提升小學(xué)生數(shù)學(xué)思考力

1、小學(xué) 生數(shù)學(xué)思考力的 提升策略,成都市科華中路小學(xué) 蒲華良,什么是數(shù)學(xué)思考？,就是在面臨各種數(shù)學(xué)情境，特別是非數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能夠從數(shù)學(xué)的角度，自覺(jué)運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法、思想和觀念去發(fā)現(xiàn)其中存在的數(shù)學(xué)現(xiàn)象和數(shù)學(xué)規(guī)律，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法去解決問(wèn)題。,數(shù)學(xué)思考的內(nèi)容包括：,——《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）,何為數(shù)學(xué)思考力？,數(shù)學(xué)思考力不等同于《課標(biāo)》中的十個(gè)核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)。,數(shù)學(xué)思考力不完全等同于數(shù)學(xué)思維能力。,數(shù)學(xué)思維能

2、力表示的是一個(gè)人用數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法去認(rèn)識(shí)事物和解決問(wèn)題的熟練程度，數(shù)學(xué)思維能力的形成具有階段性。數(shù)學(xué)思考力是指表現(xiàn)在認(rèn)識(shí)事物或解決問(wèn)題過(guò)程中調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、觀念和方法的程度。表示的是一種數(shù)學(xué)思考過(guò)程狀態(tài)的客觀指標(biāo)，不受評(píng)判人的主觀影響。數(shù)學(xué)思考力和數(shù)學(xué)思維能力如同學(xué)力與學(xué)歷的關(guān)系。,數(shù)學(xué)思考力的內(nèi)容（1233+16式）,數(shù)感,建立數(shù)認(rèn)識(shí)的教學(xué)范式。實(shí)物直觀 + 反復(fù)操作 ，數(shù)量體驗(yàn)才到位。 如：長(zhǎng)度單位認(rèn)識(shí)

3、。讓估算成為檢驗(yàn)數(shù)運(yùn)算的習(xí)慣。靈活多變的心算是培養(yǎng)數(shù)感的有效方法。,找數(shù)——引入數(shù)字符號(hào)——說(shuō)數(shù)——畫(huà)數(shù)——組數(shù)——對(duì)比數(shù),數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。,,,,,,把符號(hào)看成可以感知的物體。不同的個(gè)體或同一個(gè)體在不同時(shí)間解釋符號(hào)的方式各不相同。,讓估算成為檢驗(yàn)數(shù)運(yùn)算的習(xí)慣。,,符號(hào)意識(shí),適時(shí)表述符號(hào)的“能指”與“所指”。

4、如：速度。符號(hào)的規(guī)范表達(dá)與自主性表達(dá)。如：怎樣表示 ?用好在過(guò)程理解上的符號(hào)記錄功能。如：除法豎式。完整揭示符號(hào)的本質(zhì)意義。如“+”與“-”。,3表示什么？?jī)蓚€(gè)18表示的 有什么不同？,創(chuàng)新意識(shí),人數(shù)金字塔,財(cái)富與智慧金字塔,人類(lèi)文明的金字塔結(jié)構(gòu),越是試圖去復(fù)制別人的成功經(jīng)驗(yàn)，你失敗的可能性就越大。如果你能從贏家提前為你設(shè)定的思維中跳出來(lái)，重點(diǎn)去分析贏家的思維方式和行動(dòng)精神，你就能夠讓自己保持在一個(gè)清醒的高度上，從容地

5、看清事物背后的真正規(guī)律。,創(chuàng)新意識(shí),“創(chuàng)新型教師”才能培養(yǎng)出有創(chuàng)新意識(shí)的學(xué)生。（欣賞創(chuàng)新、接納創(chuàng)新、發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新、鼓勵(lì)創(chuàng)新、引導(dǎo)創(chuàng)新）強(qiáng)化“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題”兩個(gè)環(huán)節(jié)。 （提合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題； 可不可以增加條件來(lái)提問(wèn)？）尊重問(wèn)題解決的多元化，放得開(kāi)，收得回。,,五年級(jí)提問(wèn)：買(mǎi)一個(gè)文具盒和一支鉛筆共多少元？ 先買(mǎi)10支鉛筆后還可以買(mǎi)多少支鋼筆？,,,應(yīng)用意識(shí),教師要明確兩個(gè)指向：用數(shù)學(xué)解釋和解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題；將現(xiàn)

