[學習]統(tǒng)計學-分布數(shù)量特征的統(tǒng)計描述

1、3-1,分布數(shù)量特征的統(tǒng)計描述,第一節(jié) 分布的平均水平、集中趨勢和位置的度量第二節(jié) 分布離散程度的度量第三節(jié) 分布的偏度和峰度,3-2,統(tǒng)計資料經(jīng)過加工整理形成分布數(shù)列后，我們對它的變化規(guī)律已有了一個直觀的了解。然而，要作進一步的統(tǒng)計分析僅靠這些直觀了解是遠遠不夠的，我們還需要尋找一些能充分度量統(tǒng)計分布數(shù)量特征的統(tǒng)計指標，以便對不同的研究對象進行分析研究。對統(tǒng)計資料的度量包括：集中趨勢的度量（平均指標）；離中趨勢的度量（變異指

2、標）。,3-3,第一節(jié) 統(tǒng)計平均數(shù) 眾數(shù) 中位數(shù),一、統(tǒng)計平均數(shù)的含義與作用(一) 含義：也稱平均指標，是用來表示社會經(jīng)濟現(xiàn)象總體各單位某一標志在一定時間、地點條件下所達到的一般水平(二) 作用反映總體各單位變量分布的一般水平和集中趨勢比較同類現(xiàn)象在不同單位的發(fā)展水平比較同類現(xiàn)象在不同時期的發(fā)展變化趨勢或規(guī)律(三) 分類,3-4,靜態(tài)平均數(shù)同一時間不同單位的數(shù)據(jù)的平均反映現(xiàn)象總體在一定歷史條件下的一般水平,動態(tài)平均

3、數(shù)不同時間同一總體的數(shù)據(jù)的平均反映現(xiàn)象在發(fā)展階段上的一般水平,3-5,5,3-6,二、算術平均數(shù),1.算術平均數(shù)：總體單位的標志值總量除以總體單位數(shù)所得的結果。基本公式：例： 平均工資=工資總額÷職工人數(shù) 單位成本=總成本÷產(chǎn)量,3-7,2.計算方法,由于所掌握資料的數(shù)據(jù)不同，有（1）簡單算術平均數(shù)。簡單算術平均數(shù)主要用于未分組資料，用總體各單位標志值簡單加總得到的標志總量除以總體

4、單位數(shù)而得。計算公式：,3-8,簡單算術平均數(shù)——資料未分組時,6名學生的考試成績分別為（分）79、82、87、60、95、91，他們的平均成績是多少？ （79+82+97+60+60+95+91）/6=84（分）,3-9,（2）加權算術平均數(shù)—適合于分組資料,1、單項式數(shù)列A. 加權算術平均數(shù)主要用于原始資料已經(jīng)分組，并得出次數(shù)分布的條件。計算公式： fi 為各組標志值出現(xiàn)的次數(shù)。,3-10,,3-11,

5、不符合基本公式，總體單位總量不是5個工人，而是800個工人；工人人總產(chǎn)量（總體標志總量）不是60件，而是9710件,所以，應該這樣計算：,可以這樣計算嗎？,不能!,3-12,3-13,B.權數(shù)的意義和作用,權數(shù)：各組次數(shù)（頻數(shù)）的大小所對應的標志值對平均數(shù)的影響具有權衡輕重的作用。當各組的次數(shù)都相同時，即當f1=f2=f3=…=fn時：加權算術平均數(shù)就等于簡單算術平均數(shù)。,3-14,2.是非標志的平均數(shù),在總體中，具有某種性質的單位

6、占總體的比率為p，不具有該種性質的單位占總體的比率為 q，以1作為具有某種性質的單位的標志值，以0作為不具有該種性質的單位的標志值： p也稱為總體中具有某種屬性的單位成數(shù)，是非標志的平均數(shù)。,3-15,3、組距式數(shù)列計算算術平均數(shù),x——各組的組中值（代表組平均水平） 假定條件：組內均勻分布或對稱分布 一般地，計算結果是近似值。,3-16,16,3-17,原來只是用組中值作為各組的代表值,3-18,4.算術平均數(shù)的

7、數(shù)學性質,（1）算術平均數(shù)與標志值個數(shù)的乘積等于各標志值的總和。簡單算術平均數(shù)：加權算術平均數(shù)：,3-19,,（2）各個標志值與其算術平均數(shù)的離差之和等于零。簡單算術平均數(shù)：加權算術平均數(shù)：,3-20,,（3）各標志值與算術平均數(shù)離差的平方和為最小值。,3-21,三 調和平均數(shù),1.簡單調和平均數(shù)：標志值的倒數(shù)的算術平均數(shù)的倒數(shù)。,3-22,2.加權調和平均數(shù),計算公式：在權數(shù)選擇合適時，加權調和平均數(shù)實際上是

