北京大學(xué)博雅計(jì)劃試題

1、2016北大博雅計(jì)劃試題北大博雅計(jì)劃試題一、選擇題共20小題；在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)的代號(hào)填在表格中，選對(duì)得5分，選錯(cuò)扣1分，不選得0分。1.直線2yx=?與曲線xaye=?相切，則a的值為（）A.3B.2C.1D.前三個(gè)答案都不對(duì)【解答】由于()xaxaee?=?，于是切點(diǎn)橫坐標(biāo)為xa=?，進(jìn)而有()2aaae???=?，解得3a=?2.已知三角形ABC的三邊長分別為a，b，c，有以下4個(gè)命題：（1）以

2、a，b，c為邊長的三角形一定存在；（2）以2a，2b，2c為邊長的三角形一定存在；（3）以2ab，2bc，2ac為邊長的三角形一定存在；（4）以1ab?，1bc?，1ca?為邊長的三角形一定存在，其中正確的命題個(gè)數(shù)為（）A.2B.3C.4D.以上三個(gè)答案都不對(duì)【解答】不妨假設(shè)0＜a≤b≤c，ab＞c。（1）正確。因?yàn)橛?abcabc?≥?＞（2）錯(cuò)誤。2a=，3b=，4c=即為反例。（3）正確。因?yàn)橛?222abcabca?=＞。（4）

3、正確。因?yàn)橛?)()()()()1110abbccaabbcca????????=＞3.設(shè)AB，CD是圓O的兩條垂直直徑，弦DF交AB于點(diǎn)E，DE=24，EF=18，則OE等于（）A.46B.53C.62D.前三個(gè)答案都不對(duì)【解答】如圖，連接CF。由于△DOE與△DFC相似，因此DODC=DEDF，從而22421DO=?，因此22224242162OEDEDO=?=??=π2π4π5π8π3π6π7π9π10π=coscoscoscos

4、coscoscoscoscoscos11111111111111111111???????????????????2π2π4π8π16π1=coscoscoscoscos11111111111024???=?????。8.設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，a，c0≠，方程20axbxc=的兩個(gè)虛根1x，2x滿足12xx為實(shí)數(shù)，則2015102kkxx=??????∑等于（）A.1B.0C.3iD.前三個(gè)答案都不對(duì)【解答】由于一元二次方程的虛數(shù)根必然共

5、軛，因此可設(shè)()1cossinxriθθ=，()2cossinxriθθ=?，從而()212cos3sin3xrixθθ=為實(shí)數(shù)，進(jìn)而可得()π3kkZθ=∈于是122π2πcossin33xkkix=，進(jìn)而201612015211022101kkxxxxxx=?????????==?????∑9.將12個(gè)不同物體分成3堆，每堆4個(gè)，則不同的分法種類為（）A.34650B.59040C.495D.前三個(gè)答案都不對(duì)【解答】不同的分法數(shù)有4