排列組合例題

1、11.排列的定義排列的定義:從n個(gè)不同元素中個(gè)不同元素中任取任取m個(gè)元素個(gè)元素按照一定的順序排成一列按照一定的順序排成一列叫做從叫做從n個(gè)不個(gè)不同元素中取出同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。個(gè)元素的一個(gè)排列。2.組合的定義組合的定義:從n個(gè)不同元素中個(gè)不同元素中任取任取m個(gè)元素個(gè)元素并成一組并成一組叫做從叫做從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合個(gè)元素的一個(gè)組合.①分類記數(shù)原理（加法原理）：完成一件事，有分類記數(shù)原理（加法

2、原理）：完成一件事，有n類辦法，在第類辦法，在第1類辦法中有類辦法中有m1種不種不同的方法，在第同的方法，在第2類辦法中有類辦法中有m2種不同的方法種不同的方法……在第在第n類辦法中有類辦法中有mn種不同的方法種不同的方法那么完成這件事共有那么完成這件事共有N=m1m2…..mn種不同的方法種不同的方法.②分步記數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事需要分步記數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事需要n個(gè)步驟，做第個(gè)步驟，做第1步有步有m1種不同的方種

3、不同的方法，做第法，做第2步有步有m2種不同的方法，種不同的方法，……做第做第n步有步有mn種不同的方法，那么完成這件事種不同的方法，那么完成這件事共有共有N=m1m2.…..mn種不同的方法種不同的方法.③兩個(gè)原理的區(qū)別：前者各種方法相互獨(dú)立，用其中的任何一種方法都可以完成這件事；兩個(gè)原理的區(qū)別：前者各種方法相互獨(dú)立，用其中的任何一種方法都可以完成這件事；后者每個(gè)步驟相互依存，只有每個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成對(duì)前者的應(yīng)用，如何后者

4、每個(gè)步驟相互依存，只有每個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成對(duì)前者的應(yīng)用，如何分類是關(guān)鍵，如排數(shù)時(shí)有分類是關(guān)鍵，如排數(shù)時(shí)有0沒有沒有0，排位時(shí)的特殊位置等；后者一般體現(xiàn)在先選后排，排位時(shí)的特殊位置等；后者一般體現(xiàn)在先選后排從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)個(gè)元素的排列數(shù)例1：7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆中，問

5、有多少不同的種法？中，問有多少不同的種法？解一：分兩步完成解一：分兩步完成第一步選兩葵花之外的花占據(jù)兩端和中間的位置第一步選兩葵花之外的花占據(jù)兩端和中間的位置第二步排其余的位置：第二步排其余的位置：解二：第一步由葵花去占位解二：第一步由葵花去占位第二步由其余元素占位：第二步由其余元素占位：小結(jié)：當(dāng)排列或組合問題中小結(jié)：當(dāng)排列或組合問題中若某些元素或某些位置有特殊要求的時(shí)候，那么，一般先按排若某些元素或某些位置有特殊要求的時(shí)候，那么，一般

6、先按排這些特殊元素或位置，然后再按排其它元素或位置，這種方法叫特殊元素（位置）分析法。這些特殊元素或位置，然后再按排其它元素或位置，這種方法叫特殊元素（位置）分析法。例2：要排一個(gè)有：要排一個(gè)有5個(gè)獨(dú)唱節(jié)目和個(gè)獨(dú)唱節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目的節(jié)目單，如果舞蹈節(jié)目不排頭，并且任個(gè)舞蹈節(jié)目的節(jié)目單，如果舞蹈節(jié)目不排頭，并且任何2個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同的排法有幾種？個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同的排法有幾種？解：解：5個(gè)獨(dú)唱節(jié)目的排法是個(gè)獨(dú)唱節(jié)目的排法是

7、P55舞蹈不排在頭一個(gè)節(jié)目，又需任何兩個(gè)舞蹈不連排舞蹈不排在頭一個(gè)節(jié)目，又需任何兩個(gè)舞蹈不連排只要把只要把舞蹈節(jié)目舞蹈節(jié)目插入獨(dú)唱節(jié)目的插入獨(dú)唱節(jié)目的5個(gè)空隙中即可個(gè)空隙中即可即舞蹈節(jié)目的排法是即舞蹈節(jié)目的排法是P53所以排法的種數(shù)為所以排法的種數(shù)為小結(jié)：當(dāng)某幾個(gè)元素要求不相鄰時(shí)，可以先排沒有條件限制的元素，再將要求不相鄰的小結(jié)：當(dāng)某幾個(gè)元素要求不相鄰時(shí)，可以先排沒有條件限制的元素，再將要求不相鄰的元素按要求插入已排好元素的空隙之中，這

