robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、機(jī)器人動(dòng)力學(xué)Dynamics of Robotics,研究機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)特性與力的關(guān)系。有兩類問題：動(dòng)力學(xué)正問題：已知機(jī)械手各關(guān)節(jié)的作用力或力矩，求各關(guān)節(jié)的位移、速度、加速度、運(yùn)動(dòng)軌跡；動(dòng)力學(xué)逆問題：已知機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)軌跡，即各關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度，求各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力和力矩。,機(jī)器人動(dòng)力學(xué)Dynamics of Robotics,4.1 機(jī)器人剛體動(dòng)力學(xué) (復(fù)習(xí)加深理論力學(xué)內(nèi)容)4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程 (

2、Lagrange法)4.3 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程實(shí)例 (二桿、三桿機(jī)械手)4.4 機(jī)器人的動(dòng)態(tài)特性4.5 機(jī)械手的穩(wěn)態(tài)負(fù)荷,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.1 機(jī)器人剛體動(dòng)力學(xué)4.1.0 動(dòng)力學(xué)基本定理絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：相對(duì)于定坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)：相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng)：動(dòng)坐標(biāo)相對(duì)于定坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程：在定坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程：在動(dòng)坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程牽連運(yùn)動(dòng)方程：動(dòng)坐標(biāo)系在定坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程,Ro

3、botics 動(dòng)力學(xué),4.1 機(jī)器人剛體動(dòng)力學(xué)4.1.0 動(dòng)力學(xué)基本定理絕對(duì)運(yùn)動(dòng)速度：在定坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)速度相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度：在動(dòng)坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)速度牽連運(yùn)動(dòng)速度：動(dòng)坐標(biāo)系在定坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)速度絕對(duì)運(yùn)動(dòng)加速度：在定坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)加速度相對(duì)運(yùn)動(dòng)加速度：在動(dòng)坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)加速度牽連運(yùn)動(dòng)加速度：動(dòng)坐標(biāo)系在定坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)加速度當(dāng)牽連速度為平動(dòng)時(shí)，當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.1 機(jī)器人剛體動(dòng)力學(xué)4.1

4、.0 動(dòng)力學(xué)基本定理Lagrange方程T:系統(tǒng)動(dòng)能；qi:廣義坐標(biāo)；Qi:對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力當(dāng)主動(dòng)力為勢(shì)力時(shí)，方程變?yōu)椋?L:Lagrange函數(shù),Robotics 動(dòng)力學(xué),4.1 機(jī)器人剛體動(dòng)力學(xué)4.1.0 動(dòng)力學(xué)基本定理當(dāng)主動(dòng)力中有非勢(shì)力時(shí)： Qj:為非勢(shì)的廣義力當(dāng)含有粘性阻尼時(shí)，方程變?yōu)椋?

5、 ，Φ：瑞利耗三散函數(shù),Robotics 動(dòng)力學(xué),4.1 機(jī)器人剛體動(dòng)力學(xué)4.1.0 動(dòng)力學(xué)基本定理例：圖示為振動(dòng)系統(tǒng)方程1。動(dòng)能2。勢(shì)能,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.1 機(jī)器人剛體動(dòng)力學(xué)4.1.0 動(dòng)力學(xué)基本定理3。耗散函數(shù)4。拉格朗日函數(shù),Robotics 動(dòng)力學(xué),4.1 機(jī)器人剛體動(dòng)力學(xué)4.1.0 動(dòng)力學(xué)基本定理對(duì)每個(gè)廣義坐標(biāo)寫出拉格朗日方程

6、將上述結(jié)果代入，得下面將K、P、D、W等表示動(dòng)能、勢(shì)能、耗散函數(shù)、外力做的功,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.1 機(jī)器人剛體動(dòng)力學(xué)4.1.1 機(jī)械手的動(dòng)能與勢(shì)能考慮重力時(shí):當(dāng) 時(shí),取 為廣義坐標(biāo)，有,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.1 機(jī)器人剛體動(dòng)力學(xué)4.1.1 機(jī)械手的動(dòng)能與勢(shì)能當(dāng) ， 都為廣義坐標(biāo)，有從以上兩個(gè)例子看出，求取動(dòng)力學(xué)方程的關(guān)鍵是求出各能量函數(shù)K、P、D、

7、W的廣義坐標(biāo)表達(dá)式。,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.1 機(jī)器人剛體動(dòng)力學(xué)4.1.1 機(jī)械手的動(dòng)能與勢(shì)能兩桿機(jī)器人如圖。對(duì)連桿1：對(duì)連桿2：,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.1 機(jī)器人剛體動(dòng)力學(xué)4.1.1 機(jī)械手的動(dòng)能與勢(shì)能二桿動(dòng)能和勢(shì)能分別為：,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.1 機(jī)器人剛體動(dòng)力學(xué)4.1.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程的求法系統(tǒng)的總動(dòng)能和勢(shì)能及拉格朗日函數(shù)分別為：分別求得注意：這里只求顯

