[理學]有限單元法簡介

1、有限元法基礎Finite Element Method,桂林電子科技大學機電工程學院,2024/4/2,有限單元法簡介,2,課時安排,共 36 學時有限元法：30 學時軟件應用： 6 學時,2024/4/2,有限單元法簡介,3,考試考核成績構成,Institute of Mechanical Engineering and Automation,聽課表現(xiàn)(30分) 有限元軟件考題（70分）,2024/4/2,

2、有限單元法簡介,4,課程學習基本要求,教材及參考書,Institute of Mechanical Engineering and Automation,1、李人憲. 有限單元法基礎(第二版) [M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 2004 2、傅永華. 有限單元法基礎[M]. 武漢: 武漢大學出版社, 2003 3、王生洪等. 有限單元法基礎及應用 [M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 1990 4、黃國權. 有限單元法基礎及ANS

3、YS應用 [M]. 北京: 機械工業(yè)出版社, 2004 5、王勖成、邵敏.有限單元法 [M]. 北京: 清華大學出版社, 1997.,2024/4/2,有限單元法簡介,5,學習目的及方法,Institute of Mechanical Engineering and Automation,目的 了解FEM數(shù)學力學基礎； 把握FEM求解具體問題的基本過程； 應用FEM ，特別是運用已有的通用或?qū)Ｓ密浖蠼鈱嶋H工程技術問題；,方

4、法 注重深入理解FEM思想的建立，數(shù)學力學基礎; 運用通用或?qū)Ｓ糜邢拊绦蜻M行工程問題分析；,一、數(shù)值模擬方法概述二、有限單元法簡介三、有限單元法分析步驟四、利用有限元軟件進行工程分析五、結(jié)后語,第 1 章 有限單元法概述,2024/4/2,有限單元法簡介,7,一、數(shù)值模擬方法概述,工程技術領域中的許多力學問題和場問題，如固體力學中的位移場、應力場分析；電磁學中的電磁場分析；熱力學中的溫度場分析；流體力學中的流場分析

5、等，都可以歸結(jié)為在給定邊界條件下求解其控制方程的問題。 雖然人們能夠得到它們的基本方程和邊界條件，但是能夠用解析法求解的只是少數(shù)性質(zhì)比較簡單和邊界比較規(guī)則的問題，實際結(jié)構的形狀和所受到的載荷往往比較復雜，按解析法求解是非常困難的。,2024/4/2,有限單元法簡介,8,一、數(shù)值模擬方法概述,解決這類復雜問題主要有兩種方法：1、引入簡化假設，使其達到能用解析法求解的狀態(tài)，然后求其近似解（未必可行，容易導致不正確的解答）

6、2、保留問題的復雜性，利用數(shù)值模擬方法求得問題的近似解（較多采用） 數(shù)值模擬技術（即CAE技術，Computer-aided Engineering）是人們在現(xiàn)代數(shù)學、力學理論的基礎上，借助于計算機技術來獲得滿足工程要求的數(shù)值近似解，是現(xiàn)代工程仿真學發(fā)展的重要推動力之一。,2024/4/2,有限單元法簡介,9,一、數(shù)值模擬方法概述,目前在工程技術領域內(nèi)常用的數(shù)值模擬方法有： 1、有限單元法FEM（Finite

7、 Element Method） 2、邊界元法 BEM（Boundary Element Method） 3、有限差分法FDM（Finite Difference Method ） 4、離散單元法DEM（Discrete Element Method） 其中有限單元法是最具實用性和應用最廣泛的。,2024/4/2,有限單元法簡介,10,一、數(shù)值模擬方法概述,由數(shù)值模擬方法結(jié)合計算機技術形成的應用軟件在工程中

8、得到廣泛的應用，國際上著名的有限元通用軟件有： ANSYS, ABAQUS, MCS.PATRAN, MCS.NASTRAN, MCS.MARC, ADINA, FLAC等 它們大多采用FORTRAN語言編寫，不僅包含多種條件下的有限元分析程序，而且?guī)в袕姶蟮那疤幚砗秃筇幚沓绦颉?大多數(shù)有限元通用軟件擁有良好的用戶界面、使用方便，功能強大。,2024/4/2,有限單元法簡介,11,[FEM求解

9、工程問題思路],工程問題求解的基本過程,Institute of Mechanical Engineering and Automation,二、有限單元法簡介,2024/4/2,有限單元法簡介,12,1. 有限元法 定義 是一種工程物理問題的數(shù)值分析方法，根據(jù)近似分割和能量極值原理，把求解區(qū)域離散為有限個單元的組合，研究每個單元的特性，組裝各單元，通過變分原理，把問題化成代數(shù)方程組求解。 分析指導思想

