【原創(chuàng)作品】函數(shù)對(duì)稱性的探究【資料下載】

1、高考專欄一、曲線關(guān)于點(diǎn)或直線的對(duì)稱一、曲線關(guān)于點(diǎn)或直線的對(duì)稱1、曲線f(x，y)＝0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的曲線方程為f(－x，－y)＝0。2、曲線f(xy)＝0關(guān)于直線x軸的對(duì)稱軸或方程為f(x，y)＝03、曲線f(xy)＝0關(guān)于y軸對(duì)稱的曲線方程為f(xy)＝04、曲線f(xy)＝0關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱曲線方程為f(2a－xy)＝05、曲線f(xy)＝0關(guān)于直線y＝b對(duì)稱的曲線方程為f(x2b－y)＝06、曲線f(xy)＝0關(guān)于直線xyc＝0

2、對(duì)稱的曲線方程為f(y－cx－c)＝07、曲線f(xy)＝0關(guān)于直線x－yc＝0對(duì)稱的曲線方程為f(y－cxc)＝0觀察其本質(zhì)，只需對(duì)原方程中x，y的位置用相應(yīng)的式子代即可，如關(guān)于直線x＝a對(duì)稱，當(dāng)且僅當(dāng)2a－x代替x，y不變。二、應(yīng)用時(shí)應(yīng)確定的幾個(gè)問題二、應(yīng)用時(shí)應(yīng)確定的幾個(gè)問題1、確定自身對(duì)稱還是他對(duì)稱例1：f(x)的定義域?yàn)镽，則y＝f(x－1)與y＝f(1－x)的圖像關(guān)于______對(duì)稱。分析：注意到y(tǒng)＝f(x－1)可由y＝f(1

3、－x)中用2－x代替x，y不變得到，所以兩曲線關(guān)于直線x＝1對(duì)稱。2、確定x，y的位置例2：設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足f(1－x)＝f(x1)，則函數(shù)y＝f(x1)的圖像關(guān)于___________對(duì)稱，函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于__________對(duì)稱。分析：對(duì)函數(shù)y＝f(x1)而言，y＝f(1－x)為y＝f(x1)中用x代x而得，而f(1－x)＝f(x1)則表明y＝f(x1)與y＝f(1－x)為同一個(gè)函數(shù)，故y＝f(x1)

4、的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。對(duì)函數(shù)y＝f(x)而言，應(yīng)先把f(1－x)＝f(x1)轉(zhuǎn)化為f(2－x)＝f(x)，故能確定x的位置用2－x代，而y不變，故y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱。其實(shí)y＝f(x1)可由y＝f(x)的圖像向左平移1個(gè)單位而得。3、確定點(diǎn)對(duì)稱與軸對(duì)稱例3：已知函數(shù)y＝f(x)，x∈R，且對(duì)任意x值總有f(x)－f(2－x)=0，則y=f(x)的圖象關(guān)于______對(duì)稱。分析：已知等式化為y＝f(2－x)，所以y=f(x)

5、的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱。三、對(duì)稱條件的挖掘和運(yùn)用三、對(duì)稱條件的挖掘和運(yùn)用對(duì)一些對(duì)稱問題的隱含條件應(yīng)善于挖掘和應(yīng)用，往往起到簡(jiǎn)化解題過程之效。例4：已知定義在(22)上的偶函數(shù)f(x)，當(dāng)x≥0時(shí)f(x)是減函數(shù)，如果f(1－a)|a|，結(jié)合定義域21－a2，2a2解得：1a12。只要明確了點(diǎn)、曲線對(duì)稱變換的原理及題型特點(diǎn)，熟練掌握基本方法，對(duì)高考中的容易題或中等題就會(huì)迎刃而解，較難的題也能理清思路，抓住要點(diǎn)。例1、已知(x2)2=1求

6、x2y2的取42y值范圍。錯(cuò)解錯(cuò)解由已知得y2=4x216x12，因此x2y2=3x216x12=3(x)238328∴當(dāng)x=時(shí)，x2y2有最大值38328即x2y2的取值范圍是(∞。328]分析分析：沒有注意x的取值范圍要受已知條件的限制，丟掉了最小值。事實(shí)上，由(x2)2=1得(x2)2=1≤1，42y42y∴3≤x≤1從而當(dāng)x=1時(shí)x2y2有最小值1。x2y2的取值范圍是[1]328忽視不等式中等號(hào)成立的條件，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。例2、

