第二章 泊松過(guò)程

1、1,第二章 泊松過(guò)程,泊松過(guò)程定義泊松過(guò)程的數(shù)字特征時(shí)間間隔分布、等待時(shí)間分布及到達(dá)時(shí)間的條件分布復(fù)合泊松過(guò)程非齊次泊松過(guò)程濾過(guò)泊松過(guò)程,2,計(jì)數(shù)過(guò)程：稱隨機(jī)過(guò)程{N(t),t≥0}為計(jì)數(shù)過(guò)程，若N(t)表示到時(shí)刻t為止已發(fā)生的“事件A”的總數(shù)，且N(t)滿足下列條件： N(t) ≥0; N(t)取正整數(shù)值； 若s<t，則N(s) ≤N(t)； 當(dāng)s<t時(shí)，N(t)-N(s)等于區(qū)間(s,t]中發(fā)生的“事

2、件A”的次數(shù)。,計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn)(t)是獨(dú)立增量過(guò)程,如果計(jì)數(shù)過(guò)程在不相重疊的時(shí)間間隔內(nèi)，事件A發(fā)生的次數(shù)是相互獨(dú)立的。,計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn)(t)是平穩(wěn)增量過(guò)程,若計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn)(t)在(t,t+s]內(nèi)（S>0），事件A發(fā)生的次數(shù)N(t+s)-N(t)僅與時(shí)間差s有關(guān)，而與t無(wú)關(guān)。,3,泊松過(guò)程定義1：稱計(jì)數(shù)過(guò)程{X(t),t≥0}為具有參數(shù)λ>0的泊松過(guò)程，若它滿足下列條件：1、X(0)=0；2、X(t)是獨(dú)立增量過(guò)程；3、在任一長(zhǎng)

3、度為t的區(qū)間中，事件A發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)λ>0的泊松分布，即對(duì)任意s,t≥0，有,泊松過(guò)程同時(shí)也是平穩(wěn)增量過(guò)程,表示單位時(shí)間內(nèi)事件A發(fā)生的平均個(gè)數(shù)，故稱為過(guò)程的速率或強(qiáng)度,4,泊松過(guò)程定義2：稱計(jì)數(shù)過(guò)程{X(t),t≥0}為具有參數(shù)λ>0的泊松過(guò)程，若它滿足下列條件： X(0)=0； X(t)是獨(dú)立、平穩(wěn)增量過(guò)程；X(t)滿足下列兩式：,例如：電話交換機(jī)在一段時(shí)間內(nèi)接到的呼叫次數(shù)；火車站某段時(shí)間內(nèi)購(gòu)買車票的旅客數(shù)

4、；機(jī)器在一段時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)；保險(xiǎn)的理賠,5,定理 ：定義1和定義2是等價(jià)的。,例子：設(shè)交換機(jī)每分鐘接到電話的次數(shù)X(t)是強(qiáng)度為λ的泊松過(guò)程。求兩分鐘內(nèi)接到3次呼叫的概率。第二分鐘內(nèi)接到第3次呼叫的概率。,6,泊松過(guò)程的數(shù)字特征,設(shè){X(t),t≥0}是泊松過(guò)程，對(duì)任意的t,s∈[0, ∞)，且s<t，有,由于X(0)=0，所以,一般情況下，泊松過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)可表示為,7,泊松過(guò)程的無(wú)記憶性：設(shè){X(t),t≥

5、0}為具有參數(shù)λ的泊松過(guò)程，假定S是相鄰事件的時(shí)間間隔，求P{S>s1+s2|S>s1}。即假定最近一次事件A發(fā)生的時(shí)間在s1時(shí)刻，下一次事件A發(fā)生的時(shí)間至少在將來(lái)s2時(shí)刻的概率。,8,時(shí)間間隔的分布,設(shè){N(t),t≥0}是泊松過(guò)程，令N(t)表示t時(shí)刻事件A發(fā)生的次數(shù)，Tn表示從第（n-1）次事件A發(fā)生到第n次事件A發(fā)生的時(shí)間間隔。,9,定理：設(shè){X(t),t≥0}為具有參數(shù)λ的泊松過(guò)程，{Tn,n≥1}是對(duì)應(yīng)的時(shí)間