10、 化整為零，裁彎取直，以簡馭繁，變難為易,二、有限單元法簡介,2024/4/2,有限單元法簡介,13,2. 發(fā)展簡史1943年，Courant提出有限元法概念1956年，Turner和Clough第一次用三角形單元離散飛機機翼，借助有限元法概念研究機翼的強度及剛度1960年，Clough正式提出有限元法（FEM）20世紀60年代，我國數(shù)學家馮康把FEM總結(jié)成凡是橢圓形偏微分方程都可用FEM求解20世紀60年代以后

11、，由于數(shù)學界的參與，F(xiàn)EM得到蓬勃發(fā)展，并且擴大了應用,二、有限單元法簡介,2024/4/2,有限單元法簡介,14,3. 發(fā)展方向新型單元的研究有限元的數(shù)學理論向新領域擴展應用大型通用程序的編制和設計 ANSYS, NASTRAN, ABAQUS開發(fā)微機用版本設計自動化及優(yōu)化設計（CAD, CAE, CAM）,二、有限單元法簡介,2024/4/2,有限單元法簡介,15,4. 有限元法的分類 以方程中未知數(shù)代表的意

12、義分類,有限元位移法：未知數(shù)為位移 有限元力法：未知數(shù)為力 有限元混合法：未知數(shù)為力和位移,以推導方法分類,直接法 變分法 加權余數(shù)法,二、有限單元法簡介,2024/4/2,有限單元法簡介,16,有限單元法的常用術語：,二、有限單元法簡介,真實系統(tǒng),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

13、,,,,,,,有限元模型,有限元模型 是真實系統(tǒng)理想化的數(shù)學抽象。,定義,2024/4/2,有限單元法簡介,17,自由度（DOFs－ degree of freedoms）,自由度(DOFs) 用于描述一個物理場的響應特性。,結(jié)構 DOFs,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ROTZ,UY,ROTY,UX,ROTX,UZ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

14、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2024/4/2,有限單元法簡介,18,節(jié)點和單元,節(jié)點: 空間中的坐標位置，具有一定自由度和 存在相互物理作用。,單元: 一組節(jié)點自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣 描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣)。單元有線、 面或?qū)嶓w以及二

15、維單元或三維單元等。,有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點連接，并承受一定載荷。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,載荷,2024/4/2,有限單元法簡介,19,,節(jié)點和單元 (續(xù)),節(jié)點自由度隨連接該節(jié)點的 單元類型 變化。,,,,,,,,,,,,J,I,I,J,J,K,L,I,L,K,I,,,,,,,,,,,,,,

16、,,,,,,,,,,,,,,P,O,M,N,K,J,I,L,三維桿單元 (鉸接),UX, UY, UZ,三維梁單元,二維或軸對稱實體單元,UX, UY,三維四邊形殼單元,UX, UY, UZ,,三維實體熱單元,TEMP,,,,,,,,,J,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,P,O,M,N,K,J,I,L,三維實體結(jié)構單元,ROTX, ROTY, ROTZ,ROTX, ROTY, ROTZ,UX, UY, UZ,,UX,

17、UY, UZ,,,,2024/4/2,有限單元法簡介,20,單元形函數(shù),FEA（Finite element analysis）僅僅求解節(jié)點處的DOF值。 單元形函數(shù)是一種數(shù)學函數(shù)，規(guī)定了從節(jié)點DOF值到單元內(nèi)所有點處DOF值的計算方法。 因此，單元形函數(shù)提供出一種描述單元內(nèi)部結(jié)果的“形狀”。 單元形函數(shù)描述的是給定單元的一種假定的特性。 單元形函數(shù)與真實工作特性吻合好壞程度直接影響求解精度。,2024/4/2,有限單元法簡介,

18、21,單元形函數(shù)(續(xù)),,,2024/4/2,有限單元法簡介,22,單元形函數(shù)(續(xù)),遵循: DOF值可以精確或不夠精確地等于節(jié)點處的真實解，但單元內(nèi)的平均值與實際情況吻合得很好。這些平均意義上的典型解是從單元DOFs推導出來的（如，結(jié)構應力、熱梯度）。如果單元形函數(shù)不能精確描述單元內(nèi)部的DOFs，就不能很好地得到導出數(shù)據(jù)，因為這些導出數(shù)據(jù)是通過單元形函數(shù)推導出來的。,遵循原則: 當選擇了某種單元類型時，也就十分確定地選擇

