[學(xué)習(xí)]復(fù)變函數(shù)與積分變換6.3分式線性映射

1、§6.3 分式線性映射,一、分式線性映射的一般形式,定義,(2) 分式線性映射的逆映射也是一個分式線性映射：,二、分式線性映射的分解,分析,分式線性函數(shù) 可改寫為：,(1) 當(dāng) 時，,(2) 當(dāng) 時，,二、分式線性映射的分解,分析,因此，一個一般形式的分式線性映射可以由下面四種,最簡單的分式線性映射復(fù)合而成。,復(fù)合成(整式)線性映射。,在后面的討論中

2、，有時會根據(jù)需要，只對(整式)線性映射,和第 (4) 種映射分別進行討論。,復(fù)合成分式線性映射。,(4),二、分式線性映射的分解,1. 平移映射,令,則有,向量 的方向平移一段距離 .,下面分別對四種映射進行討論。為了比較映射前后的變化，,將 w 平面與 z 平面放在同一個平面上。,二、分式線性映射的分解,2. 旋轉(zhuǎn)映射,旋轉(zhuǎn)一個角度,令,則有,當(dāng) 時，沿逆時針旋轉(zhuǎn)；,當(dāng) 時，沿順

3、時針旋轉(zhuǎn)。,二、分式線性映射的分解,3. 相似映射,其特點是保持點的輻角不變，,令,則有,但模擴大(或縮小)r 倍。,它將曲線或者區(qū)域相似地擴大(或縮小)r 倍。,特別適合于過原點(或含原點)的曲線或區(qū)域。,單位圓外(或內(nèi))，且輻角反號。,二、分式線性映射的分解,4. 反演(或倒數(shù))映射,它將單位圓內(nèi)(或外)的點映射到,令,,則有,如圖，反演(或倒數(shù))映射通常還可以分為兩步來完成：,(1) 將 映射為,滿足,(2) 將

4、映射為,滿足,二、分式線性映射的分解,圓周對稱的概念,,則稱 A 和,A , B 兩點位于從圓心 O,5. 兩個特殊的對稱映射,自然地，規(guī)定圓心 O 與無窮遠點 關(guān)于該圓周對稱。,B 是關(guān)于圓周 C 對稱的。,出發(fā)的射線上(如圖)，,且,二、分式線性映射的分解,5. 兩個特殊的對稱映射,(1) 關(guān)于單位圓周的對稱映射,令,則有,即,(2) 關(guān)于實軸的對稱映射,令,則有,即,二、分式線性映射的分解,5. 兩個特殊的對稱映射,(1)

5、 關(guān)于單位圓周的對稱映射,,,共形映射來使用。,映射的變化過程。,其主要作用是為了能更好地看清倒數(shù),解,,,(2),,,,,,,,,,,則點 對應(yīng)于點,三、保形性,為了在整個擴充復(fù)平面上進行討論，首先要對無窮遠點進行,某些技術(shù)處理和補充說明。,(1) 對于函數(shù),則有,其思想已在§5.2 節(jié)中介紹過。,則點 對應(yīng)于點,三、保形性,為了在整個擴充復(fù)平面上進行討論，首先要對無窮遠點進行,某些技

6、術(shù)處理和補充說明。,其思想已在§5.2 節(jié)中介紹過。,(2) 對于 平面上過無窮遠點 的曲線 C ，,同樣有,可定義為,三、保形性,1. 倒數(shù)映射 的保形性,由此，倒數(shù)映射在擴充復(fù)平面上是雙方單值的。,單值性,解析性,函數(shù) 解析，且,函數(shù) 在 處 解析，且,三、保形性,1. 倒數(shù)映射 的保形性,由

7、此即得：,三、保形性,1. 倒數(shù)映射 的保形性,由此，線性映射在擴充復(fù)平面上是雙方單值的。,當(dāng) 時，,單值性,解析性,2. 線性映射 的保形性,函數(shù) 解析，且,三、保形性,1. 倒數(shù)映射 的保形性,2. 線性映射

