線(xiàn)性代數(shù)公式必記[1]

1、1線(xiàn)性代數(shù)公式必記1、行列式1.行列式共有個(gè)元素，展開(kāi)后有項(xiàng)，可分解為行列式；n2n!n2n2.代數(shù)余子式的性質(zhì)：①、和的大小無(wú)關(guān)；ijAija②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0；③、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為；A3.代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：(1)(1)ijijijijijijMAAM??????4.設(shè)行列式：nD將上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為，則；D1D(1)21(1)nnDD???

2、將順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得行列式為，則；D90?2D(1)22(1)nnDD???將主對(duì)角線(xiàn)翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為，則；D3D3DD?將主副角線(xiàn)翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為，則；D4D4DD?5.行列式的重要公式：①、主對(duì)角行列式：主對(duì)角元素的乘積；②、副對(duì)角行列式：副對(duì)角元素的乘積；(1)2(1)nn???③、上、下三角行列式（）：主對(duì)角元素的乘積；?◥◣④、和：副對(duì)角元素的乘積；◤◢(1)2(1)nn???⑤、拉普拉斯展開(kāi)式：、AOA

3、CABCBOB??(1)mnCAOAABBOBC???:⑥、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積；⑦、特征值；6.對(duì)于階行列式，恒有：，其中為階主子式；nA1(1)nnknkkkEAS??????????kSk7.證明的方法：0A?①、；AA??②、反證法；③、構(gòu)造齊次方程組，證明其有非零解；0Ax?④、利用秩，證明；()rAn?⑤、證明0是其特征值；2、矩陣1.是階可逆矩陣：An（是非奇異矩陣）；?0A?（是滿(mǎn)秩矩陣）?()rAn?的

4、行（列）向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)；?A齊次方程組有非零解；?0Ax?，總有唯一解；?nbR??Axb?與等價(jià)；?AE3②、，左乘矩陣，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；12n??????????????????Ai?Ai?A③、對(duì)調(diào)兩行或兩列，符號(hào)，且，例如：；()Eij1()()EijEij??1111111??????????????????????④、倍乘某行或某列，符號(hào)，且，例如：；(())Eik11(())(())EikEik??111

5、1(0)11kkk?????????????????????????⑤、倍加某行或某列，符號(hào)且，如：；(())Eijk1(())(())EijkEijk???11111(0)11kkk????????????????????????5.矩陣秩的基本性質(zhì)：①、；0()min()mnrAmn???②、；()()TrArA?③、若，則；AB:()()rArB?④、若、可逆，則；（可逆矩陣不影響矩陣的秩可逆矩陣不影響矩陣的秩）PQ()()()(

6、)rArPArAQrPAQ???⑤、；（※）max(()())()()()rArBrABrArB???⑥、；（※）()()()rABrArB???⑦、；（※）()min(()())rABrArB?⑧、如果是矩陣，是矩陣，且，則：（※）Amn?Bns?0AB?Ⅰ、的列向量全部是齊次方程組解（轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論）；B0AX?Ⅱ、()()rArBn??⑨、若、均為階方陣，則；ABn()()()rABrArBn???6.三種特殊矩陣的方冪：①、秩

7、為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）列矩陣（向量）行矩陣（向量）行矩陣（向量）的形式，再采用結(jié)合律；?②、型如的矩陣：利用二項(xiàng)展開(kāi)式；101001acb??????????二項(xiàng)展開(kāi)式：；01111110()nnnnmnmmnnnnmmnmnnnnnnmabCaCabCabCabCbCab??????????????????注：Ⅰ、展開(kāi)后有項(xiàng)；()nab?1n?Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!??????????:::?:mnnn