8、種方法叫插入法。元素按要求插入已排好元素的空隙之中，這種方法叫插入法。例3學(xué)生要從六門課中選學(xué)兩門學(xué)生要從六門課中選學(xué)兩門:（1）有兩門課時(shí)間沖突，不能同時(shí)學(xué)，有幾種選法？）有兩門課時(shí)間沖突，不能同時(shí)學(xué)，有幾種選法？（2）有兩門特別的課，至少選學(xué)其中的一門，有幾種選法？）有兩門特別的課，至少選學(xué)其中的一門，有幾種選法？(1)解法一：解法一：解法二：解法二：(2)解法一：解法一：解法二：解法二：例49人排成一行，下列情形分別有多少種排法？

9、人排成一行，下列情形分別有多少種排法？⑴甲不站排頭，乙不站排尾；甲不站排頭，乙不站排尾；解法一：解法一：(分類法分類法)解法二：解法二：(排除法排除法)種排法有24P種排法有35P種排法有44P種不同的排法共有4435PP?種排法有55P種不同的排法共有5524PP?14141224??CCC14126??C9221412??CCC92426??CC28728077171788????AAAA2872802778899???AAAmmm

10、nmnCAA??34、間接法或淘汰法。理解題中的要求，把不符合要求的除去，應(yīng)注意不能多減也不能少減。、間接法或淘汰法。理解題中的要求，把不符合要求的除去，應(yīng)注意不能多減也不能少減。例4、5名男生，名男生，5名女生排成一行，其中名女生排成一行，其中5名男生不排在一起，有幾種排法？名男生不排在一起，有幾種排法？（分析）先計(jì)算出（分析）先計(jì)算出10人的全排列數(shù)，再減去人的全排列數(shù)，再減去5名男生排在一起的排列數(shù)即可。共名男生排在一起的排列數(shù)即

11、可。共A—A1010A55665、合理分類與準(zhǔn)確分步。解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，事、合理分類與準(zhǔn)確分步。解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，事情發(fā)生的連續(xù)性分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。情發(fā)生的連續(xù)性分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。例5、五人從左到右站成一排，其中甲不站排頭，乙不站第二個(gè)位置，共有多少種不同站、五人從左到右站成一排，其中甲不站排頭，乙不站第二

12、個(gè)位置，共有多少種不同站法（分析）若甲在第二位置上其余（分析）若甲在第二位置上其余4人可自由按排，有人可自由按排，有A種；種；44若甲在第若甲在第3、4、5位置上，則乙可站在其他位置上，則乙可站在其他3個(gè)位置上，有個(gè)位置上，有AAA種；共種；共AAAA13133344131333或用間接法：或用間接法：①甲在第一位置，乙在第二位置有甲在第一位置，乙在第二位置有A種；種；②甲在第一位置，乙不在第二位甲在第一位置，乙不在第二位33置有置有A

13、A種；種；③甲不在第一位置，乙在第二位置有甲不在第一位置，乙在第二位置有AA種；即共有種；即共有AAAAA1333133333133313種不符合要求，則符合要求的有種不符合要求，則符合要求的有A—(AAAAA)種。種。335533133313336“住店法住店法”解決解決“允許重復(fù)排列問題允許重復(fù)排列問題”。要注意區(qū)分兩類元素，一類元素是可以重復(fù)，另。要注意區(qū)分兩類元素，一類元素是可以重復(fù)，另一類元素是不可以重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作

14、一類元素是不可以重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”把可以重復(fù)的元素看作把可以重復(fù)的元素看作“店”再利再利用乘法原理求解的方法稱用乘法原理求解的方法稱“住店法住店法”例6、七名學(xué)生爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？、七名學(xué)生爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？（分析）因同一學(xué)生可同時(shí)奪得幾項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，把七名學(xué)生看作七家（分析）因同一學(xué)生可同時(shí)奪得幾項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，把七名學(xué)生看作七家“店”，五項(xiàng)冠軍看作五名五

15、項(xiàng)冠軍看作五名“客”。每個(gè)。每個(gè)“客”有7種住法，共種住法，共7種。種。57、順序固定問題有、順序固定問題有“除法除法”。對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題，可先將這幾個(gè)元素與。對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題，可先將這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。其他元素一同進(jìn)行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。例7、五人排列，甲在乙前面的排法有多少種？、五人排列，甲在乙前面的排法有多少種？（分

16、析）先將（分析）先將5人全排列有人全排列有A種排法，而甲、乙之間排法有種排法，而甲、乙之間排法有A種排法，而甲在乙前的排種排法，而甲在乙前的排5522法只有一種符合，故符合條件的排法有法只有一種符合，故符合條件的排法有種。種。2255AA8、特征分析法。研究有約束這種的排列問題要緊扣問題所提供的數(shù)字特征、結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)、特征分析法。研究有約束這種的排列問題要緊扣問題所提供的數(shù)字特征、結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行推理分析求解。行推理分析求解。例8、由、由