《線性代數(shù)》課后習題答案(陳維新)

1、第一章第一章行列式行列式習題習題1.11.證明：（1）首先證明是數(shù)域。)3(Q因為，所以中至少含有兩個復數(shù)。)3(QQ?)3(Q任給兩個復數(shù)，我們有)3(332211Qbaba???。3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211baabbbaabababbaabababbaababa????????????????????因為是數(shù)域，所以有理數(shù)的和、差、積仍

2、然為有理數(shù)，所以Q。)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211QbaabbbaababaQbbaababaQbbaababa???????????????????????如果，則必有不同時為零，從而。0322??ba22ba0322??ba又因為有理數(shù)的和、差、積、商仍為有理數(shù)，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(33222

3、2212122222121222222112211Qbabaabbabbaababababababa??????????????。綜上所述，我們有是數(shù)域。)3(Q（2）類似可證明是數(shù)域，這兒是一個素數(shù)。)(pQp（3）下面證明：若為互異素數(shù)，則。qp)()(qQpQ?（反證法）如果，則，從而有)()(qQpQ?qbapQba?????。qabqbapp2)()(222????由于上式左端是有理數(shù)，而是無理數(shù)，所以必有。q02?qab所以

4、有或。0?a0?b如果，則，這與是互異素數(shù)矛盾。0?a2qbp?qp=0。1212()(1)nnjjjjjj?????所以上式中(1)的個數(shù)和(1)的個數(shù)一樣多，(1)是由奇排列產(chǎn)生的，而(1)是由偶排列產(chǎn)生的。同時根據(jù)行列式的定義這里包括了所有的階排列，故可以得到全體階排nn列中奇排列的個數(shù)與偶排列的個數(shù)一樣多，各占一半。2解(1)=；19981999200020012002200320042005200632CC?199819991

5、20012002120042005121CC?1998112001112004110（2）；1001022003304004??3241CCCC??1000020003604008?下三角形1268=96???（3）11101101101101112131RRRR??1110001101010111??24R1110011101010011??32RR?1110011100120011?；43RR?1110011100120003上三角

6、形1113=3???（4）222222abcaabbcabcccab??????123RRR??2222abcabcabcbbcabcccab??????????提取公因子111()2222abcbbcabcccab??????=。2131(2)(2)RbRRcR??111()0000abcbcacab????????3()abc??（5）7222227222227222227222227512iiCC???15222215722215