淺談如何解決排列組合問題

1、1淺談如何解決排列組合問題摘要：摘要：排列與組合是在高中數(shù)學(xué)課程里面是重要內(nèi)容之一。解題前必須認(rèn)真審題，明確是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排列與組合的混合問題，其次要抓住問題的本質(zhì)特征，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析解答還要考慮“是有序”的還是“無序的”。排列組合問題的實(shí)際應(yīng)用非常廣泛并且在實(shí)際中的解題方法也是比較復(fù)雜的如何提高學(xué)生解決排列組合問題的能力呢？我認(rèn)為除了必須領(lǐng)會加，乘原理，熟悉幾類典型例題外，還應(yīng)讓學(xué)生掌握幾種必要的

2、解題方法和原則。下面就通過一些實(shí)例來介紹實(shí)際應(yīng)用中的解題技巧。關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞:排列、組合一、一、特殊元素和特殊位置優(yōu)先法特殊元素和特殊位置優(yōu)先法位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法若以元素若以元素分析為主分析為主需先安排特殊元素需先安排特殊元素再處理其它元素再處理其它元素.若以位置分析為主若以位置分析為主需先滿足特殊位置的需先滿足特殊位置的要求要求再處

3、理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件。其它條件。例1.由012345可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解:由于末位和首位有特殊要求應(yīng)該優(yōu)先安排以免不合要求的元素占了這兩個位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步計(jì)數(shù)原理得113434288CCA?二、相鄰元素捆綁法二、相鄰元素捆綁法要求某幾個元素

4、必須排在一起的問題要求某幾個元素必須排在一起的問題可以用捆綁法來解決問題，即將需要相鄰的元可以用捆綁法來解決問題，即將需要相鄰的元素合并為一個元素素合并為一個元素再與其它元素一起作排列再與其它元素一起作排列同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列。同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列。例2.7人站成一排其中甲乙相鄰且丙丁相鄰共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復(fù)合元素，同時丙丁也看成一個復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時

5、對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法。522522480AAA?乙甲丁丙三、三、不相鄰問題插空法不相鄰問題插空法對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題可以用插入法可以用插入法.即先排好沒有限制即先排好沒有限制條件的元素條件的元素然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可。然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可。例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈2

6、個相聲3個獨(dú)唱舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場則節(jié)目的出場順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個相聲和3個獨(dú)唱共有種，第二步將4舞蹈插入第一步排55A好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種不同的方法由分步計(jì)數(shù)原理節(jié)目的46A不同順序共有種5456AA四、四、定序問題倍縮空位插入法定序問題倍縮空位插入法C14A34C133解決排列組合混合問題解決排列組合混合問題先選后排是最基本的指導(dǎo)思想先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.例8.有5個不同的小球裝入4個不同

7、的盒內(nèi)每盒至少裝一個球共有多少不同的裝法.解:第一步從5個球中選出2個組成復(fù)合元共有種方法.再把4個元素(包含一個25C復(fù)合元素)裝入4個不同的盒內(nèi)有種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有44A2454CA九、九、小集團(tuán)問題先整體后局部法小集團(tuán)問題先整體后局部法小集團(tuán)排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理。小集團(tuán)排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理。例9.用12345組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾1５在

8、兩個奇數(shù)之間這樣的五位數(shù)有多少個？解：把１５２４當(dāng)作一個小集團(tuán)與３排隊(duì)共有種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有22A種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有種排法.2222AA222222AAA十、十、元素相同問題隔板法元素相同問題隔板法將n個相同的元素分成個相同的元素分成m份（份（n，m為正整數(shù)）為正整數(shù)）每份至少一個元素每份至少一個元素可以用可以用m1塊隔板，插入隔板，插入n個元素排成一排的個元素排成一排的n1個空隙中，所有分法數(shù)為個空隙中，所有分法數(shù)為。

9、11mnC??例10.有10個運(yùn)動員名額，分給7個班，每班至少一個有多少種分配方案？解：因?yàn)?0個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應(yīng)地分給７個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有種分法。69C一班二班三班四班五班六班七班十一、正難則反總體淘汰法十一、正難則反總體淘汰法有些排列組合問題有些排列組合問題正面直接考慮比較復(fù)雜正面直接考慮比較復(fù)雜而它的反面往往比較簡捷而

10、它的反面往往比較簡捷可以先求出它可以先求出它的反面的反面再從整體中淘汰。再從整體中淘汰。例11.從0123456789這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)不同的取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難可用總體淘汰法。這十個數(shù)字中有5個偶數(shù)5個奇數(shù)所取的三個數(shù)含有3個偶數(shù)的取法有只含有1個偶數(shù)的35C取法有和為偶數(shù)的取法共有。再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符1255CC123555CCC?合條件的取法共有12

11、35559CCC??十二、平均分組問題除法十二、平均分組問題除法平均分成的組平均分成的組不管它們的順序如何不管它們的順序如何都是一種情況都是一種情況所以分組后要一定要除以所以分組后要一定要除以(為均分的組數(shù)為均分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。避免重復(fù)計(jì)數(shù)。nnAn例12.6本不同的書平均分成3堆每堆2本共有多少分法？解:分三步取書得種方法但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象不妨記6本書為222642CCCABCDEF，若第一步取AB第二步取CD第三步取EF