7、求函數(shù)y=的值63422????xxxx域。錯(cuò)解錯(cuò)解將原函數(shù)變形得：(y1)x2(y4)x3(2y1)=0①當(dāng)y=1時(shí)，①式化為–3x=9有解x=3當(dāng)y≠1時(shí)，∵①式中x∈R∴△=(y1)243(y1)(2y1)≥0，故25y220y4≥0解這個(gè)不等式得y∈R綜上：原函數(shù)值域?yàn)椋簓∈R分析：分析：沒有注意定義域?qū)χ涤虻挠绊懀瑪U(kuò)大了y的取值范圍。事實(shí)上，原函數(shù)要有意義，必須有：x2x6≠0即x≠2且x≠3在此前提下，原函數(shù)可化為：y==)

8、3)(2()3)(1(????xxxx21??xx得(y1)x=2y1∴y≠1且x=≠3112??yy解得y≠1且y≠52∴原函數(shù)值域?yàn)椋簓∈(∞)∪(1)∪(1∞)。5252一、總的指導(dǎo)思想一、總的指導(dǎo)思想依靠集體備課，抓教學(xué)常規(guī)；學(xué)習(xí)教育理論，指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐；堅(jiān)持教學(xué)研究，提高教學(xué)水平；進(jìn)行數(shù)學(xué)培優(yōu)補(bǔ)差；團(tuán)結(jié)向上，積極進(jìn)取。二、各級(jí)目標(biāo)二、各級(jí)目標(biāo)1、總目標(biāo)：全組成員一致努力，三年內(nèi)將大瀝高中數(shù)學(xué)科組建設(shè)成為南海鎮(zhèn)屬高中學(xué)優(yōu)秀科組乃至

9、全南海優(yōu)秀科組。2、教學(xué)目標(biāo)：在教學(xué)中努力做到：“三主”、“三自”、“三有”。三主：教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，訓(xùn)練為主線。三自：在教師引導(dǎo)下盡可能讓學(xué)生自已提出問題、自已分析問題、自已解決問題。三有：在教師引導(dǎo)下，盡可能讓學(xué)生自已有爭(zhēng)論、有發(fā)現(xiàn)、有創(chuàng)新。3、教研目標(biāo)：在教學(xué)研究中努力做到：“二法”、“三主”二法：教學(xué)研究要研究教法、學(xué)法。三主：教學(xué)研究要以教育理論為主導(dǎo)，大綱、教材為主體，考試說明為主線。4、年級(jí)目標(biāo):（1）高三級(jí)高考目標(biāo)

10、：明年高考平均分在鎮(zhèn)屬高中排名第一。（2）高二級(jí)目標(biāo)：努力爭(zhēng)取在期末南海區(qū)的統(tǒng)考中排位在鎮(zhèn)屬高中的前兩名。（3）高一級(jí)目標(biāo)：力爭(zhēng)使高一級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量居于鎮(zhèn)屬高中的前列。數(shù)學(xué)科組工作目標(biāo)重視思想方法教學(xué)重視思想方法教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法是人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)思維方法與實(shí)踐方法的概括，它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中。數(shù)學(xué)內(nèi)容始終反映著兩條線，即數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法，它們組成了生機(jī)勃勃的知識(shí)方法體系。數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)思想

11、方法的載體，數(shù)學(xué)思想方法又是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的全過程，是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在動(dòng)力，是知識(shí)化為能力的橋梁，是學(xué)生形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀念，促成創(chuàng)造思維的關(guān)鍵。知識(shí)要在實(shí)踐中不斷學(xué)習(xí)、擴(kuò)充，而思想方法則經(jīng)久閃耀著不滅的光輝。問題是僅僅滿足于思想方法的認(rèn)識(shí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，應(yīng)當(dāng)自覺地去探索。在科學(xué)技術(shù)高度發(fā)展、知識(shí)經(jīng)濟(jì)已見端倪的今天，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)必須適應(yīng)時(shí)代的需要。在平時(shí)的教學(xué)中，既要注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的傳授更要

