第二章 導(dǎo)熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

1、第二章 導(dǎo)熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,動(dòng)力工程系,1 、重點(diǎn)內(nèi)容： ① 傅立葉定律及其應(yīng)用；                ② 導(dǎo)熱系數(shù)及其影響因素；            

2、    ③ 導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。 2 、掌握內(nèi)容：一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的分析解法 3 、了解內(nèi)容：多維導(dǎo)熱問(wèn)題,§ 2 -1 導(dǎo)熱基本定律,一 、溫度場(chǎng) （Temperature field）1 、概念 溫度場(chǎng)是指在各個(gè)時(shí)刻物體內(nèi)各點(diǎn)溫度分布的總稱。 由傅立葉定律知，物體的溫度分布是坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)：,,,,其中 為空間坐標(biāo)， 為時(shí)間坐標(biāo)。,

3、2 、溫度場(chǎng)分類 1 ）穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)（定常溫度場(chǎng)） （Steady-state conduction） 是指在穩(wěn)態(tài)條件下物體各點(diǎn)的溫度分布不隨時(shí)間的改變而變化的溫度場(chǎng)稱穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)，其表達(dá)式：,,,2 ）非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)（非定常溫度場(chǎng)） （Transient conduction） 是指在變動(dòng)工作條件下，物體中各點(diǎn)的溫度分布隨時(shí)間而變化的溫度場(chǎng)稱非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)，其表達(dá)式： 若物體溫度僅一個(gè)方向有變化，這種情況下的溫度場(chǎng)

4、稱一維溫度場(chǎng)。,等溫面與等溫線,等溫線：用一個(gè)平面與各等溫面相交，在這個(gè)平面上得到一個(gè)等溫線簇,等溫面：同一時(shí)刻、溫度場(chǎng)中所有溫度相同的點(diǎn)連接起來(lái)所構(gòu)成的面,等溫面與等溫線的特點(diǎn)：,(1) 溫度不同的等溫面或等溫線彼此不能相交,(2) 在連續(xù)的溫度場(chǎng)中，等溫面或等溫線不會(huì)中斷，它們或者是物體中完全封閉的曲面（曲線），或者就終止與物體的邊界上,物體的溫度場(chǎng)通常用等溫面或等溫線表示,等溫線圖的物理意義：若每條等溫線間的溫度間隔相等時(shí)，等溫

5、線的疏密可反映出不同區(qū)域?qū)釤崃髅芏鹊拇笮?。如圖所示是用等溫線圖表示溫度場(chǎng)的實(shí)例。,二 、導(dǎo)熱基本定律,1 、導(dǎo)熱基本定律（傅立葉定律） 1 ）定義：在導(dǎo)熱現(xiàn)象中，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)給定截面所傳遞的熱量，正比例于垂直于該截面方向上的溫度變化率，而熱量傳遞的方向與溫度升高的方向相反，即,,2 ）數(shù)學(xué)表達(dá)式：,,,,（負(fù)號(hào)表示熱量傳遞方向與溫度升高方向相反）,3 ）傅里葉定律用熱流密度表示：,其中 ——熱流密度(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積

6、的熱流量)        ——物體溫度沿 x 軸方向的變化率,當(dāng)物體的溫度是三個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)時(shí)，其形式為:,,是空間某點(diǎn)的溫度梯度；,是通過(guò)該點(diǎn)等溫線上的法向單位矢量，指向溫度升高的方向；,是該處的熱流密度矢量。,,,,式中：,2 、溫度梯度與熱流密度矢量的關(guān)系     如圖 2-2 （ a ）所示，表示了微元面積 dA 附近

7、的溫度分布及垂直于該微元面積的熱流密度矢量的關(guān)系。 1 ）熱流線     定義：熱流線是一組與等溫線處處垂直的曲線，通過(guò)平面上任一點(diǎn)的熱流線與該點(diǎn)的熱流密度矢量相切。,2 ）熱流密度矢量與熱流線的關(guān)系： 在整個(gè)物體中，熱流密度矢量的走向可用熱流線表示。如圖 2-2 （ b ）所示，其特點(diǎn)是相鄰兩個(gè)熱流線之間所傳遞的熱流密度矢量處處相等，構(gòu)成一熱流通道。,三 、導(dǎo)熱系數(shù) （ 導(dǎo)熱率、比例