8、加權算術平均數(shù)的變形：,3-23,,當各組標志總量相等，m1=m2=…=mn時，加權調和平均數(shù)可化簡成為簡單調和平均數(shù)形式。,3-24,3-25,某供銷社分三批收購某種農(nóng)副產(chǎn)品，其收購單價及各批收購額如下：,3-26,解：,3-27,某公司下屬18個企業(yè)的計劃完成情況（1）,3-28,3-29,某公司下屬18個企業(yè)的計劃完成情況（2）,3-30,18個企業(yè)的平均計劃完成百分比：,3-31,四、幾何平均數(shù),1.幾何平均數(shù)：是n項標志值連乘

9、積的n次方根。2.分類：（1）簡單幾何平均數(shù)：是n個標志值xi連乘積的n次方根。計算公式為：G=式中G表示幾何平均數(shù)，xi表示各項標志值。,3-32,（2）加權幾何平均數(shù),加權幾何平均數(shù)是各標志值fi次方的連乘積的次方根，計算公式為： G=,3-33,例：某流水生產(chǎn)線有前后銜接的五道工序。某日各工序產(chǎn)品的不合格率分別為5%、3%、1%、5% 、2%，整個流水線上產(chǎn)品的平均廢品率？,平均廢品率＝1 － 平

10、均合格率 ＝1－96.79％＝3.21％,3-34,某金融機夠以復利方式計息。近12年來的年利率有4年為3%、 2年為5% 、2年為8%、3年為10%、 1年為15%。則12年的平均年利率？,平均年利率=106.82%-1=6.82,加權幾何平均數(shù),加權幾何平均法,3-35,五、 眾數(shù) Mo,1.定義：眾數(shù)是指社會現(xiàn)象總體中最普遍出現(xiàn)的標志值。集中趨勢的測度值之一出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值不受極

11、端值的影響可能沒有眾數(shù)或有幾個眾數(shù)可以用于定類數(shù)據(jù)，也可用于定序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù),3-36,,2.眾數(shù)的確定,3-37,由品質數(shù)列（定類數(shù)據(jù)）確定眾數(shù),解：這里的變量為“廣告類型”，這是個定類變量，不同類型的廣告就是變量值。我們看到，在所調查的200人當中，關注商品廣告的人數(shù)最多，為112人，占總被調查人數(shù)的56%，因此眾數(shù)為“商品廣告”這一類別，即 Mo＝商品廣告,3-38,由品質數(shù)列（定序數(shù)據(jù)）確定眾數(shù),頻

12、率最大的組是“高中”，占52％,因此， M0＝高中,3-39,單項式數(shù)列確定眾數(shù),M0=12,3-40,4. 組距式數(shù)列確定眾數(shù)的公式,下限公式： 上限公式：,3-41,（分）,眾數(shù)的近似公式,眾數(shù)所在組的下限； 眾數(shù)所在組的次數(shù)與其前一組的次數(shù)之差；眾數(shù)所在的次數(shù)與其后一組的次數(shù)之差；,眾數(shù)組的組距。,3-

13、42,3. 眾數(shù)的幾何意義,3-43,六、中位數(shù),1.定義：中位數(shù)是將總體各個單位按其標志值的大小順序排列，處于數(shù)列中點的那個單位的標志值，在總體中，標志值小于中位數(shù)的單位占一半；標志值大于中位數(shù)的單位也占一半。,,3-44,2.中位數(shù)的確定,1)未分組資料確定中位數(shù)。將總體各單位的標志值按照大小順序排列，當總體單位數(shù)n為奇數(shù)時： 當總體單位數(shù)n為偶數(shù)時,：,3-45,例,原始數(shù)

14、據(jù): 84 82 81 86 80排 序: 80 81 82 84 86位 置: 1 2 3 4 5,中位數(shù)Me ＝82,?,3-46,原始數(shù)據(jù): 84 82 81 86 80 90排 序:80 81 82 84 86 90

15、位 置: 1 2 3 4 5 6,中位數(shù)Me ＝83,,,中位數(shù)位置＝,＝,n+1,＝3.5,2,2,6+1,?,3-47,2)單項式分組資料確定中位數(shù),當 為奇數(shù)時： ， 當 為偶數(shù)時,,3-48,3) 組距式分組資料確定中位數(shù),下限公式：

16、上限公式：,3-49,,某公司職工按月工資分組,3-50,（元）,3-51,測度數(shù)據(jù)在特定位置上的水平，還可計算四分位數(shù)、十分位數(shù)和百分位數(shù)。與中位數(shù)計算原理相類似，它們是將數(shù)據(jù)由小到大排序后，分別位于全部數(shù)據(jù)1/4、1/10和1/100位置上的數(shù)值。實際上，中位數(shù)也就是第二個四分位數(shù)、第五個十分位數(shù)、第五十個百分位數(shù)。,,P是想要得到的那個分位數(shù)，n是數(shù)據(jù)的項數(shù)，Ｍ是多少分位數(shù)。,3. 其他分位數(shù),3-52,,四分位數(shù)四分位數(shù)是