8、因變量的偏導(dǎo)數(shù),Robotics 動(dòng)力學(xué),4.1 機(jī)器人剛體動(dòng)力學(xué)4.1.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程的求法代入拉格朗日方程,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.1 機(jī)器人剛體動(dòng)力學(xué)4.1.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程的求法寫成矩陣有： 慣性力 向心力 哥式力 重力,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.1 機(jī)器人剛體動(dòng)力學(xué)4.1.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程的求法當(dāng)考慮關(guān)節(jié)摩擦阻尼時(shí),Robot

9、ics 動(dòng)力學(xué),4.1 機(jī)器人剛體動(dòng)力學(xué)4.1.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程的求法當(dāng)考慮關(guān)節(jié)摩擦阻尼時(shí),Robotics 動(dòng)力學(xué),4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程本節(jié)將以右圖為例，研究由A矩陣描述的機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)方程建立的一般步驟：1。計(jì)算任一連桿上任意一點(diǎn)的速度；2。計(jì)算各連桿的動(dòng)能和機(jī)械手的總動(dòng)能；3。計(jì)算各連桿的位能和機(jī)械手的總位能；4。建立機(jī)械手系統(tǒng)的拉格郎日函數(shù)；5。對(duì)拉格郎日函數(shù)求導(dǎo)，得到動(dòng)力學(xué)方程。,Robotics

10、動(dòng)力學(xué),4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程4.2.1 速度的計(jì)算圖中，連桿3上P點(diǎn)的位置為：0rp為基坐標(biāo)系中P的位置矢量；3rp為桿3坐標(biāo)系中P的位置矢量（原點(diǎn)O3）；T3桿3的位姿矩陣；（即P點(diǎn)在上述兩坐標(biāo) 系中坐標(biāo)之間的變換矩陣。）對(duì)任一連桿i上的一點(diǎn)，其位置為,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程4.2.1 速度的計(jì)算所以，P點(diǎn)的速度為為何不對(duì)r求導(dǎo)？對(duì)任一連桿i上的一點(diǎn)，其速度為,Ro

11、botics 動(dòng)力學(xué),4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程4.2.1 速度的計(jì)算P點(diǎn)的加速度為對(duì)任一連桿i上的一點(diǎn)，其加速度為,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程4.2.1 速度的計(jì)算P點(diǎn)速度的平方為對(duì)任一連桿i上的一點(diǎn)，其速度平方為,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程4.2.2 動(dòng)能和位能的計(jì)算桿3上P點(diǎn)質(zhì)量為dm的微元，其動(dòng)能為：對(duì)任一連桿i上的質(zhì)量為dm點(diǎn)，

12、其動(dòng)能為,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程4.2.2 動(dòng)能和位能的計(jì)算桿3的動(dòng)能為：記 ，并稱之為連桿3的偽慣量矩陣，則對(duì)任連桿i，其動(dòng)能為,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程4.2.2 動(dòng)能和位能的計(jì)算偽慣量矩陣I的一般形式為：,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程4.2.2 動(dòng)能和位能的計(jì)算則具有n個(gè)連桿的機(jī)械手的連桿總動(dòng)能為：

13、考慮傳動(dòng)裝置的慣量，所有傳動(dòng)裝置的總動(dòng)能為：系統(tǒng)的總動(dòng)能為,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程4.2.2 動(dòng)能和位能的計(jì)算位能：質(zhì)量m,高h(yuǎn)的物體，其位能為連桿i上位置 的質(zhì)量dm的微元，其位能為連桿i的總位能為,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程4.2.2 動(dòng)能和位能的計(jì)算系統(tǒng)的總位能為式中， 為連桿i的質(zhì)量； 為連桿i對(duì)其前端關(guān)節(jié)坐標(biāo)

14、系的重心位置。,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程4.2.3 動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程4.2.3 動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo),Robotics 動(dòng)力學(xué),4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程4.2.3 動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程4.2.3 動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo),Robotics 動(dòng)力學(xué),4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程4

15、.2.3 動(dòng)力學(xué)方程的簡(jiǎn)化1。慣量項(xiàng)的簡(jiǎn)化 利用記微分旋轉(zhuǎn)和平移為：通過(guò)計(jì)算有： 為質(zhì)心矢量， 為與慣量相關(guān)的矩陣，具有如下形式。,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程4.2.3 動(dòng)力學(xué)方程的簡(jiǎn)化1。慣量項(xiàng)的簡(jiǎn)化當(dāng)i=j時(shí)，有,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程4.2.3 動(dòng)力學(xué)方程的簡(jiǎn)化2。重力項(xiàng)的簡(jiǎn)化將 代入,Rob