8、系數(shù)）,1 、導(dǎo)熱系數(shù)的含義     導(dǎo)熱系數(shù)的定義式由傅里葉定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式給出：,,數(shù)值上等于在單位溫度梯度作用下物體內(nèi)所產(chǎn)生的熱流密度矢量的模。,2、影響熱導(dǎo)率的因素：物質(zhì)的種類、材料成分、溫度、濕度、壓力、密度等,3 、保溫材料（隔熱、絕熱材料）     把導(dǎo)熱系數(shù)小的材料稱保溫材料。我國(guó)規(guī)定： ≤ 350 ℃ 時(shí)， ≤ 0.12w/mk 保

9、溫材料導(dǎo)熱系數(shù)界定值的大小反映了一個(gè)國(guó)家保溫材料的生產(chǎn)及節(jié)能的水平。 越小，生產(chǎn)及節(jié)能的水平越高。我國(guó) 50 年代 0.23W/mk 80 年代 GB4272-84 0.14w/mk GB427-92 0.12w/mk,,,4 、保溫材料熱量轉(zhuǎn)移機(jī)理 ( 高效保溫材料 )     高溫時(shí)：（ 1 ）蜂窩固體結(jié)構(gòu)的導(dǎo)熱 （ 2 ）穿過(guò)微小氣孔的導(dǎo)熱 更高溫度時(shí)：（ 1 ）蜂窩固體結(jié)

10、構(gòu)的導(dǎo)熱 （ 2 ）穿過(guò)微小氣孔的導(dǎo)熱和輻射,5 、超級(jí)保溫材料 采取的方法：（ 1 ）夾層中抽真空（減少通過(guò)導(dǎo)熱而造成熱損失） （ 2 ）采用多層間隔結(jié)構(gòu)（ 1cm 達(dá)十幾層） 特點(diǎn)：間隔材料的反射率很高，減少輻射換熱，垂直于隔熱板上的導(dǎo)熱系數(shù)可達(dá)： 10 - 4w/mk,6 、各向異性材料 指有些材料（木材，石墨）各向結(jié)構(gòu)不同，各方向上的 也有較大差別，這些材料稱各向異性材料。此類材料

11、必須注明方向。相反，稱各向同性材料。,§ 2-2 導(dǎo)熱微分方程式及定解條件,由前可知： （ 1 ）對(duì)于一維導(dǎo)熱問(wèn)題，根據(jù)傅立葉定律積分，可獲得用兩側(cè)溫差表示的導(dǎo)熱量。 （ 2 ）對(duì)于多維導(dǎo)熱問(wèn)題，首先獲得溫度場(chǎng)的分布函數(shù)，然后根據(jù)傅立葉定律求得空間各點(diǎn)的熱流密度矢量。,一 、導(dǎo)熱微分方程 1 、定義：根據(jù)能量守恒定律與傅立葉定律，建立導(dǎo)熱物體中的溫度場(chǎng)應(yīng)滿足的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為導(dǎo)熱微分方程。,2 、導(dǎo)熱微分方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式

12、  導(dǎo)熱微分方程的推導(dǎo)方法，假定導(dǎo)熱物體是各向同性的。,1 ）針對(duì)笛卡兒坐標(biāo)系中微元平行六面體     由前可知，空間任一點(diǎn)的熱流密度矢量可以分解為三個(gè)坐標(biāo)方向的矢量。     同理，通過(guò)空間任一點(diǎn)任一方向的熱流量也可分解為 x 、 y 、 z 坐標(biāo)方向的分熱流量，如圖 2-4 所示。,,① 通過(guò) x=x 、 y=y 、 z=z ，三個(gè)微元表

13、面而導(dǎo)入微元體的熱流量：ф x 、ф y 、ф z 的計(jì)算。 根據(jù)傅立葉定律得,② 通過(guò) x=x+dx 、 y=y+dy 、 z=z+dz 三個(gè)微元表面而導(dǎo)出微元體的熱流量ф x+dx 、ф y+dy 、ф z+dz 的計(jì)算。根據(jù)傅立葉定律得：,,③ 對(duì)于任一微元體根據(jù)能量守恒定律，在任一時(shí)間間隔內(nèi)有以下熱平衡關(guān)系：     導(dǎo)入微元體的總熱流量 + 微元體內(nèi)熱源的生成熱 = 導(dǎo)出微元體的總熱流

14、量 + 微元體熱力學(xué)能（內(nèi)能）的增量,(c),,微元體熱力學(xué)能的增量=,,微元體內(nèi)熱源的生成熱=,,,其中 —— 微元體的密度、比熱容、單位時(shí)間內(nèi)單位體積內(nèi)熱源的生成熱及時(shí)間。,導(dǎo)入微元體的總熱流量導(dǎo)出微元體的總熱流量,將以上各式代入熱平衡關(guān)系式，并整理得：,這是笛卡爾坐標(biāo)系中三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程的一般表達(dá)式。 其物理意義：反映了物體的溫度隨時(shí)間和空間的變化關(guān)系。,1）對(duì)上式化簡(jiǎn)：,①導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù),,