6、實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化。尋找有挑戰(zhàn)性的現(xiàn)實(shí)情境素材——數(shù)學(xué)問(wèn)題要生活化。 如：尾巴能接上嗎？讓學(xué)生帶著“任務(wù)”去數(shù)學(xué)化現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。 如：調(diào)查一個(gè)小住了多少戶人？,空間觀念,要接觸實(shí)物，只靠課件學(xué)習(xí)不利于形成空間觀念。 如觀察物體 擺了畫(huà)、畫(huà)了擺效果最好。想象要細(xì)化，把抽象的過(guò)程拆分。精心設(shè)計(jì)習(xí)題，聚焦圖形本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)。加強(qiáng)辨析，讓數(shù)學(xué)思考更有靈活性和深刻性。多做游戲，讓想象和理解變得可見(jiàn)。 如：感知1立

7、方米的大小,空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語(yǔ)言的描述畫(huà)出圖形等。,,,,認(rèn)識(shí)：平移前后形狀和大小不改變，位置改變； 物體平移時(shí)，每一個(gè)點(diǎn)移動(dòng)的方向和距離是相同的。方法：找對(duì)應(yīng)點(diǎn)——找點(diǎn)的平移路徑——數(shù)平移距離（格數(shù)）難點(diǎn)：如何數(shù)對(duì)格數(shù)？,,,被圓紙片蓋住的是一個(gè)角嗎？（二年級(jí)）,,回答是與非都不重要，關(guān)

8、鍵是診斷學(xué)生是否用角的形狀特征去想象。,,,,幾何直觀,理解上避免誤區(qū)。幾何直觀不是指學(xué)習(xí)點(diǎn)、線、面、體的有關(guān)知識(shí)，而是用數(shù)形結(jié)合的思想方法去理解、分析和解決問(wèn)題。在用幾何直觀解決問(wèn)題過(guò)程中要根據(jù)具體的問(wèn)題情境選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法。養(yǎng)成把想法畫(huà)出來(lái)的習(xí)慣：說(shuō)不清楚畫(huà)出來(lái)，想不清楚畫(huà)出來(lái)。 熟練掌握一些典型問(wèn)題的常規(guī)畫(huà)法。如：行程問(wèn)題、分?jǐn)?shù)問(wèn)題一般畫(huà)線段圖，分?jǐn)?shù)運(yùn)算問(wèn)題一般畫(huà)矩形圖或餅圖。教給一些畫(huà)圖的技巧。邊讀題邊補(bǔ)

9、充數(shù)據(jù)和問(wèn)題，邊分析邊完善圖形。,主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀 地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用。,,數(shù)據(jù)分析觀念,高度重視：大數(shù)據(jù)時(shí)代到來(lái)。實(shí)現(xiàn)中國(guó)夢(mèng)，需要數(shù)據(jù)先鋒。培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析人才，教育任重而道遠(yuǎn)。有七冊(cè)教材安排“統(tǒng)計(jì)與概率”知識(shí)，用心良苦。區(qū)分一二學(xué)段要求，不可降低，也不能撥高。多讓學(xué)生經(jīng)歷調(diào)查、實(shí)驗(yàn)

10、、分析、猜測(cè)、合情推理的過(guò)程。多給交流空間：你發(fā)現(xiàn)什么？你認(rèn)為什么？你建議什么？這才是“統(tǒng)計(jì)與概率”教學(xué)的宗旨。只能用合情推理（歸納）不能用演繹推理，不能驗(yàn)證，勿倒置,,數(shù)據(jù)，這個(gè)21世紀(jì)人類(lèi)探索的新連續(xù)，正在被云計(jì)算發(fā)現(xiàn)、征服。 （大數(shù)據(jù)分析）不再追求精確度，不再追求因果關(guān)系，而是承認(rèn)混雜性，探索相關(guān)關(guān)系。 思維轉(zhuǎn)變過(guò)來(lái)，數(shù)據(jù)就能巧妙地用來(lái)激發(fā)新產(chǎn)品和新型服務(wù)。數(shù)據(jù)正成為巨大的經(jīng)濟(jì)資產(chǎn)，成為新世紀(jì)的礦產(chǎn)和石油，將

