我對人工數(shù)和自然數(shù)的認識

1、我對自然數(shù)和人工數(shù)的認識我對自然數(shù)和人工數(shù)的認識，主要是基于對伽莫夫所著的《從一到無窮大》中自然數(shù)和人工數(shù)這一章的些許感想。這一部分主要是對數(shù)論的簡單介紹，其自然數(shù)指的是本身就有的數(shù)，例如質(zhì)數(shù)，奇數(shù)等等；而人工數(shù)是指原來沒有的數(shù)，數(shù)學家們?yōu)榱私忉尰蚪鉀Q一些問題而創(chuàng)造出來的新數(shù)，例如虛數(shù)等。本篇論文就是基于伽莫夫的著作并融入自己的感想，向大家介紹質(zhì)數(shù)，整數(shù)和虛數(shù)的發(fā)展既有趣的故事，因為在某種程度上，他們就是自然數(shù)和人工數(shù)的代表。迄今為止，

2、數(shù)學還有一個大分支沒有找到與其他學科相關(guān)聯(lián)的用處，這就是所謂的“數(shù)論”，它是最古老的一門數(shù)學分支，也是純粹數(shù)學思維的最錯綜復雜的產(chǎn)物。首先，我們來探討質(zhì)數(shù)的問題。所謂質(zhì)數(shù)，就是不能用兩個或兩個以上較小整數(shù)的乘積來表示的數(shù)，如1，2，3，5，7，11，13，17，等等。而12可以寫成223，所以就不是質(zhì)數(shù)。那質(zhì)數(shù)的數(shù)目是無窮無盡、沒有終極的呢，還是存在一個最大的質(zhì)數(shù)，即凡是比這個最大質(zhì)數(shù)還大的數(shù)都可以表為幾個質(zhì)數(shù)的乘積呢？這個問題是歐幾里

3、得（Euclid）最先想到的，他自己還作了一個簡單而優(yōu)美的證明，證明沒有“最大的質(zhì)數(shù)”，質(zhì)數(shù)數(shù)目的延伸是不受任何限制的。他是根據(jù)反證法：假設(shè)已知質(zhì)數(shù)的個數(shù)是有限的，最大的一個用N表示?，F(xiàn)在讓我們把所有已知的質(zhì)數(shù)都乘起來，再加上1。這寫成數(shù)學式是：（123571113……N）1。這個數(shù)當然比我們所假設(shè)的“最大質(zhì)數(shù)”N大得多。但是，十分明顯，這個數(shù)是不能被到N為止（包括N在內(nèi)）的任何一個質(zhì)數(shù)除盡的，因為從這個數(shù)的產(chǎn)生方式就可以看出，拿任何質(zhì)

4、數(shù)來除它，都會剩下1。因此，這個數(shù)要么本身也是個質(zhì)數(shù)，要么是能被比N還大的質(zhì)數(shù)整除。而這兩種可能性都和原先關(guān)于N為最大質(zhì)數(shù)的假設(shè)相矛盾。既然知道質(zhì)數(shù)的數(shù)目是無限的，那是否有求質(zhì)數(shù)的公式呢？這個問題至今沒有解決。我想正是因為這是數(shù)論問題，過于純粹，所以證明起來需要極為嚴格，所以也就很難證明。數(shù)論中一個極其富于挑戰(zhàn)性的猜想是1742年提出的所謂“哥德巴赫（Goldbach）猜想”。這是一個迄今既沒有被證明也沒有被推翻的定理，內(nèi)容是：任何一個

5、偶數(shù)都能表示為兩個質(zhì)數(shù)之和任何一個偶數(shù)都能表示為兩個質(zhì)數(shù)之和。盡管有很多人去證明，但最多也只了。那是在三個世紀以前。從那個時候以來，各國最優(yōu)秀的數(shù)學家們都嘗試重新作出費馬寫筆記時所想到的證明，但至今都沒有成功。當然，在這方面已有了相當大的發(fā)展，一門全新的數(shù)學分支——“理想數(shù)論”——在這個過程中創(chuàng)建起來了。歐拉證明了，方程x^3y^3=z^3和x^4y^4=z^4不可能有整數(shù)解。狄里克萊（PeterGustavLejeuneDirichl

6、et）證明了，x^5y^5=z^5也是這樣。依靠其他一些數(shù)學家的共同努力，現(xiàn)在已經(jīng)證明，在n小于269的情況下，費馬的這個方程都沒有整數(shù)解。不過，對指數(shù)n在任何值下都成立的普遍證明，卻一直沒能作出。人們越來越傾向于認為，費馬不是根本沒有進行證明，就是在證明過程中有什么地方搞錯了。這個定理仍然有可能是錯誤的，只要能找到一個實例，證實兩個整數(shù)的某一次冪的和等于另一個整數(shù)的同一次冪的和就行了。不過，這個冪次一定要在比269大的數(shù)目中去找，這可

7、不是一件容易事啊。這是我們將質(zhì)數(shù)擴大到整數(shù)范圍的討論，從費馬大定理這個具體的例子可以看出，數(shù)論在證明上極其困難。像費馬大定理這樣的需要一般性結(jié)論從而嚴格論證的這是讓人無從下手。在進行了對質(zhì)數(shù)整數(shù)這些自然數(shù)的討論后，我們來討論虛數(shù)的特點。虛數(shù)作為一個本身不存在的數(shù)，其在數(shù)學中所扮演的角色也越來越重要，這樣的人工數(shù)也越來越實用。二二得四，三三見九，四四一十六，五五二十五，因此，四的算術(shù)平方根為二，九的算術(shù)平方根是三，十六的算術(shù)平方根是四，二

8、十五的算術(shù)平方根是五。然而，負數(shù)的平方根是什么樣呢？5和1之類的表式有什么意義嗎？如果從有理數(shù)的角度來揣想這樣的數(shù)，你一定會得出結(jié)論，說明這樣的式子沒有任何意義，這里可以引用12世紀的一位數(shù)學家拜斯迦羅（BrahminBhaskara）的話：“正數(shù)的平方是正數(shù)，負數(shù)的平方也是正數(shù)。因此，一個正數(shù)的平方根是兩重的：一個正數(shù)和一個負數(shù)。負數(shù)沒有平方根，因為負數(shù)并不是平方數(shù)?！钡谝粋€將負數(shù)的平方根這個“顯然”沒有意義的東西寫到公式里的勇士，是