15、式中， ，稱為熱擴(kuò)散率。,②導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù) 、無(wú)內(nèi)熱源,③導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù) 、穩(wěn)態(tài),④導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù) 、穩(wěn)態(tài) 、無(wú)內(nèi)熱源,2）圓柱坐標(biāo)系中的導(dǎo)熱微分方程：,3）球坐標(biāo)系中的導(dǎo)熱微分方程：,綜上說(shuō)明： （ 1 ）導(dǎo)熱問(wèn)題仍然服從能量守恒定律； （ 2 ）等號(hào)左邊是單位時(shí)間內(nèi)微元體熱力學(xué)能的增量（非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)）； （ 3 ）等號(hào)右邊前三項(xiàng)之和是通過(guò)界面的導(dǎo)熱使微分元體在單位時(shí)間內(nèi) 增加的能量 ( 擴(kuò)散項(xiàng) ) ； （ 4

16、 ）等號(hào)右邊最后項(xiàng)是源項(xiàng)；（ 5 ）若某坐標(biāo)方向上溫度不變，該方向的凈導(dǎo)熱量為零，則相應(yīng)的擴(kuò)散項(xiàng)即從導(dǎo)熱微分方程中消失。,二、 定解條件,1 、定義：是指使導(dǎo)熱微分方程獲得適合某一特定導(dǎo)熱問(wèn)題的求解的附加條件。,通過(guò)導(dǎo)熱微分方程可知，求解導(dǎo)熱問(wèn)題，實(shí)際上就是對(duì)導(dǎo)熱微分方程式的求解。預(yù)知某一導(dǎo)熱問(wèn)題的溫度分布，必須給出表征該問(wèn)題的附加條件。,2 、分類 1 ）初始條件：初始時(shí)間溫度分布的初始條件； 2 ）邊界條件：導(dǎo)熱物體邊界上溫度

17、或換熱情況的邊界條件。 說(shuō)明： ①非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱定解條件有兩個(gè)； ②穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱定解條件只有邊界條件，無(wú)初始條件。,3 、導(dǎo)熱問(wèn)題的常見(jiàn)邊界條件可歸納為 以下三類,（1）規(guī)定了邊界上的溫度值，稱為第一類邊界條件。對(duì)于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，這類邊界條件要求給出以下關(guān)系式：,,,,（2）規(guī)定了邊界上的熱流密度值，稱為第二類邊界條件。對(duì)于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，這類邊界條件要求給出以下關(guān)系式：,（3）規(guī)定了邊界上物體與周圍流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)及周圍流體的溫度

18、，稱為第三類邊界條件。第三類邊界條件可表示為,1 、熱擴(kuò)散率的物理意義     由熱擴(kuò)散率的定義可知： 1 ） 是物體的導(dǎo)熱系數(shù)， 越大，在相同溫度梯度下，可以傳導(dǎo)更多的熱量。 2 ）是單位體積的物體溫度升高 1 ℃ 所需的熱量。 越小，溫度升高 1 ℃ 所吸收的熱量越少，可以剩下更多的熱量向物體內(nèi)部傳遞，使物體內(nèi)溫度更快的隨界面溫度升高而升高。,,三、有關(guān)說(shuō)明,由此可見(jiàn)

19、ɑ物理意義： ① ɑ越大，表示物體受熱時(shí)，其內(nèi)部各點(diǎn)溫度扯平的能力越大。 ② ɑ越大，表示物體中溫度變化傳播的越快。所以，ɑ也是材料傳播溫度變化能力大小的指標(biāo)，亦稱導(dǎo)溫系數(shù)。,2 、導(dǎo)熱微分方程的適用范圍 1 ）適用于 q 不很高，而作用時(shí)間長(zhǎng)。同時(shí)傅立葉定律也適用該條件。 2 ）若時(shí)間極短，而且熱流密度極大時(shí)，則不適用。3 ）若屬極底溫度（ -273 ℃ ）時(shí)的導(dǎo)熱不適用。,§2-3 通過(guò)平壁，圓筒壁，球殼和其