16、otics 動(dòng)力學(xué),4.3 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程實(shí)例4.3.1 二連桿機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.3 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程實(shí)例4.3.1 二連桿機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程以 為基準(zhǔn)，有以 為基準(zhǔn)，有以 為基準(zhǔn)，有,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.3 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程實(shí)例4.3.1 二連桿機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程 設(shè)所有慣性力矩為零， 為零。 有此結(jié)果與4.1.2中的一

17、致。,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.4 機(jī)械手動(dòng)態(tài)特性 動(dòng)態(tài)特性指：工作精度、重復(fù)能力、穩(wěn)定性、空間分辨率4.4.1 概述 快速、準(zhǔn)確、定位的能力； 過(guò)塊：精度差，（慣性影響） 過(guò)慢：效率低對(duì)工業(yè)機(jī)器人，采用中繼點(diǎn)來(lái)減少慣性影響。,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.4 機(jī)械手動(dòng)態(tài)特性4.4.2 穩(wěn)定性 穩(wěn)定性指系統(tǒng)、裝置或工具運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，無(wú)振蕩問題。對(duì)機(jī)械系統(tǒng)主要有系統(tǒng)的自激振動(dòng)；對(duì)

18、電子系統(tǒng)，主要指其自激振蕩；對(duì)機(jī)器人系統(tǒng)，除上述兩者外，還有其機(jī)電耦合振蕩。如機(jī)械手的抖動(dòng)。,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.4 機(jī)械手動(dòng)態(tài)特性4.4.3 空間分辨率 空間分辨率是描述機(jī)器人工具末端運(yùn)動(dòng)所達(dá)到的最小運(yùn)動(dòng)增量。,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.4 機(jī)械手動(dòng)態(tài)特性4.4.4 精度 用下列三個(gè)因素的集合來(lái)描述精度1）各控制部件的分辨率；2）各機(jī)械部件的偏差；3）最近到達(dá)點(diǎn)距目標(biāo)位置的差；,Robotic

19、s 動(dòng)力學(xué),4.4 機(jī)械手動(dòng)態(tài)特性4.4.4 精度 示教時(shí)，精度只與機(jī)械偏差有關(guān)； 離線編程時(shí)，與分辨率、機(jī)械偏差、接近能力有關(guān)。,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.4 機(jī)械手動(dòng)態(tài)特性4.4.5 重復(fù)性 指機(jī)器人重復(fù)到達(dá)某一位置的能力。,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.4 機(jī)械手動(dòng)態(tài)特性4.4.5 重復(fù)性 指機(jī)器人重復(fù)到達(dá)某一位置的能力。幾個(gè)概念的區(qū)別：1）空間分辨率描述機(jī)器人所能控制的末端工具的

20、最小運(yùn)動(dòng)增量2）精度指一定分辨率下，機(jī)器人對(duì)某目標(biāo)的接近能力；3）重復(fù)性描述機(jī)器人重復(fù)到達(dá)同一目標(biāo)時(shí)實(shí)際的位置誤差；4）一般重復(fù)性比精度好。,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.5 機(jī)械手的靜態(tài)負(fù)荷解決： 1。靜力和力矩的表示方法； 2。不同坐標(biāo)系間，靜負(fù)荷的變換； 3。確定機(jī)械手靜態(tài)關(guān)節(jié)力矩； 4。由關(guān)節(jié)力矩確定機(jī)械手所載物體的重量。,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.5 機(jī)械手的靜態(tài)負(fù)荷4.5.1 靜力和力矩的表

21、示方法 廣義力F 例：,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.5 機(jī)械手的靜態(tài)負(fù)荷4.5.2 不同坐標(biāo)系間靜力的變換 采用虛位移原理，研究靜力作用在不同坐標(biāo)系中的描述問題。已知：在A坐標(biāo)系中的作用力表示為： 表示虛位移的微分運(yùn)動(dòng)矢量為： 已知C坐標(biāo)系到A坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換；求：在C坐標(biāo)系中的作用力CF 。 F所做虛功為： 在C坐

22、標(biāo)系中做的虛功為：,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.5 機(jī)械手的靜態(tài)負(fù)荷4.5.2 不同坐標(biāo)系間靜力的變換 即： 由微分變換的等價(jià)關(guān)系式（3-97），有或記為：,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.5 機(jī)械手的靜態(tài)負(fù)荷4.5.2 不同坐標(biāo)系間靜力的變換從而有 經(jīng)變換有,Robotics 動(dòng)力學(xué),4.5 機(jī)械手的靜態(tài)負(fù)荷4.5.3 關(guān)節(jié)力矩的確定 設(shè)作用于作用于機(jī)器人末端T6桿上的力所做的虛功