8、 的保形性,當(dāng) 時，,令,函數(shù) 在 處 解析，且,且當(dāng) 時，,,三、保形性,1. 倒數(shù)映射 的保形性,2. 線性映射 的保形性,線性映射 在擴充復(fù)平面上除 外是共形映射。,當(dāng) 時，,令,則,,,映射

9、 在 處是共形映射,,且,又映射 在 處也是共形映射，,即得：,三、保形性,1. 倒數(shù)映射 的保形性,2. 線性映射 的保形性,3. 分式線性映射的保形性,由于分式線性映射可分解為線性映射和倒數(shù)映射的復(fù)合，,因此就得到了如下定理。,而且其中的保角性在分式線性映射的構(gòu)造中非常實用。,

10、四、保圓性,1. 倒數(shù)映射 的保圓性,分析,令,,由 有,( A ),將 ( A ) 式代入，即得到其像曲線所滿足的方程為：,(當(dāng) 時為直線 )，,(當(dāng) 時為直線 )。,對于 平面上一個任意給定的圓：,四、保圓性,1. 倒數(shù)映射 的保圓性,2. 線性映射 的保圓性,由于

11、這三種映射顯然將圓仍然映射為圓，,3. 分式線性映射的保圓性,將圓映射為圓。,因此線性映射能,四、保圓性,則它就映射成半徑有限的圓；,(2) 如果給定的圓(或直線)上有一點映射成無窮遠點，,四、保圓性,在分式線性映射下，求圓(或圓弧段)的像曲線的方法,對于圓弧段(或直線段)，兩個端點必須選定。,(1) 找出原像曲線中的一些 “特殊點” 所對應(yīng)的像點，,從而能夠大致地確定出像曲線的位置。,(2) 找出一些 “特殊曲線” (如坐標(biāo)軸等)所對

12、應(yīng)的像。,(3) 由原像之間的關(guān)系(如夾角等)確定像之間的關(guān)系。,解,方法二 利用保圓性，直接三點定圓,,,,找 三 點,,,,,,,,( 不是蠻好直接定圓 ),( 可以了，Ok了),解,方法三 借助特殊點和特殊曲線,(3) 由于 和 在 點正交，,(1) 特殊點,故 和 在 點正交；,,故其像曲線 是經(jīng)過 兩點的圓(或直線)；,將虛軸記為,在直

13、線 C 上取兩點 和,(2) 特殊線,則其像曲線 為實軸；,,,,,,,(?),(3) 由于 被映射為 被映射為 0，,被映射為從原點出發(fā)且相互垂直的兩條射線。,因此圓弧 和,,,,,,,,,,,,,,,,解,方法一 利用保圓性，直接三點定圓,,,,,,,其中,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解,方法二 利用保圓性，保角性,(2) 由 和 在

14、 點正交，,(3) 由 順時針旋轉(zhuǎn) 90 度到 ，,,,,,,,,,,,,解,方法三 借助特殊曲線,(2) 由 與 的交角及位置關(guān)系，,知 與 的交角及位置關(guān)系，,從而很容易地確定出 和 。,(1) 將虛軸上從 到 的一段記為,則,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,中一個交點

15、 映射為無窮遠點，,本例的重要啟示,(1) 區(qū)域 D 很特別！,圓弧圍成，它們相交于 和 ；,(2) 映射很特別！,它的分母 將其,它的分子 將另一個交點 映,射為原點。,頂點在原點的角形域。,,,它的邊界由兩段,從而將區(qū)域 D 映射為,五、保對稱點性,(1) 當(dāng) C 為直線時，結(jié)論顯然(?)成立。,證明,五、保對稱點性,引理,擴充復(fù)平面上兩點 關(guān)于“圓” C 對

