清華大學(xué)高等數(shù)值分析-第三次作業(yè)第八題

1、第三次作業(yè)第八題 第三次作業(yè)第八題取 b=(1,1,1,...1)T,x0=0，停機(jī)準(zhǔn)則為 10-6。1）當(dāng)取 A1=(aij)=1/(i+j-1)時(shí)，取階數(shù) n=50，m=20 時(shí)，得到收斂曲線如下0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010-1010-810-610-410-2100GMRES一 一 一 ||rk||一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 (A=A1 一 一 n=50, m=20)一 一 一 一||r

2、k||/||b||結(jié)果表明，重啟的 GMRES 算法沒(méi)有重啟就得到了非常精確的結(jié)果。這是由于該矩陣在n 較小時(shí)的數(shù)值正定特性有關(guān)。取 n=500 m=20 計(jì)算結(jié)果如下，該圖為重啟次數(shù)與殘差之間的關(guān)系曲線0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10010-610-510-4GMRES一 一 一 ||rk||一 一 一 一 (A=A1 一 一 n=500, m=20)一 一 一 一||rk||/||b||可以看出，該

3、方法重啟 100 步都無(wú)法收斂到 10-6。提高 m 的值為 m=100，計(jì)算如下0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10010-1010-810-610-410-2100GMRES一 一 一 ||rk||一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 (A=A1 一 一 n=1000, m=100)一 一 一 一||rk||/||b||2）當(dāng)取 A=A2 ? 當(dāng) n=100 時(shí)，對(duì)該矩陣使用 GMRES 方法，迭代 2

4、0 步即得到結(jié)果。使用 GMRES(m)，當(dāng) m=10 時(shí)，重啟一次即可得到類似精度的結(jié)果，與 GMRES 方法的迭代步數(shù)一致（但是 GMRES(m)代價(jià)?。?。? 當(dāng) n=500 時(shí)，m=10 時(shí)，重啟一次得到結(jié)果，殘差變化如下圖0 2 4 6 8 10 12 14 16 1810-910-810-710-610-510-410-310-210-1GMRES一 一 一 ||rk||一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 (A=A2