依概率收斂與弱大數(shù)定律

1、2依概率收斂與弱大數(shù)定律依概率收斂與弱大數(shù)定律一、依概率收斂一、依概率收斂二、弱大數(shù)定律二、弱大數(shù)定律一、依概率收斂一、依概率收斂盡管分布函數(shù)完全反映了隨機變量取值的分布規(guī)律但是兩個不同的隨機變量可以有相同的分布函數(shù).例如向區(qū)間[01]上隨機等可能投點ω表示落點的位置，定義??()????10????[.](.]005051??()????01????[.](.]005051.(1)則ξ和η具有相同的分布函數(shù)F(x)=?????1210

2、.1100????xxx(2)如果定義??n?n?1則??nd???但||??n??1.這表明分布函數(shù)收斂性并不能反映隨機變量序列取值之間的接近程度.為此需要引入另外的收斂性.定義定義1設(shè)?和?n是定義在同一概率空間(ΩFP)上的隨機變量序列.如果對任意ε0lim(||)nnP???????=0(3)或lim(||)nnP???????=1)3(則稱?n依概率收斂(convergenceinprobability)于?，記作?nP???

3、?.注定義1要求所有?和?n的定義域相同.?nP????可直觀地理解為：除去極小的可能性，只要n充分大，?n與?的取值就可以任意接近.從上面例子可以看出由?nd????并不能導(dǎo)出?nP????.關(guān)于這兩種收斂性之間的關(guān)系，我們有下面的定理.定理定理1設(shè)?和?n是定義在概率空間(ΩFP)上的隨機變量序列.1.如果?nP????則?nd????.2.如果?ndc???c為常數(shù)，則?nPc???.證1.設(shè)F和Fn分別是?和?n的分布函數(shù)，x表

4、示F的連續(xù)點.任意給定ε0證由定理1只須證明?n的分布函數(shù)GxDxanW()()????其中D(xa)是在a點的退化分布函數(shù).從第二章知道：若?k的分布函數(shù)為F(x)則?n的分布函數(shù)為GxFxnn()[()]?.現(xiàn)在?k的分布函數(shù)為F(x)=?????10ax.00axaxx????故Gxxann()()??????01xxaxa????00→D(xa)=01???xaxa??(n→∞).證畢.依概率收斂有許多性質(zhì)類似于微積分中數(shù)列極限

5、的性質(zhì)下面僅舉兩個例子說明這類問題的證題方法.大部分性質(zhì)放在習(xí)題中留給讀者自己證明.例2設(shè)?和?n是定義在概率空間(ΩFP)上的隨機變量序列.求證：1.若?nP????，?nP????則P(ξ=η)=1.2.若?nP????f是(∞∞)上的連續(xù)函數(shù)，則f(?n)Pf???()?.證1.任意給定ε0，我們有(|????????????????|)(||)(||)nn22?從而P(|?????????????????|)(||)(||)PP