6、間隔序列，則隨機(jī)變量Tn是獨(dú)立同分布的均值為1/λ的指數(shù)分布。,對(duì)于任意n=1,2, …事件A相繼到達(dá)的時(shí)間間隔Tn的分布為,概率密度為,10,等待時(shí)間的分布,等待時(shí)間Wn是指第n次事件A到達(dá)的時(shí)間分布,因此Wn是n個(gè)相互獨(dú)立的指數(shù)分布隨機(jī)變量之和。,11,定理：設(shè){Wn,n≥1}是與泊松過(guò)程{X(t),t≥0}對(duì)應(yīng)的一個(gè)等待時(shí)間序列，則Wn服從參數(shù)為n與λ的Г分布，其概率密度為,例：已知儀器在[0，t]內(nèi)發(fā)生振動(dòng)的次數(shù)X(t)是具有

7、參數(shù)λ的泊松過(guò)程，若儀器振動(dòng)k（k>=1）次就會(huì)出現(xiàn)故障，求儀器在時(shí)刻t0正常工作的概率。,12,到達(dá)時(shí)間的條件分布,假設(shè)在[0,t]內(nèi)時(shí)間A已經(jīng)發(fā)生一次，我們要確定這一事件到達(dá)時(shí)間W1的分布。,泊松過(guò)程,,平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程,可以認(rèn)為[0,t]內(nèi)長(zhǎng)度相等的區(qū)間包含這個(gè)事件的概率應(yīng)該相等，或者說(shuō)，這個(gè)事件的到達(dá)時(shí)間應(yīng)在[0,t]上服從均勻分布。對(duì)于s<t有,分布函數(shù),分布密度,13,定理：設(shè){X(t),t≥0}是泊松過(guò)程，已

8、知在[0,t]內(nèi)事件A發(fā)生n次，則這n次到達(dá)時(shí)間W1<W2, …<Wn與相應(yīng)于n個(gè)[0,t]上均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)變量的順序統(tǒng)計(jì)量有相同的分布。,例題設(shè)在[0,t]內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生n次，且0<s<t，對(duì)于0<k<n，求P{X(s)=k|X(t)=n},例題設(shè)在[0,t]內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生n次，求第k(k<n)次事件A發(fā)生的時(shí)間Wk的條件概率密度函數(shù)。,1、設(shè){X(t),t≥0}是泊松過(guò)程，在給定

9、[0,t]內(nèi)事件A發(fā)生n次的條件下，這n次到達(dá)時(shí)間W1，W2, …，Wn ，每一個(gè)都是U[0,t]的一個(gè)樣本，且相互獨(dú)立。2、若不考慮其大小順序，其分布就如n個(gè)獨(dú)立的均勻隨機(jī)變量U[0,t]，如,到達(dá)時(shí)間的條件分布的說(shuō)明,3、如果我們有一組n個(gè)獨(dú)立均勻分布U[0,t]隨機(jī)變量的觀測(cè)值，將其按大小排列，則可以將其視為給定X(t)=n的齊次泊松過(guò)程的n個(gè)到達(dá)點(diǎn)，是一種產(chǎn)生齊次泊松過(guò)程的方法,15,例題設(shè){X1 (t),t ≥0}和{X2

10、 (t),t ≥0}是兩個(gè)相互獨(dú)立的泊松過(guò)程，它們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)平均出現(xiàn)的事件數(shù)分別為λ1和λ2，記 為過(guò)程X1(t)的第k次事件到達(dá)時(shí)間， 為過(guò)程X2(t)的第1次事件到達(dá)時(shí)間，求,例題有線電視公司從客戶簽約時(shí)刻起開(kāi)始收費(fèi)，每單位時(shí)間收費(fèi)1元，設(shè)簽約客戶為參數(shù)為λ的泊松過(guò)程，求公司在(0，t]時(shí)間段內(nèi)的平均總收入。,16,非齊次泊松過(guò)程,允許時(shí)刻t的來(lái)到強(qiáng)度是t的函數(shù),定義：稱計(jì)數(shù)過(guò)程{X(t),t≥0}為具有跳躍