17、通過3個點將全部數(shù)據(jù)等分為4部分，其中每部分包括25%的數(shù)據(jù)。很顯然，第二個四分位數(shù)就是中位數(shù)，因此通常所說的四分位數(shù)是指處在25%位置上的數(shù)值（下四分位數(shù)Q1 ）和處在75%位置上的數(shù)值（上四分位數(shù)Q3 ）。與中位數(shù)的計算方法類似，根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計算四分位數(shù)時，首先對數(shù)據(jù)進行排序，然后確定四分位數(shù)所在的位置。,,3-53,中位數(shù)、眾數(shù)和算術平均數(shù)的關系: 中位數(shù)、眾數(shù)和算術平均數(shù)之間的數(shù)量關系決定于總體內次數(shù)分配的狀況。

18、對稱鐘形分布情形下： 非對稱左偏分布情形下：非對稱右偏分布情形下：,3-54,眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關系圖,,,,3-55,英國著名的統(tǒng)計學家皮爾生（K.Pearson）提出了一個經(jīng)驗公式：在數(shù)據(jù)分布呈輕微偏態(tài)時，算術平均數(shù)和眾數(shù)、中位數(shù)三者之間存在如下的近似關系：,,3-56,第三節(jié) 分布離散程度的度量,一、變異指標的含義與作用1.定義：變異指標反映總體內部的離中趨勢或變異狀況。變異指標值越大

19、，表明總體各單位標志的變異程度越大。2.作用：（1）衡量平均指標的代表性。（2）反映社會經(jīng)濟活動的均衡性。 （3）研究總體標志值分布偏離正態(tài)的情況。（4）資產(chǎn)風險的度量（5 ）進行抽樣推斷等統(tǒng)計分析的一個基本指標。,3-57,二、極差與四分位差,1、極差（Range)：1）極差也稱全距，它是統(tǒng)計總體中兩個極端標志值之差，表明總體中標志值變動的范圍。用R表示。2）計算公式：

20、 （未分組） （分 組） 式中：Umax代表最高組的上限； Lmin代表最低組的下限。 3）特點：計算簡便，直觀易于理解； 易受極端值的影響,3-58,,2、四分位差（Quartile Deviation)1）計算公式：數(shù)列的3/4位次與1/4位次的標志值之差除以2。用

21、Q·D表示。2）特點：四分位差避免了數(shù)列中極端值的影響，但去頭棄尾，丟失大量的原始數(shù)據(jù)。,3-59,三、平均差(Average Deviation),1、定義：平均絕對偏差，總體所有單位的標志值與其算術平均數(shù)的離差絕對值的算術平均數(shù)。用Ａ·Ｄ表示2、計算公式：3、特點：概括地反映了所有單位標志值的變異程度，但因取絕對值，數(shù)學性質不理想，實際中較少用。,,3-60,某班學生考試成績表平均差計算表,3-61,

22、四、方差與標準差,(一)方差與標準差1、方差：總體各單位標志值與其算術平均數(shù)離差平方的算術平均數(shù)。方差的平方根稱為標準差。未分組的資料：方差： 標準差 ：,3-62,用分組資料計算—加權平均法,方差：標準差,3-63,某班學生考試成績表標準差計算表,,3-64,,(二)是非標志的方差與標準差,3-65,五、變異系數(shù),一群牛的平均體重是180公斤，標準差是18公斤；

23、 一群羊的平均體重是15公斤，標準差是3公斤。 能不能說羊的平均體重的代表性高些？為什么？,3-66,,1、變異系數(shù)：變異系數(shù)也稱離散系數(shù)，是各變異指標與其算術平均數(shù)的比值。極差系數(shù)：極差與其平均數(shù)的比值。標準差系數(shù)：標準差與其平均數(shù)的比值。 2、作用：消除現(xiàn)象由于不同計量單位、不同平均水平所產(chǎn)生的影響。,3-67,六、箱線圖在統(tǒng)

24、計描述中的運用,箱線圖，也稱盒須圖，由一個箱子（或盒子）和兩條線段組成。中位數(shù)的位置表明了水平的高低箱體的大小說明了分布的集中狀況箱線的長短說明了極大值與極小值的差異情況 例3-21,3-68,第三節(jié) 分布的偏度和峰度,一、統(tǒng)計動差1、統(tǒng)計動差：也稱為距，反映分布偏斜或離散程度的指標。2、原點動差：變量x關于原點的k階距，一般形式： （未分組）

25、 （ 分組） k= 1時，即1階的原點動差就是算術平均數(shù)。k= 2時，即2階的原點動差就是平方平均數(shù)。,3-69,3、中心動差：,變量x關于分布中心（平均數(shù)）的k階距。一般形式： （未分組） （分組） 當k=0時，即零階中心動差 =1；當k=1

26、時，即一階中心動差 =0；當k=2時，即二階中心動差 = 。,3-70,二、偏度,1、偏度：是以變量的三階中心動差除以標準差三次方，用于衡量頻數(shù)分配不對稱程度，或偏斜程度的指標。2、計算公式：（用距法測定）,3-71,,當 =0時，左右完全對稱，為正態(tài)分布；當 >0時為正偏斜；當 <0時為負偏斜。,3-72,三、峰度,1、峰度：是以變量的四階中心動差除以標