平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、平面向量基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)1平面向量知識(shí)點(diǎn)小結(jié)一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別.向量常用有向線段來(lái)表示.注意：不能說(shuō)向量就是有向線段，為什么？提示：向量可以平移.舉例1已知，，則把向量按向量平移后得到的向量是_____.結(jié)果：(12)A(42)BAB????(13)a???(30)2.零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：，規(guī)定：零向量的方向是任意的；0?3.單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單

2、位向量（與共線的單位向量是）AB????||ABAB?????????；4.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5.平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：a?b?∥，a?b?規(guī)定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向

3、量無(wú)傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?；0?④三點(diǎn)共線共線.ABC、、ABAC?????????、6.相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量記作.a?a??舉例2如下列命題：（1）若，則.||||ab???ab???（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同.（3）若，則是平行四邊形.ABDC??????????ABCD（4）若是平行四邊形，則.ABCDABDC??????????（5）若，，則.ab???bc???ac?

4、??（6）若，則.其中正確的是.結(jié)果：（4）（5）ab??bc??ac??二、向量的表示方法1.幾何表示：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；AB????2.符號(hào)表示：用一個(gè)小寫(xiě)的英文字母來(lái)表示，如，，等；a?b?c?3.坐標(biāo)表示：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量xy為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，ij??a?()axiyjxy??????()xya?叫做向量的坐標(biāo)表示.()a

5、xy??a?結(jié)論：如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同.三、平面向量的基本定理定理設(shè)同一平面內(nèi)的一組基底向量，是該平面內(nèi)任一向量，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)12ee??a?，使.12()??1122aee???????（1）定理核心：；（2）從左向右看，是對(duì)向量的分解，且表達(dá)式唯一；反之，是對(duì)向量的合成.1122aλeλe?????a?a?（3）向量的正交分解：當(dāng)時(shí)，就說(shuō)為對(duì)向量的正交分解12ee??1122aλeλe????

6、?a?舉例3（1）若，，，則.結(jié)果：.(11)a??(11)b???(12)c???c??1322ab???（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是BA.，B.，C.，D.，1(00)e??2(12)e???1(12)e???2(57)e??1(35)e??2(610)e??1(23)e???21324e?????????（3）已知分別是的邊，上的中線且，則可用向量表示為.結(jié)ADBE????????ABC△BCACADa????

7、??BEb??????BC????ab??果：.2433ab???（4）已知中，點(diǎn)在邊上，且，，則的值是.結(jié)果：0.ABC△DBC2CDDB?????????CDrABsAC??????????????rs??平面向量基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)31.幾何運(yùn)算（1）向量加法運(yùn)算法則：①平行四邊形法則；②三角形法則.運(yùn)算形式：若，，則向量叫做與的和，即；ABa??????BCb??????AC????a?b?abABBCAC???????????????

8、???作圖：略.注：平行四邊形法則只適用于不共線的向量.（2）向量的減法運(yùn)算法則：三角形法則.運(yùn)算形式：若，，則，即由減向量的終點(diǎn)指向被減向ABa??????ACb??????abABACCA??????????????????量的終點(diǎn).作圖：略.注：減向量與被減向量的起點(diǎn)相同.舉例7（1）化簡(jiǎn)：①；②；③.結(jié)果：①ABBCCD???????????????ABADDC????????????????()()ABCDACBD??????

9、??????????????；②；③；AD????CB????0?（2）若正方形的邊長(zhǎng)為1，，，，則.結(jié)果：；ABCDABa??????BCb??????ACc??????||abc??????22（3）若是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為.結(jié)果：直角三角形；OABC△2OBOCOBOCOA????????????????????????ABC△（4）若為的邊的中點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，設(shè)，則的值為.DABC△BCABC△P0PA

10、BPCP????????????????||||APPD???????????結(jié)果：2；（5）若點(diǎn)是的外心，且，則的內(nèi)角為.結(jié)果：.OABC△0OAOBCO????????????????ABC△C120?2.坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，，則11()axy??22()bxy??（1）向量的加減法運(yùn)算：，.1212()abxxyy??????1212()abxxyy??????舉例8（1）已知點(diǎn)，，，若，則當(dāng)____時(shí)，點(diǎn)在第一、三象限的角平分(23)

11、A(54)B(710)C()APABAC?????R??????????????P線上.結(jié)果：；12（2）已知，，且，，則.結(jié)果：或；(23)A(14)B1(sincos)2ABxy?????()22xy????xy??6?2??（3）已知作用在點(diǎn)的三個(gè)力，，，則合力的終點(diǎn)坐標(biāo)是.結(jié)果：(11)A1(34)F????2(25)F?????3(31)F????123FFFF???????????????.(91)（2）實(shí)數(shù)與向量的積：.1

12、111()()axyxy???????（3）若，，則，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向11()Axy22()Bxy2121()ABxxyy???????量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).舉例9設(shè)，，且，，則的坐標(biāo)分別是__________.結(jié)果：.(23)A(15)B?13ACAB?????????3ADAB?????????CD11(1)(79)3?（4）平面向量數(shù)量積：.1212abxxyy?????舉例10已知向量，，.(sinc

13、os)axx??(sinsin)bxx??(10)c???（1）若，求向量、的夾角；3x??a?c?（2）若，函數(shù)的最大值為，求的值.結(jié)果：（1）；（2）或.3[]84x????()fxab?????12?150?1221??（5）向量的模：.222222||||aaxyaxy?????????舉例11已知均為單位向量，它們的夾角為，那么＝.結(jié)果：.ab??60?|3|ab????13（6）兩點(diǎn)間的距離：若，，則.11()Axy22()