19、并接受該種單元類型所假定的單元形函數(shù)。在選定單元類型并隨之確定了形函數(shù)的情況下，必須確保分析時有足夠數(shù)量的單元和節(jié)點來精確描述所要求解的問題。,2024/4/2,有限單元法簡介,23,二、有限單元法簡介,有限單元法的基本思想：1、將一個連續(xù)域離散化為有限個單元，并通過有限個節(jié)點相連接的等效集合體。由于單元能按照不同的聯(lián)結(jié)方式進行組合，且單元本身又可以有不同形狀，因此可以模型化幾何形狀復雜的求解域。2、有限元法利用在每一個單元內(nèi)假設

20、的的近似函數(shù)來分片地表示全求解域上待求的未知場函數(shù)。單元內(nèi)的近似函數(shù)由未知場函數(shù)在單元的各個節(jié)點的數(shù)值和其插值函數(shù)來表達。3、一個問題的有限元分析中，未知場函數(shù)在各個節(jié)點上的數(shù)值就成為新的未知量，從而使一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。4、一經(jīng)求解出這些未知量，就可以通過插值函數(shù)計算出各個單元內(nèi)場函數(shù)的近似值，從而得到整個求解域上的近似解。顯然，隨著單元數(shù)目的增加，也即單元尺寸的縮小，或者隨著單元自由度的增加以及插值

21、函數(shù)精度的提高，解的近似程度將不斷改進，如果單元是滿足收斂要求的，近似解最后將收斂于精確解。,2024/4/2,有限單元法簡介,24,三、有限單元法分析步驟,有限元法分析問題的基本步驟：1、結(jié)構的離散化 離散化就是將要分析的結(jié)構分割成有限個單元體，并在單元的指定位置設置節(jié)點，使相鄰單元的有關參數(shù)具有一定的連續(xù)性，構成單元的集合體代替原來的結(jié)構。 結(jié)構離散化時，劃分的單元大小和數(shù)目應根據(jù)計算精度的要

22、求和計算機的容量來決定 選取坐標（右手法則）選擇合適的單元，離散結(jié)構物為有限個單元，并對單元、節(jié)點進 行編號,2024/4/2,有限單元法簡介,25,三、有限單元法分析步驟,2、選擇位移插值函數(shù) 為了能用節(jié)點位移表示單元體的位移、應變和應力，在分析連續(xù)體問題時，必須對單元中位移的分布做出一定的假設，一般假定位移是坐標的某種簡單函數(shù)。選擇適當?shù)奈灰坪瘮?shù)是有限單元法中的關鍵。,{ f } — 單元內(nèi)任意點的位移

23、列矩陣 [N ] — 單元形函數(shù)矩陣 — 單元節(jié)點位移的列矩陣,2024/4/2,有限單元法簡介,26,三、有限單元法分析步驟,3、分析單元的力學特性 利用幾何方程、本構方程和變分原理得到單元的剛度矩陣和載荷矩陣 {R}e= [K]e {δ}e {R}e — 單元節(jié)點力 [K]e — 單元剛度矩陣,2

24、024/4/2,有限單元法簡介,27,三、有限單元法分析步驟,4、集合所有單元平衡方程，得到整體結(jié)構的平衡方程 先將各個單元剛度矩陣集合成整體剛度矩陣[K]，然后將各單元的等效節(jié)點力列陣集合成總的載荷列陣 [K ] =Σ[K]e 5、由平衡方程求解未知節(jié)點位移{δ} 按照問題的邊界條件修改總的平衡方程，并進行求解。,2024/4/2,有限單元法簡介,28,三、有限單元法分析步驟,6、單

25、元應變和應力的計算 根據(jù)已知結(jié)點的位移利用彈性力學方程和位移插值函數(shù)算出單元的應變和應力。,2024/4/2,有限單元法簡介,29,四、利用有限元軟件進行工程分析,所有的通用有限元軟件都包括：前處理、求解器、后處理三個有邏輯順序的模塊。在進行實際工程分析時，也該按照以上三個模塊來進行。,,,進入求解器進行求解（設定分析步驟，輸出變量）,前處理（建模、材料特性、單元選擇及網(wǎng)格劃分）,,進入后處理（變形圖、等

26、值線圖，列表顯示等等后處理）,2024/4/2,有限單元法簡介,30,四、利用有限元軟件進行工程分析,利用有限元軟件進行工程問題的分析，一般應按下列步驟進行：（一）、制訂分析方案需考慮以下幾個方面：,2024/4/2,有限單元法簡介,31,1、分析領域,幾何體 載荷 物理