11、帶來(lái)全新的創(chuàng)業(yè)方向、商業(yè)模式和投資機(jī)會(huì)…… 數(shù)據(jù)挖掘不僅能夠成為公司的競(jìng)爭(zhēng)力，也將成為國(guó)家競(jìng)爭(zhēng)力的一部分。通過(guò)大數(shù)據(jù)，創(chuàng)建新的產(chǎn)業(yè)群，實(shí)現(xiàn)“中國(guó)制造到中國(guó)創(chuàng)造”的改變，意義就更大。 ——寬帶資本董事長(zhǎng)田溯寧：《大數(shù)據(jù)時(shí)代》序言,運(yùn)算能力,在具體的問(wèn)題情境中理解算理。引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)概念和運(yùn)算意義的角度去思考算法。鼓勵(lì)算法多元化，但需要聚焦到基本算法的理解和掌握，以便達(dá)到運(yùn)算的技能。遵循運(yùn)算技

12、能形成的認(rèn)知規(guī)律：懂—會(huì)—熟—活。前一步?jīng)]過(guò)關(guān)，不要急于進(jìn)入下一步。抓一次性正確率的診斷與補(bǔ)救，不可盲目追求練習(xí)強(qiáng)度。一定量欠的重復(fù)訓(xùn)練是形成運(yùn)算技能的必要手段。開(kāi)展豐富多樣的趣味活動(dòng)，激發(fā)孩子的運(yùn)算興趣。,運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。,推理能力,合情推理： 已有事實(shí)__(經(jīng)驗(yàn)和直觀）(歸納和類(lèi)比)　結(jié)果　即：由因索果演繹推理：

13、已有事實(shí)＿(規(guī)則)　　(邏輯推理法則)　　結(jié)果　即：執(zhí)果索因,為什么小學(xué)強(qiáng)調(diào)得多的是合理推理能力？ 合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論。培養(yǎng)創(chuàng)新型人才更需要培養(yǎng)合情推理能力。 史寧中教授認(rèn)為：演繹推理的主要功能在于驗(yàn)證結(jié)論，而不在于發(fā)現(xiàn)結(jié)論。我們?nèi)鄙俚氖歉鶕?jù)情況“預(yù)測(cè)結(jié)果”的能力，根據(jù)結(jié)果“探索成因”的能力。而這正是歸納推理能力。,小學(xué)數(shù)學(xué)推理思想的應(yīng)用表,挖掘培養(yǎng)合情推理能力的教學(xué)資源。（三上） 在觀察中

14、比較，在比較中概括。,積累“合情推理”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),掌握計(jì)算方法不是本課最重要的教學(xué)目標(biāo)，培養(yǎng)合情推理的能力才是本課的中心目標(biāo)。難點(diǎn)在規(guī)納這一步。重點(diǎn)是組織學(xué)生經(jīng)歷“操作——觀察——猜測(cè)——類(lèi)比——?dú)w納——應(yīng)用與拓展”這個(gè)數(shù)學(xué)思考的過(guò)程，積累解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。,你怎樣處理這個(gè)部分？,掌握一些合情推理 的步驟和方法,觀察異同。猜測(cè)或發(fā)現(xiàn)。舉例子分析發(fā)現(xiàn)或驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)。把發(fā)現(xiàn)用文字、符號(hào)、圖形、表格等表達(dá)出來(lái)。用你的發(fā)現(xiàn)解決

15、相關(guān)的問(wèn)題。,數(shù)學(xué)思想和方法,數(shù)學(xué)思想是宏觀的，在解決問(wèn)題中起方向性指導(dǎo)作用；數(shù)學(xué)方法是微觀的，是解決問(wèn)題的具體策略。數(shù)學(xué)思想方法不可獨(dú)立教學(xué)，要在解決具體問(wèn)題的過(guò)程中去讓孩子們?nèi)ジ形蚝腕w會(huì)。不要當(dāng)成一種數(shù)學(xué)知識(shí)或一項(xiàng)數(shù)學(xué)技能去教學(xué)。每一種數(shù)學(xué)思想和方法有各自獨(dú)立的意義，但也有交叉。有時(shí)會(huì)單用一種數(shù)學(xué)思想和方法，也有時(shí)同時(shí)用幾種思想方法，教學(xué)時(shí)重點(diǎn)體會(huì)一種主流就行。,1、對(duì)應(yīng)思想方法,小學(xué)一般是一一對(duì)應(yīng)。應(yīng)用：在數(shù)軸（線）上