11、強(qiáng)度函數(shù)λ(t)的非齊次泊松過(guò)程，若它滿足下列條件： X(0)=0； X(t)是獨(dú)立增量過(guò)程；,非齊次泊松過(guò)程的均值函數(shù)（積分強(qiáng)度函數(shù)）為,17,定理：設(shè){X(t),t≥0}為具有均值函數(shù) 非齊次泊松過(guò)程，則有,或,18,到達(dá)時(shí)間的條件分布,19,例題設(shè){X(t),t≥0}是具有跳躍強(qiáng)度

12、 的非齊次泊松過(guò)程（ω≠0），求E[X(t)]和D[X(t)]。,例題設(shè)某路公共汽車從早上5時(shí)到晚上9時(shí)有車發(fā)出，乘客流量如下：5時(shí)按平均乘客為200人/時(shí)計(jì)算；5時(shí)至8時(shí)乘客平均到達(dá)率按線性增加，8時(shí)到達(dá)率為1400人/時(shí)；8時(shí)至18時(shí)保持平均到達(dá)率不變；18時(shí)到21時(shí)從到達(dá)率1400人/時(shí)按線性下降，到21時(shí)為200人/時(shí)。假定乘客數(shù)在不相重疊時(shí)間間隔內(nèi)是相互獨(dú)立的。求12時(shí)至14時(shí)有2000人來(lái)站乘車的概率，并求這

13、兩個(gè)小時(shí)內(nèi)來(lái)站乘車人數(shù)的數(shù)學(xué)期望。,20,復(fù)合泊松過(guò)程,定義：設(shè){N(t),t≥0}是強(qiáng)度為λ的泊松過(guò)程，{Yk,k=1,2,…}是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且與{N(t),t≥0}獨(dú)立，令,則稱{X(t),t≥0}為復(fù)合泊松過(guò)程。,N(t),Yk,X(t),在時(shí)間段(0,t]內(nèi)來(lái)到商店的顧客數(shù),第k個(gè)顧客在商店所花的錢數(shù),該商店在(0,t]時(shí)間段內(nèi)的營(yíng)業(yè)額,21,定理設(shè)

14、 是復(fù)合泊松過(guò)程，則 {X(t), t≥0}是獨(dú)立增量過(guò)程； X(t)的特征函數(shù) ，其中 是隨機(jī)變量Y1的特征函數(shù)，λ是時(shí)間的到達(dá)率； 若E(Y12)<∞，則,例題：結(jié)巴（stuttering）泊松過(guò)程對(duì)于一個(gè)復(fù)合泊松過(guò)程，如果Yn服從幾何分布：,23,泊松過(guò)程的分解,例題設(shè)到達(dá)某商場(chǎng)的顧客組成強(qiáng)度為λ的泊松過(guò)程，每個(gè)顧客

15、購(gòu)買商品的概率為p，且與其他顧客是否購(gòu)買商品無(wú)關(guān)，若{X( t )，t≥0}為購(gòu)買商品的顧客數(shù)，證明{X( t )，t≥0}是強(qiáng)度為λ p的泊松過(guò)程。,泊松過(guò)程的分解：強(qiáng)度為λ的泊松過(guò)程，事件A在時(shí)刻s到達(dá)，則此到達(dá)可分解成概率為P(s)的type-1到達(dá)和概率為1- P(s) 的type-2到達(dá)，用{Ni ( t ) ，t≥0}，i=1,2，表示type-i在時(shí)間(0,t]的達(dá)到次數(shù)，則有,24,泊松過(guò)程的分解可推廣到n個(gè)類型，用P

16、i(s)表示type-i在時(shí)刻s達(dá)到的概率，定義：則{Ni ( t ) ，t≥0}為參數(shù)λ pi的泊松分布，且{Ni ( t )}相互獨(dú)立,例：某沙灘汽車的到達(dá)服從指數(shù)為λ的泊松過(guò)程，汽車在沙灘的逗留時(shí)間分布為G(s)，假定各汽車逗留時(shí)間之間，以及逗留時(shí)間與到達(dá)時(shí)間之間相互獨(dú)立，用N1 ( t ) 表示時(shí)刻t離開(kāi)沙灘的汽車數(shù)量， N2 ( t ) 表示時(shí)刻t仍然在沙灘上的汽車數(shù)量，則N1 ( t ) 和 N2 ( t ) 是一個(gè)