選修數(shù)學(xué)橢圓綜合知識點+大量例題

1、橢圓的性質(zhì)橢圓的性質(zhì)▓橢圓的范圍橢圓的范圍橢圓上的點都位于直線橢圓上的點都位于直線x=ax=a和y=by=b圍成的矩形內(nèi)，所以坐標(biāo)滿足圍成的矩形內(nèi)，所以坐標(biāo)滿足|x|≤a|x|≤a，|y|≤b.|y|≤b.▓橢圓的離心率橢圓的離心率①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作表示，記作。②因為因為22cceaa??a＞c＞0，所以，所以e的取值范圍是的取值范圍是0＜e＜1。e越接

2、近越接近1，則，則c就越接近就越接近a，從而，從而越小，因此橢圓越扁；越小，因此橢圓越扁；22bac??反之，反之，e越接近于越接近于0，c就越接近就越接近0，從而，從而b越接近于越接近于a，這時橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)，這時橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)a=ba=b時，時，c=0c=0，這時兩，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2yy2=a=a2。▓橢圓橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：（的圖象中線

3、段的幾何特征（如下圖）：（1），，12222??byax122PFPFa??1212||||||||PFPFePMPM??；（；（2），，；（；（3）2122||||aPMPMc??12BFBFa??12OFOFc??2221ABABab???，；1122AFAFac???1221AFAFac???caPFca????1▓橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量a、b、c的幾何意義的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c

4、三個量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢三個量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：為：a＞b＞0，a＞c＞0，且，且a2=b=b2cc2。▓橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點位置的方法是：看橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點位置的

5、方法是：看x2、y2的分母的大小，哪個分母大，的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標(biāo)軸上。焦點就在哪個坐標(biāo)軸上。▓平面內(nèi)點與橢圓的位置關(guān)系平面內(nèi)點與橢圓的位置關(guān)系橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外，因此，平面上的點與橢圓的位置關(guān)系有三種，任給一點外，因此，平面上的點與橢圓的位置關(guān)系有三種，任給一點M（xyxy），若點，若點M（xyxy）在橢圓上，則有）在橢圓上，則有；若點；若點M（

6、xyxy）在橢圓內(nèi)，則）在橢圓內(nèi)，則22221xyab??(0)ab??有；若點；若點M（xyxy）在橢圓外，則有）在橢圓外，則有22221xyab??(0)ab??22221xyab??.(0)ab??▓直線與橢圓的相交弦直線與橢圓的相交弦設(shè)直線設(shè)直線交橢圓交橢圓于點于點兩點，則兩點，則ykxb??22221xyab??(0)ab??111222()()PxyPxy==同理可得同理可得22121212||()()PPxxyy????2

7、2121212()[1()]yyxxxx????2121||kxx??這里這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：121221||1||(0)PPyykk????12||xx?12||yy?2121212||()4xxxxxx????2121212||()4yyyyyy????▓例1.1.已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點，為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是一個焦點，是一個焦點，A是一

8、個頂點，若橢圓的長軸長是是一個頂點，若橢圓的長軸長是6，且，且，求橢圓的方程。，求橢圓的方程。2cos3OFA??________?！窘馕鼋馕觥扛鶕?jù)題意，根據(jù)題意，|AB|AB2|=a|=a2bb2，|BF|=a|BF|=a，|AF|=ac|AF|=ac，所以在，所以在Rt△ABFRt△ABF中，有中，有(ac)(ac)2=a=a2bb2aa2，化簡得，化簡得c2ac―aac―a2=0=0，等式兩邊同除以，等式兩邊同除以a2，得，得e2

9、e―1=0e―1=0，解得，解得。又。又∵0∵0＜e＜1，∴。152e???512e??▓例4已知橢圓已知橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2是兩個焦點，若橢圓上存在一點是兩個焦點，若橢圓上存在一點P，使，使，求其離，求其離22221(0)xyabab????1223FPF???心率心率的取值范圍。的取值范圍。e【解析解析】△F】△F1PFPF2中，已知中，已知，|F|F1F2|=2c|=2c，|PF|PF1||PF||PF2|=2a|=2a，由余弦定理：

10、，由余弦定理：4c4c2=|PF=|PF1|2|PF|PF2|21223FPF???2|PF2|PF1||PF||PF2|cos120①|(zhì)cos120①又|PF|PF1||PF||PF2|=2a|=2a②聯(lián)立聯(lián)立①②得4c4c2=4a=4a2|PF|PF1||PF||PF2|，∴2212|PF||PF|4a4c??2222222122a|PF||PF|()a4a4ca3a4c02????????c33e1a22?????▓【變式變式】已

11、知橢圓已知橢圓，以，以，，為系數(shù)的關(guān)于為系數(shù)的關(guān)于的方程的方程無實根，求其無實根，求其22221(0)xyabab????abcx20axbxc???離心率離心率的取值范圍。的取值范圍。e【答案答案】由已知，由已知，，所以，所以，即，即，不等式兩邊同除，不等式兩邊同除可得可得240bac????22()40acac???2240caca???2a，解不等式得，解不等式得或.由橢圓的離心率由橢圓的離心率，所以所求橢圓離心率，所以所求橢圓離

12、心率2410ee???52e???52e??(01)e?.(521)e??▓例6.6.已知橢圓已知橢圓，求過點，求過點且被且被平分的弦所在的直線方程平分的弦所在的直線方程1222??yx??????2121，PP【解析解析】解法一：設(shè)所求直線的斜率為解法一：設(shè)所求直線的斜率為，則直線方程為，則直線方程為代入橢圓方程，并整理得代入橢圓方程，并整理得k?????????2121xky由韋達(dá)定理得由韋達(dá)定理得∵是弦中點，是弦中點，????02