20、它變截面物體的導(dǎo)熱,本節(jié)將針對(duì)一維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無(wú)內(nèi)熱源情況，考察平板和圓柱內(nèi)的導(dǎo)熱。直角坐標(biāo)系：,1 單層平壁的導(dǎo)熱,a 幾何條件：?jiǎn)螌悠桨澹?,b 物理?xiàng)l件：?、c、? 已知；無(wú)內(nèi)熱源,c 時(shí)間條件：,d 邊界條件：第一類,,x,根據(jù)上面的條件可得：,第一類邊條：,控制方程,邊界條件,,直接積分，得：,帶入邊界條件：,帶入Fourier 定律,熱阻分析法適用于一維、穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源的情況,線性分布,2 、熱阻的含義

21、 熱量傳遞是自然界的一種轉(zhuǎn)換過(guò)程 , 與自然界的其他轉(zhuǎn)換過(guò)程類同 , 如 : 電量的轉(zhuǎn)換 , 動(dòng)量、質(zhì)量等的轉(zhuǎn)換。其共同規(guī)律可表示為 :過(guò)程中的轉(zhuǎn)換量 = 過(guò)程中的動(dòng)力 / 過(guò)程中的阻力。,在電學(xué)中，這種規(guī)律性就是歐姆定律，即,,,,在平板導(dǎo)熱中，與之相對(duì)應(yīng)的表達(dá)式可改寫為,這種形式有助于更清楚地理解式中各項(xiàng)的物理意義。式中：熱流量為導(dǎo)熱過(guò)程的轉(zhuǎn)移量； 溫壓 為轉(zhuǎn)移過(guò)程的動(dòng)力； 分母 為轉(zhuǎn)

22、移過(guò)程的阻力。,由此引出熱阻的概念： 1 ）熱阻定義：熱轉(zhuǎn)移過(guò)程的阻力稱為熱阻。 2 ）熱阻分類：不同的熱量轉(zhuǎn)移有不同的熱阻，其分類較多，如：導(dǎo)熱阻、輻射熱阻、對(duì)流熱阻等。對(duì)平板導(dǎo)熱而言又分： 面積熱阻 R A ：?jiǎn)挝幻娣e的導(dǎo)熱熱阻稱面積熱阻。 熱阻 R ：整個(gè)平板導(dǎo)熱熱阻稱熱阻。,3 ）熱阻的特點(diǎn)：      串聯(lián)熱阻疊加原則：在一個(gè)串聯(lián)的熱量傳遞過(guò)程中，若通過(guò)各串聯(lián)環(huán)節(jié)的熱流量

23、相同，則串聯(lián)過(guò)程的總熱阻等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)的分熱阻之和。,3 多層平壁的導(dǎo)熱,,多層平壁：由幾層不同材料組成,例：房屋的墻壁 — 白灰內(nèi)層、水泥沙漿層、紅磚（青磚）主體層等組成,假設(shè)各層之間接觸良好，可以近似地認(rèn)為接合面上各處的溫度相等,邊界條件：,熱阻：,,由熱阻分析法：,問(wèn)：現(xiàn)在已經(jīng)知道了q，如何計(jì)算其中第 i 層的右側(cè)壁溫？,第一層：,第二層：,第 i 層：,4 單層圓筒壁的導(dǎo)熱,圓柱坐標(biāo)系：,假設(shè)單管長(zhǎng)度為l，圓筒壁的外半徑小于

24、長(zhǎng)度的1/10。,一維、穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性：,第一類邊界條件：,(a),,對(duì)上述方程(a)積分兩次:,第一次積分,第二次積分,應(yīng)用邊界條件,獲得兩個(gè)系數(shù),將系數(shù)帶入第二次積分結(jié)果,顯然，溫度呈對(duì)數(shù)曲線分布,,下面來(lái)看一下圓筒壁內(nèi)部的熱流密度和熱流分布情況,雖然是穩(wěn)態(tài)情況，但熱流密度 q 與半徑 r 成反比！,根據(jù)熱阻的定義，通過(guò)整個(gè)圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻為：,,5 多層圓筒壁,由不同材料構(gòu)成的多層圓筒壁，其導(dǎo)熱熱流量可按總溫差和總熱阻計(jì)