16、表示數(shù)，比多少，三角形底與高的對(duì)應(yīng)，問(wèn)題解決等建議：操作、畫(huà)圖或列表。例：（用對(duì)應(yīng)思想理解數(shù)量關(guān)系) 一本書(shū)300頁(yè)，小林看了5天，還剩下100頁(yè)。平均每天看多少頁(yè)？,游戲破難點(diǎn)：找對(duì)應(yīng)點(diǎn),2、假設(shè)思想方法,理解：改變?cè)瓟?shù)據(jù)，原來(lái)的數(shù)量關(guān)系與邏輯關(guān)系不變，對(duì)比前后變化。屬一種轉(zhuǎn)化思想方法。策略：靈活假設(shè)數(shù)據(jù)。例：,3、整體思想方法。,整體思想方法的長(zhǎng)期滲透。如：結(jié)合具體問(wèn)題情境從“上位的數(shù)量關(guān)系”到“特殊的數(shù)量關(guān)系

17、”的引導(dǎo)——上位數(shù)量關(guān)系：“部分?jǐn)?shù)、部分?jǐn)?shù)與總數(shù)”，“部分?jǐn)?shù)、部分?jǐn)?shù)與相差數(shù)”，“每份數(shù)、份數(shù)與總數(shù)”。如從“每份數(shù)╳份數(shù)=總數(shù)”到“速度╳時(shí)間=路程”再到“每時(shí)行的千米數(shù)╳小時(shí)數(shù)=共行的千米數(shù)”對(duì)解題策略的選擇與思考?！。ɡ?,,4、分類(lèi)思想方法。,分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的必要性討論。強(qiáng)化有序思考意識(shí)?！±河行蛄信e。,5、類(lèi)比思想方法,把主要精力放在找共同屬性上。,6、符號(hào)化思想方法,（學(xué)生獨(dú)立完成后，匯報(bào)）生1：3根小棒，只能擺

18、一種，是等邊三角形。4根小棒也只能擺一種，等腰三角形。5根小棒能擺一種等腰三角形，6根小棒能擺一種等邊三角形。師：你是怎么想的呢？生：用1表示一根小棒的長(zhǎng)，這樣就可以用數(shù)字來(lái)表示長(zhǎng)度了。我們把擺的情況寫(xiě)出來(lái)：3根：1，１，１，等邊三角形。4根：１，１，２，等腰三角形。5根：１，１，３（不能）；１，２，２（能，等腰三角形）。６根：１，１，５（不能）；１，２，３（不能）；２，２，２（能，是等邊三角形）師：這樣用數(shù)字表示有什么

19、好處呢？生：用數(shù)字表示長(zhǎng)度，簡(jiǎn)單清楚。師：你們發(fā)現(xiàn)擺成的三角形有什么特點(diǎn)?生：不是等邊三角形就是等腰三角形。師：如果小棒的根數(shù)更多，比如7根、8根、9根，還有這樣的規(guī)律嗎？請(qǐng)你們?cè)囈辉?。生：。。。我們發(fā)現(xiàn)到9根時(shí)，不是這樣。出現(xiàn)了2，3，4這種一般的三角形。,用符號(hào)記錄思維的過(guò)程。,7、數(shù)學(xué)模型思想方法,【理解】反映現(xiàn)實(shí)世界事物特征的數(shù)量關(guān)系或空間形式都稱為數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型的主要表達(dá)形式是數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)式和圖表?！痉秶孔?/p>

20、然數(shù)列，數(shù)軸表示數(shù)，四則運(yùn)算式，方程，數(shù)量關(guān)系，字母公式，統(tǒng)計(jì)圖表，用分?jǐn)?shù)表示可能性等。【教學(xué)舉例】如何構(gòu)建方程的數(shù)學(xué)模型？ （1）用字母表示未知量；（2）“=”兩邊表示相同意義,8、數(shù)形結(jié)合思想方法。,數(shù)無(wú)形少直觀，形無(wú)數(shù)難入微。——華羅庚,經(jīng)驗(yàn)卡片有圖讀信息，無(wú)圖畫(huà)信息。數(shù)為形服務(wù)，形為數(shù)達(dá)意。形要簡(jiǎn)潔，數(shù)要直白。經(jīng)驗(yàn)積累，典型固化。,數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)的形，數(shù)學(xué)思考是數(shù)學(xué)的魂。有形無(wú)魂的數(shù)學(xué)止于膚淺，有魂無(wú)