27、系統(tǒng),,2024/4/2,有限單元法簡介,32,2、分析目標,力？,位移？,溫度？,還是其他？,2024/4/2,有限單元法簡介,33,3、線性 / 非線性分析,“我的物理系統(tǒng)是在線性還是非線性狀態(tài)下工作？線性求解能滿足我的需要嗎？如果不能，必須考慮哪種非線性特性？” 許多情況和物理現(xiàn)象都要求進行非線性計算。,2024/4/2,有限單元法簡介,34,4、靜力 / 動力分析,靜力求解能否滿足你的分析要求？如果不能，應當進行哪種動力分析？動

28、力分析的所有載荷都是隨時間變化的，但在許多情況下動力影響可以忽略不計。,一般情況下，激勵頻率低于結(jié)構最小固有頻率的1/3時靜力求解就足夠了。慣性力是動力問題不同于靜力問題的關鍵之處。,2024/4/2,有限單元法簡介,35,5、分析細節(jié)的考慮,在建立分析模型之前必須制訂好建模方案：必須考慮哪些細節(jié)問題？對稱/反對稱/軸對稱？模型中存在應力奇異？選用哪種類型的單元？線單元殼單元X－Y平面單元平面應力或應變單元軸對稱單元

29、諧單元實體單元專用單元線性單元/高階單元/P單元四邊形單元/三角形單元，塊單元/四面體單元,2024/4/2,有限單元法簡介,36,6、充分利用結(jié)構的對稱性,,,2024/4/2,有限單元法簡介,37,7、網(wǎng)格密度,相鄰單元的尺寸盡可能接近,應力變化大處單元應密集一些。結(jié)點的多少與疏密要考慮計算 機的容量和計算精度,結(jié)點所連接的單元個數(shù)盡可能一致,2024/4/2,有限單元法簡介,38,8、單位制,注意：,ANSYS和AB

30、AQUS大型有限元軟件中，沒有固定的單位制，大家在使用的過程中，可以自己選用前后一致的一套單位制，則最后所得結(jié)果的單位即為即為所選單位制對應的單位。建議：盡量采用國際單位制,2024/4/2,有限單元法簡介,39,9、材料特性,材料特性是有限元分析必須提供的數(shù)據(jù)，其準確與否直接影響到計算的精度；必要的時候需通過試驗提供；一個復雜分析中可能包含很多種性質(zhì)截然不同的材料，建模的時候應以足夠的關鍵字以識別；很多有限元軟件中，都提供用

31、戶接口，若軟件中沒有現(xiàn)成的材料模型，用戶可以自行添加,2024/4/2,有限單元法簡介,40,10、載荷,有限元軟件中的載荷除了傳統(tǒng)意義的載荷（重力、集中力、溫度、電勢等）外，還包括邊界條件在模型建立之前，應該確定所分析模型的工作環(huán)境、作用載荷的種類、大小、方向，作用位置等，這是保證分析正確的前提條件,2024/4/2,有限單元法簡介,41,11、求解器,最后，根據(jù)分析問題的類型及要求，選擇合適的求解器進行求解即可。,,OK!可

32、以利用軟件建模了?。?！,2024/4/2,有限單元法簡介,42,四、利用有限元軟件進行工程分析,（二）分析方案制訂完畢，就可以進行實際問題的建模分析了1、建立模型,2024/4/2,有限單元法簡介,43,2024/4/2,有限單元法簡介,44,2、輸入材料特性3、選擇單元，進行網(wǎng)格劃分,2024/4/2,有限單元法簡介,45,4、施加載荷和邊界條件,2024/4/2,有限單元法簡介,46,5、定義接觸（根據(jù)分析需要）,難點！,202

33、4/4/2,有限單元法簡介,47,6、制訂分析類型和輸出要求7、選擇適當?shù)那蠼馄鬟M行求解8、查看結(jié)果,2024/4/2,有限單元法簡介,48,2024/4/2,有限單元法簡介,49,2024/4/2,有限單元法簡介,50,現(xiàn)代有限元方法經(jīng)過科學家和數(shù)學家的工作已經(jīng)使其不斷成熟完善，從而變成工程分析中一種最有效的數(shù)值方法之一。應用此方法在對于連續(xù)介質(zhì)問題分析時，首先要將求解域離散化，然后的中心工作是單元構造或者列式分析。此后的工作可以