25、算,通過(guò)單位長(zhǎng)度圓筒壁的熱流量,6、通過(guò)球殼的導(dǎo)熱,對(duì)于內(nèi)、外表面維持均勻衡定溫度的空心球壁的導(dǎo)熱，再球坐標(biāo)系中也是一個(gè)一維導(dǎo)熱問(wèn)題。相應(yīng)計(jì)算公式為：,溫度分布：,熱流量：,熱阻：,,7 其它變面積或變導(dǎo)熱系數(shù)問(wèn)題,求解導(dǎo)熱問(wèn)題的主要途徑分兩步：求解導(dǎo)熱微分方程，獲得溫度場(chǎng)；根據(jù)Fourier定律和已獲得的溫度場(chǎng)計(jì)算熱流量； 對(duì)于穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、第一類邊界條件下的一維導(dǎo)熱問(wèn)題，可以不通過(guò)溫度場(chǎng)而直接獲得熱流量。,,此時(shí)，一維

26、Fourier定律：,當(dāng)?＝?(t)時(shí)，,分離變量后積分，并注意到熱流量Φ與x 無(wú)關(guān)(穩(wěn)態(tài))，得,?,當(dāng) ? 隨溫度呈線性分布時(shí)，即? ＝ ?0＋at，則,實(shí)際上，不論 ? 如何變化，只要能計(jì)算出平均導(dǎo)熱系數(shù)，就可以利用前面講過(guò)的所有定導(dǎo)熱系數(shù)公式，只是需要將?換成平均導(dǎo)熱系數(shù)。,§2-4 通過(guò)肋片的導(dǎo)熱,一 基本概念 1 、肋片：指依附于基礎(chǔ)表面上的擴(kuò)展表面 2 、常見(jiàn)肋片的結(jié)構(gòu)：針肋 直肋 環(huán)肋 大套片 3 、肋

27、片導(dǎo)熱的作用及特點(diǎn) 1 ）作用：增大對(duì)流換熱面積及輻射散熱面 , 以強(qiáng)化換熱,2 ）特點(diǎn)：在肋片伸展的方向上有表面的對(duì)流換熱及輻射散熱， 肋片中沿導(dǎo)熱熱流傳遞的方向上熱流量是不斷變化的。即： Φ≠const 。 4 、分析肋片導(dǎo)熱解決的問(wèn)題     一是：確定肋片的溫度沿導(dǎo)熱熱流傳遞的方向是如何變化的？     二是：確定通過(guò)肋片的散熱熱流量有多少？

28、,1 通過(guò)等截面直肋的導(dǎo)熱,已知：矩形直肋肋根溫度為t0，且t0 > t?肋片與環(huán)境的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為 h.?，h和Ac均保持不變求：溫度場(chǎng) t 和熱流量 ?,分析：假設(shè) 1 ）肋片在垂直于紙面方向 ( 即深度方向 ) 很長(zhǎng)，不考慮溫度沿該方向的變化，因此取單位長(zhǎng)度分析；          2 ）材料導(dǎo)熱系數(shù) λ 及表面?zhèn)鳠?/p>

29、系數(shù) h 均為常數(shù)，沿肋高方向肋片橫截面積 Ac 不變；          3 ）表面上的換熱熱阻 1/h ，遠(yuǎn)大于肋片的導(dǎo)熱熱阻 δ/λ ，即肋片上任意截面上的溫度均勻不變；          4 ）肋片頂端視為絕熱，即 dt/dx=0 ；,,在上述假設(shè)

30、條件下，把復(fù)雜的肋片導(dǎo)熱問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱如圖（b）所示并將沿程散熱量 視為負(fù)的內(nèi)熱源，則導(dǎo)熱微分方程式簡(jiǎn)化為,導(dǎo)熱微分方程：,引入過(guò)余溫度 。令,則有：,混合邊界條件：,,方程的通解為：,應(yīng)用邊界條件可得：,最后可得等截面內(nèi)的溫度分布：,雙曲余弦函數(shù),雙曲正切函數(shù),雙曲正弦函數(shù),,穩(wěn)態(tài)條件下肋片表面的散熱量 = 通過(guò)肋基導(dǎo)入肋片的熱量,肋端過(guò)余溫度： 即 x ＝ H,,2 肋片效率 為了從散熱的角

31、度評(píng)價(jià)加裝肋片后換熱效果，引進(jìn)肋片效率,肋片的縱剖面積,?,影響肋片效率的因素：肋片材料的熱導(dǎo)率 ? 、肋片表面與周圍介質(zhì)之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù) h、肋片的幾何形狀和尺寸（P、A、H）,可見(jiàn)， 與參量 有關(guān)，其關(guān)系曲線如圖所示。這樣，矩形直肋的散熱量可以不用公式計(jì)算，而直接用圖查出 ，散熱量,3 通過(guò)環(huán)肋及三角形截面直肋的導(dǎo)熱 為了減輕肋片重量、節(jié)省材料，并保持散熱量基本不變，需要采用變截面肋