12、重視思想方法的滲透。只有兩者和諧地同步實(shí)施，才能讓我們的教學(xué)充滿活力，才能有學(xué)生海闊天空的思維境界，才能把課堂變成他們吐才露華的幸福樂園，才能使他們?cè)诮鉀Q問題中表現(xiàn)得機(jī)智靈活。誠(chéng)然，數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)是一個(gè)潛移默化的過程，是在多次領(lǐng)悟、反復(fù)用的基礎(chǔ)上形成的，所以我們不可能憑借一兩次課和幾個(gè)例題的講解就能使學(xué)生完全接受和掌握，也不可能依靠生硬的說教，而應(yīng)當(dāng)努力讓數(shù)學(xué)思想方法閃現(xiàn)在教學(xué)過程的始終，真正培養(yǎng)一代具有戰(zhàn)略遠(yuǎn)見的高素質(zhì)人才。數(shù)學(xué)名

13、言◆在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中提出問題的藝術(shù)比解答問題的藝術(shù)更為重要.康扥爾(Cant)◆數(shù)學(xué)是無窮的科學(xué).赫爾曼外爾◆問題是數(shù)學(xué)的心臟.P.R.Halmos◆只要一門科學(xué)分支能提出大量的問題它就充滿著生命力而問題缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的終止或衰亡.Hilbert◆數(shù)學(xué)中的一些美麗定理具有這樣的特性:它們極易從事實(shí)中歸納出來但證明卻隱藏的極深.高斯第一版第四版警惕“新課效應(yīng)”華羅庚的“退步”解題法華羅庚的“退步”解題法主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學(xué)命

14、題的人劉徽的一生是為數(shù)學(xué)刻苦探求的一生他雖然地位低下，但人格高尚他不是沽名釣譽(yù)的庸人，而是學(xué)而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財(cái)富在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，同學(xué)常遇到這樣的情況：每個(gè)新學(xué)的知識(shí)點(diǎn)都懂，后面的習(xí)題也會(huì)做，但到了一章學(xué)完以后，不僅綜合性的題不會(huì)做，甚至連做過的習(xí)題也不會(huì)做了其中的原因在于平時(shí)學(xué)習(xí)新課時(shí)，許多同學(xué)只是機(jī)械記住基礎(chǔ)知識(shí)，跟著課本的思路搞懂例題的每個(gè)步驟，而每節(jié)的習(xí)題與知識(shí)點(diǎn)同步，因此多數(shù)題能用本節(jié)知識(shí)對(duì)號(hào)人座地解出，

15、在不知不覺中忽視了不少重要的方面如：公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程，與前面所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，所涉及的數(shù)學(xué)思想方法等等嚴(yán)重影響了綜合運(yùn)用能力的提高，那么應(yīng)如何克服這種現(xiàn)象呢？一、學(xué)習(xí)新知識(shí)不僅要重視結(jié)論，學(xué)習(xí)新知識(shí)不僅要重視結(jié)論，更要重視過程更要重視過程。數(shù)學(xué)上的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都不是孤立的，從問題的提出到最后解決，要用到大量已學(xué)知識(shí)和一些重要的數(shù)學(xué)思想方法在這個(gè)過程中可以復(fù)習(xí)已學(xué)的知識(shí)，初步認(rèn)識(shí)和后面知識(shí)間的聯(lián)系，在頭腦中形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的雛形二、學(xué)習(xí)中要

16、隨時(shí)注意歸納二、學(xué)習(xí)中要隨時(shí)注意歸納。通過歸納，可以使人透過現(xiàn)象看本質(zhì)，找到知識(shí)的精華；通過歸納，可以使所學(xué)知識(shí)條理清晰，用起來得心應(yīng)手；通過歸納，可以找到致錯(cuò)根源，避免再犯同樣的錯(cuò)誤那么，應(yīng)該如何歸納呢？1歸納知識(shí)中存在的規(guī)律。2歸納每部分知識(shí)，認(rèn)識(shí)知識(shí)體系和網(wǎng)絡(luò)。3歸納題型和思想方法。見多識(shí)廣肯定能提高運(yùn)用知識(shí)的能力如求定義域的題很多，但真正算起來卻只有含分母、偶次根式、對(duì)數(shù)、三角和反三角函數(shù)、實(shí)際問題中的函數(shù)這些主要情況三、波動(dòng)式

