第一章 一般多元線性回歸模型

1、1第一章第一章一般多元線性回歸模型一般多元線性回歸模型金融理論從資本資產(chǎn)定價(jià)模型(CAPM)發(fā)展到套利定價(jià)理論(APT)，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面就是從應(yīng)用一元線性回歸發(fā)展到應(yīng)用多元線性回歸。本章先介紹推導(dǎo)套利定價(jià)理論，以實(shí)例說明套利過程，引入多元線性回歸模型，隨之介紹一般多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等基本原理。然后本章深入討論多元線性回歸模型一些特別情況及解決辦法，如自變量選擇準(zhǔn)則與逐步回歸，自變量變換與多項(xiàng)式回歸等。本章的凸集間交互投

2、影的迭代算法求線性模型的最小二乘通解，在數(shù)學(xué)上有一定特色。本書軟件與各節(jié)算例配套，鍵入資料即可自動(dòng)完成回歸，使用者不看各節(jié)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)也沒有關(guān)系。資料變換回歸特意設(shè)了差分變換，軟件還能自動(dòng)顯示多元線性回歸二維擬合效果圖及多元多項(xiàng)式回歸的三維立體直觀圖，給實(shí)際工作盡量帶來方便。第一節(jié)第一節(jié)多因素定價(jià)模型多因素定價(jià)模型(MPM)(MPM)與套利定價(jià)理論與套利定價(jià)理論(APT)(APT)在引言里我們介紹了資本資產(chǎn)定價(jià)模型CAPM，從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度它

3、是屬于一元線性回歸。它的基本方程有兩個(gè)?；貧w方程0)(0)(?????MiiIMiiirCovErr?????（0.1.22）假定證券i的收益率ri與市場(chǎng)組合收益率rM之間存在線性關(guān)系，據(jù)此可以測(cè)定系數(shù)βi。資本市場(chǎng)線方程(參看圖0.1.2.3)：（0.1.20）))(()(FMiFirrErrE????告訴我們合理的證券投資組合應(yīng)選在該線上，使得風(fēng)險(xiǎn)相同的情況下能獲得較高的收益。CAPM有兩個(gè)局限性，一是經(jīng)濟(jì)假設(shè)條件較多，二是它只考慮

4、了一個(gè)自變量。Ross(1976)發(fā)展了CAPM，考慮證券i的收益率與幾個(gè)因素之間的線性關(guān)系，建立了多因素定價(jià)模型MPM(MultifactPricingModel)，形成了套利定價(jià)理論APT(ArbitragePricingThey)。從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度看，也就是從應(yīng)用一元線性回歸發(fā)展到應(yīng)用多元線性回歸。APT假定證券i的收益率ri與k個(gè)因素Fjj=1，…，k存在線性關(guān)系（1.1.1）ikikiiiFbFbrEr???????11)(這里因

5、素Fjj=1…k的均值為0，共同作用于各個(gè)證券，εi是均值為0的白噪聲隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。顯見上式是(0.1.20)的推廣。APT的經(jīng)濟(jì)假定要求存在公平競(jìng)爭(zhēng)且無摩擦的資本市場(chǎng)；個(gè)人投資傾向的共同偏好在(1.1.1)前提下與CAPM相同：相同風(fēng)險(xiǎn)時(shí)偏好收益大的，收益大時(shí)3nibbrEikkii1)(110??????????（1.1.8）由于bijj=1…，k是第i個(gè)證券對(duì)于第j個(gè)因素的敏感度量，考慮到無風(fēng)險(xiǎn)收益，顯然有λ0=rF（1.1.9）于

6、是我們可將(1.1.8)寫成超額收益形式（1.1.10）ikkiFibbrrE???????11)(它正是CAPM下資本市場(chǎng)線方程(0.1.20)的推廣。(1.1.10)就是套利定價(jià)定理APT的數(shù)學(xué)表述。當(dāng)只取一個(gè)自變量bik時(shí)，(1.1.10)可以圖標(biāo)如下：圖1.1.1.1在均衡狀態(tài)下，所有的資產(chǎn)都必定落在套利定價(jià)線上。因?yàn)樘桌▋r(jià)關(guān)系是線性的，所以我們可以將直線方程寫成斜截式（1.1.11）ikkFibrrE???)(（1.1.12

7、）FkFKkrr????????01這里對(duì)第k個(gè)因素敏感度為1個(gè)單位，而對(duì)其余因素敏感度為0，而λk可以視作對(duì)K?承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的獎(jiǎng)勵(lì)。在一般情況下，(1.1.10)可寫作（1.1.13）ikFkiFFibrbrrrE][][)(11?????????比較(0.1.20)，可以清楚它各個(gè)參數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義，并且確信APT是CAPM的推廣。若將(1.1.13)視作回歸方程，則（1.1.14）njVarrCovbijiij1)()(?????這說明b