專題--數(shù)列求和的基本方法和技巧

1、11數(shù)列求和的基本方法與技巧數(shù)列求和的基本方法與技巧一、利用常用求和公式求和：一、利用常用求和公式求和：利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。1、等差數(shù)列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11?????2、等比數(shù)列求和公式：?????????????)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、4、)1(211?????nnkSnkn)12)(1(6112??????nnnkSnkn5、21

2、3)]1(21[?????nnkSnkn[例1]已知，求的前n項(xiàng)和.3log1log23??x???????????nxxxx32解：由212loglog3log1log3323???????xxx由等比數(shù)列求和公式得（利用常用公式）nnxxxxS????????32＝＝＝1－xxxn??1)1(211)211(21??nn21[例2]設(shè)Sn＝123…n，n∈N，求的最大值.1)32()(???nnSnSnf解：由等差數(shù)列求和公式得，（

3、利用常用公)1(21??nnSn)2)(1(21???nnSn式）∴＝1)32()(???nnSnSnf64342??nnn＝＝nn64341??50)8(12??nn501?∴當(dāng)，即n＝8時(shí)，88?n501)(max?nf33∴21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn????????[例4]求數(shù)列前n項(xiàng)的和。??????2226242232nn解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積nn22n21設(shè)……

4、……………………………①nnnS2226242232????????………………………………②（設(shè)制錯(cuò)位）14322226242221?????????nnnS①－②得（錯(cuò)位相減）1432222222222222)211(????????????nnnnS1122212?????nnn∴1224????nnnS三、倒序相加法求和三、倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列

5、相加，就可以得到n個(gè)。)(1naa?[例5]求證：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210??????????證明：設(shè)…………………………..①nnnnnnCnCCCS)12(53210?????????把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得（反序）0113)12()12(nnnnnnnCCCnCnS???????????又由可得mnnmnCC??…………..……..②nnnnnnnCCCnCnS???????????1103)12()12(①

6、②得（反序相nnnnnnnnnCCCCnS2)1(2))(22(2110?????????????加）∴nnnS2)1(???[例6]求的值?????89sin88sin3sin2sin1sin22222????????解：設(shè)………….①?????89sin88sin3sin2sin1sin22222?????????S將①式右邊反序得…………..②（反序）?????1sin2sin3sin88sin89sin22222????????