17、學(xué)習(xí)三、波動(dòng)式學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)知識(shí)應(yīng)像滾雪球一樣不斷累積。為了做到這一點(diǎn)，加強(qiáng)復(fù)習(xí)和歸納是非常有效的做法，此外，還應(yīng)注意以下三點(diǎn)：1.一題多解；教材上的多數(shù)習(xí)題都能用該節(jié)知識(shí)對(duì)號(hào)入座地解出。若能再找出一些解法，就能更多地用到以前學(xué)過的知識(shí)，達(dá)到前后聯(lián)系，使新舊知識(shí)融合的目的。2.解題時(shí)放開思路；有的同學(xué)習(xí)慣于做哪一節(jié)的習(xí)題就拿該節(jié)的知識(shí)去套，完全不考慮別的方法，這是不好的。正確的學(xué)習(xí)方法是不給自己的思維畫框框，讀懂題后盡可能去聯(lián)想學(xué)過的所有知

18、識(shí)，從中選出最佳解題方案。3.適當(dāng)補(bǔ)充一些帶綜合性的練習(xí)題可從課外讀物中選一些較好的題來做。當(dāng)然，有經(jīng)驗(yàn)的老師也會(huì)隨時(shí)補(bǔ)充一些好的題目。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的體會(huì)數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，是邏輯性強(qiáng)，推理嚴(yán)密的科目。數(shù)學(xué)是千變?nèi)f化的，但基本知識(shí)是死的，而解題方法又是靈活多變的。要真正學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)要做好以下幾件事：１、重視教科書。這是說要重視基本原理和基本方法。這是前提，但也最容易被忽略。重視基本原理不是要你會(huì)背會(huì)默寫，而是真正體會(huì)這個(gè)原理

19、講的是什么，反映了哪些基本量之間的什么關(guān)系，有什么用處，它與前后的其他原理又有什么關(guān)系。數(shù)學(xué)是一個(gè)體系，支離破碎地去理解它是不完全的。重視基本方法是指對(duì)基本解題技巧要爛熟于心，這樣用起來才能得心應(yīng)手。２、勤于思考。我認(rèn)為學(xué)數(shù)學(xué)尤其需要獨(dú)立思考。用三個(gè)小時(shí)想一道題和用一個(gè)小時(shí)看十道題效果是不一樣是。自己想通的問題往往是最牢固、最深刻的。例如在學(xué)習(xí)利用SinX的圖形作出Sin(axb)的圖象時(shí)，教課書講了先平移后緊縮的方法。敏感的人會(huì)立即會(huì)

20、問如果先緊縮后平移會(huì)怎樣呢？這樣做是可行的，但兩種方法平移的幅度是不一樣的。為什么會(huì)不一樣？這是問題是關(guān)鍵。搞清了這一點(diǎn)，三角函數(shù)的作圖也就沒什么了。數(shù)學(xué)就是這樣，復(fù)雜多變，差一點(diǎn)就不一樣，但每一步都是有理有據(jù)的，只要勤于思考，抓住問題的實(shí)質(zhì)，“天塹變通途”并不困難。３、注意積累。這并不等于題海戰(zhàn)術(shù)。我們提倡的是“少而精”?！胺e累”不是積累數(shù)學(xué)題型，而是積累解題經(jīng)驗(yàn)。題目是很多的，而經(jīng)驗(yàn)是透過現(xiàn)象看本質(zhì)，在解具體一道題時(shí)，是一種靈感。每

21、做完一道有意思的題回頭再看看為什么要這樣做，這樣的解法與已知條件有什么關(guān)系，自己開始是怎樣想的，為什么走了彎路，這種回顧是很有價(jià)值的，可以培養(yǎng)你的數(shù)學(xué)第一感覺，日積月累，你的經(jīng)驗(yàn)就豐富了，拿到一道題也不會(huì)慌，怎樣設(shè)變量最簡(jiǎn)單，哪里入手心里都有數(shù)。４、這是對(duì)學(xué)數(shù)學(xué)比較出色的同學(xué)的建議：如果有時(shí)間，不妨從易到難看一些數(shù)學(xué)課外書籍，會(huì)開闊你的眼界，使你站在更高的層次，這時(shí)再去看中學(xué)數(shù)學(xué)，理解會(huì)深入許多。所謂“登高望遠(yuǎn)”也就是這個(gè)道理。以上是個(gè)

