3 2z y xz y x解：直線的方向向量為 ? ? 11 , 7 , 52 1 31 3 2 ??? ?k j is? ? ??取平面的法向量為 ，則平面方程為 s n ? ? ? 0 ) 1 ( 11 ) 2 ( 7 ) 1 ( 5 ? ? ? ? ? ? z y x即 . 0 8 11 7 5 ? ? ? ? z y x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 11 22) cos( ln

6、) tan() tan( 1 1c c x dx c x yc x p dx pdp p p四、計(jì)算題（三） （每小題 8 分，共 24 分）1．求曲線積分 的值，其中 的正向. ? ? ? ?Ldy x x dx y I ) 3 ( 3 3 ) 0 ( 2 2 2 ? ? ? R R y x L為解：記 所圍成的區(qū)域?yàn)?，利用格林公式得 L D? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?RD Ld d dxdy y x dy x

7、x dx y I02202 2 3 3 ) 1 ( 3 ) 3 3 3 ( ) 3 ( ? ? ? ??) 21 1 ( 3 2 2 R R ? ? ?2．求微分方程 的通解. x xe y y 4 ? ? ? ?解：對應(yīng)的齊次方程為 ，它的特征方程為 ，其根為 ， 0 ? ? ? ? y y 0 1 2 ? ? r 1 , 1 2 1 ? ? ? r r該齊次方程的通為 。 x x e C e C Y ? ? ? 2 1因 是

8、特征方程的單根，所以設(shè)原方程的一個(gè)特為 1 ? ? x e b ax x y ) ( ? ? ?代入原方程得 ，于是，求得 1 , 1 ? ? ? b a x e x x y ) 1 ( ? ? ?原方程的通解為 x x x e x x e C e C y ) 1 ( 2 1 ? ? ? ? ?3．計(jì)算曲面積分 ，其中 為錐面 與平面 ?? ? ?? dxdyy xe Iz2 2 ? 2 2 y x z ? ? 2 , 1 ? ? z

9、z所圍立體表面的外側(cè).解：記 1 : , : , 2 : 32 22 1 ? ? ? ? ? ? ? z y x z z則 . 4 2202 202 2 2 2 11e d e d dxdyy xe dxdyy xe Ixy Dz z? ? ? ? ??? ????? ? ? ?? ?? ?). ( 2 221202 2 2 2 22 22e e d e d dxdyy xe dxdyy xe Ixy Dy x z? ? ? ??? ?