16、稱的充要條件是,過 的任意“圓” 都與 C 正交。,證明,必要性 “ ”,已知 關(guān)于 C 對稱，且 為過 的任意一個圓，,[當(dāng) 為直線時，,如圖，設(shè) 與 C 交于 點，,故 與 C 正交。,即 時， 顯然與 C 正交 ],,,,,且 和 均為有限點，,五、保對稱點性,引理,擴充復(fù)平面上兩

17、點 關(guān)于“圓” C 對稱的充要條件是,過 的任意“圓” 都與 C 正交。,證明,(3) 設(shè) C 為半徑有限的圓，,充分性 “ ”,已知過 的任意圓都與 C 正交，,[由過 的圓 與 C 正交，,故 關(guān)于 C 對稱。,由切割線定理有,,,,,故 被 C 隔開，,知 與圓心 O 共線 ],

18、五、保對稱點性,,,,,,,由于分式線性映射具有雙方單值性和保圓性，,因此 的原像 一定是過點 的一個“圓”；,,,,,,,五、保對稱點性,(2) 根據(jù)引理的必要性可得， 與 C 正交，,由于分式線性映射具有保角性，故 與 正交，,再根據(jù)引理的充分性可得，點 關(guān)于 對稱。,的象點 也關(guān)于象曲線 對稱。,設(shè)點

19、 關(guān)于圓周 C 對稱，則在分式線性映射下，它們,定理,,,,,,,,,,,證明,,,分析,六、唯一決定分式線性映射的條件,分式線性映射 中含有四個常數(shù),六、唯一決定分式線性映射的條件,設(shè)分式線性映射為 ，,代入條件得,同理,設(shè)分式線性映射為 ，,六、唯一決定分式線性映射的條件,證明,(僅證明存在性),代入條

20、件得,同理,將上式整理后，即得到所要的分式線性映射。,(2) 如果 和 中有一個為,將對應(yīng)點公式中含有 的項換成 1。,因此對應(yīng)點公式通常,則只需,六、唯一決定分式線性映射的條件,六、唯一決定分式線性映射的條件,則,,,,(2) 旋轉(zhuǎn),可由保角性直接得,,,例,已知區(qū)域,求一分式線性映射，將區(qū)域 D 映射,,,,解,,,,,,,,為第一象限。,故,得,七、

21、兩個典型區(qū)域間的映射,1. 將上半平面映射成單位圓域,在實軸上和單位圓周上分別取三點：,根據(jù)對應(yīng)點公式有,顯然，如果取另外的三點則會得到另外的結(jié)果。,,,,,,,七、兩個典型區(qū)域間的映射,1. 將上半平面映射成單位圓域,特點,這兩個區(qū)域的邊界都是圓。,求解,方法二 ( 求通式 ),根據(jù)前面的推論有,,,,,,,,,,,,七、兩個典型區(qū)域間的映射,1. 將上半平面映射成單位圓域,特點,這兩個區(qū)域的邊界都是圓。,求解,方法二 ( 求通式

22、 ),,,,,,,,,,,,,,,,,,又當(dāng) 在實軸上取值時，有,即,特別，取 則得到方法一得結(jié)果。,七、兩個典型區(qū)域間的映射,2. 將單位圓域映射成單位圓域,根據(jù)前面的推論有,,,,,七、兩個典型區(qū)域間的映射,2. 將單位圓域映射成單位圓域,,,,,,,,,,,,,,,,求解,( 直接求通式 ),,,當(dāng) 在 上取值時，有,即,根據(jù)對應(yīng)點公式有,整理后即得,如圖，

23、在 和 上分別取三點：,,,,解,方法二 ( 利用保對稱點性 ),故,求一共形映射 將區(qū)域 映射為,例,,,,,解,方法三 ( 直接套用公式 ),,由,求一共形映射 將區(qū)域 映射為,例,由,,,求一共形映射 將區(qū)域 映射為,例,解,(