22、人的看法，難免有不當(dāng)之處，何況學(xué)習(xí)方法應(yīng)因人而異，這些僅供大家參考。學(xué)法指導(dǎo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)知識(shí)與趣味趣味數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)我國(guó)已故著名的數(shù)學(xué)家華羅庚出生在一個(gè)擺雜貨店的家庭，從小體弱多病，但他憑借自己一股堅(jiān)強(qiáng)的毅力和崇高的追求，終于成為一代數(shù)學(xué)宗師下面是華羅庚曾經(jīng)介紹的一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)游戲：有位老師，想辨別他的3個(gè)學(xué)生誰更聰明他采用如下的方法：事先準(zhǔn)備好3頂白帽子，2頂黑帽子，讓他們看到，然后，叫他們閉上眼睛，分別給戴上帽子，藏起剩下的2頂帽子，最后

23、，叫他們睜開眼，看著別人的帽子，說出自己所戴帽子的顏色3個(gè)學(xué)生互相看了看，都躊躇了一會(huì)，并異口同聲地說出自己戴的是白帽子。聰明的讀者，想想看，他們是怎么知道帽子顏色的呢？“為了解決上面的問題，我們先考慮“2人1頂黑帽，2頂白帽”問題因?yàn)?，黑帽只?頂，我戴了，對(duì)方立刻會(huì)說自己戴的是白帽但他躊躇了一會(huì)，可見我戴的是白帽這樣，“3人2頂黑帽，3頂白帽”有趣的悖論◆“我正在說的這句話是慌話?！惫八氖兰o(jì)的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德提出的這個(gè)悖論，

24、至今還在困擾著數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家。這就是著名的說慌者悖論。類似的悖論最早是在公元前六世紀(jì)出現(xiàn)的，當(dāng)時(shí)克里特島哲學(xué)家愛皮梅尼特曾說過：“所有的克里特島人都說慌?！痹谥袊?guó)古代《墨經(jīng)》中，也有一句十分相似的話：“以言為盡悖，悖，說在其言?！币馑际牵阂詾樗械脑挾际清e(cuò)的，這是錯(cuò)的，因?yàn)檫@本身就是一句話。說慌者悖論有多種變化形式，例如，在同一張紙上寫出下列兩句話：下一句話是慌話。上一句話是真話。更有趣的是下面的對(duì)話。甲對(duì)乙說：“你下面

25、要講的是‘不’，對(duì)不對(duì)？請(qǐng)用‘是’或‘不’來回答！”還有一個(gè)例子。有個(gè)虔誠(chéng)的教徒，他在演說中口口聲聲說上帝是無所不能的，什么事都做得到。一位過路人問了一句話：“上帝能創(chuàng)造一塊他自己也舉不起來的石頭嗎？”的問題也就容易解決了假設(shè)我戴的是黑帽子，則他們2人就變成“2人1頂黑帽，2頂白帽”問題，他們可以立刻回答出來，但他們都躊躇了一會(huì)，這就說明，我戴的是白帽子，3人經(jīng)過同樣的思考，于是，都推出自己戴的是白帽子看到這里。同學(xué)們可能會(huì)拍手稱妙

26、吧后來，華羅庚還將原來的問題復(fù)雜化，“n個(gè)人，n1頂黑帽子，若干（不少于n）頂白帽子”的問題怎樣解決呢？運(yùn)用同樣的方法，便可迎刃而解他并告誡我們：復(fù)雜的問題要善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竊數(shù)學(xué)家簡(jiǎn)介劉徽劉徽（生于公元250年左右），是中中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)非常偉大的數(shù)學(xué)家，在世界數(shù)學(xué)史上，也占有杰出的地位他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，是我國(guó)最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)《九章算術(shù)》約成書于東漢之

27、初，共有246個(gè)問題的解法在許多方面：如解聯(lián)立方程，分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算，正負(fù)數(shù)運(yùn)算，幾何圖形的體積面積計(jì)算等，都屬于世界先進(jìn)之列，但因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對(duì)此均作了補(bǔ)充證明在這些證明中，顯示了他在多方面的創(chuàng)造性的貢獻(xiàn)他是世界上最早提出十進(jìn)小數(shù)概念及其加減運(yùn)算的法則；改進(jìn)了線性方程組的解法在幾何方面，提出了“割圓術(shù)“，即將圓周用內(nèi)接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長(zhǎng)的方法他利用割圓術(shù)科學(xué)地求出了圓周率π=3.14的結(jié)果劉