極限理論的建立

1、數(shù)學(xué)分析的建立—極限思想的理論化微積分誕生之后，數(shù)學(xué)迎來(lái)了一次空前繁榮的時(shí)期，微積分在力學(xué)、天文學(xué)中大現(xiàn)身手，輕而易舉地解決許多本來(lái)認(rèn)為束手無(wú)策的難題。后來(lái)，微積分又在更多的領(lǐng)域取得了豐碩的成果。人們公認(rèn)微積分是17、18世紀(jì)數(shù)學(xué)所達(dá)到的最高成就。但是另一方面，無(wú)論是牛頓的瞬和流數(shù)，還是萊布尼茨的dx和，都涉及到“無(wú)窮小量“，而在他們各自的論述中都沒有給出確定的、一貫的定義，都缺乏清晰的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫽A(chǔ)。牛頓承認(rèn)他對(duì)自己的方法只作出“簡(jiǎn)

2、略的說(shuō)明，而不是正確的論證。“萊布尼茨曾把無(wú)窮小量形容為一種“理想的量“，但正如一些數(shù)學(xué)家所說(shuō)：“與其說(shuō)是一種說(shuō)明，還不如說(shuō)是一個(gè)謎。“奇怪的是，微積分自身存在著明顯的邏輯混亂，然而在實(shí)際應(yīng)用中則是卓有成效的得力工具。這樣，微積分就具有了“神秘性“。起初，“神秘性“集中表現(xiàn)在對(duì)于“無(wú)窮小量“這個(gè)概念的理解上，并因而受到了各種人的攻擊。數(shù)學(xué)家們不能容忍這一新方法的理論本身是如此的含糊不清乃至荒謬絕倫。法國(guó)數(shù)學(xué)家洛爾稱微積分為“巧妙的謬論的

3、匯集“；著名思想家伏爾泰說(shuō)微積分是“精確的計(jì)算和度量某種無(wú)從想象其存在的東西的藝術(shù)“。在一片疑難和責(zé)問聲中，以英國(guó)主教兼哲學(xué)家貝克萊的譴責(zé)最為強(qiáng)烈，他譏諷無(wú)窮小量是“逝去的量的鬼魂“，說(shuō)微積分包含“大量的空虛、黑暗和混亂“，是“分明的詭辯“。馬克思曾對(duì)微積分作過(guò)一番歷史考察，他把這一時(shí)期稱為“神秘的微積分“時(shí)期，并有這樣的評(píng)論：“于是，人們自己相信了新發(fā)現(xiàn)的算法的神秘性。這種算法肯定是通過(guò)不正確的數(shù)學(xué)途徑得出了正確的（而且在幾何應(yīng)用上是

4、驚人的）結(jié)果。人們就這樣把自己神秘化了，對(duì)這新發(fā)現(xiàn)的評(píng)價(jià)更高了，使一群舊式正統(tǒng)派數(shù)學(xué)家更加惱怒，并且激起了敵對(duì)的叫囂，這種叫囂甚至在數(shù)學(xué)界以外產(chǎn)生了反響，而為新事物開拓道路，這是必然的。“神秘歸神秘，微積分的邏輯缺陷不免遭到人們的猛烈攻擊，因此激厲數(shù)學(xué)家們?yōu)橄⒎e分的神秘性，亦即為微積分建立合理的理論基礎(chǔ)而努力。18世紀(jì)，在這方面作出貢獻(xiàn)的主要代表人物是達(dá)朗貝爾、歐拉和拉格朗日。達(dá)朗貝爾(分析)運(yùn)算。喜歡分析的人將高興地看到，力學(xué)變成

5、了它的一個(gè)新分支，并將感激我擴(kuò)大了它的領(lǐng)域?！睂?shí)際情況正是這樣?？墒恰盁o(wú)窮小量“的本質(zhì)尚未弄明白，無(wú)窮級(jí)數(shù)的“和“的問題又日漸突出了。在很長(zhǎng)一段時(shí)間里，人們習(xí)慣地把有限多項(xiàng)相加的運(yùn)算規(guī)則照搬到無(wú)窮級(jí)數(shù)中，雖然也解決過(guò)許多問題，但有時(shí)竟出現(xiàn)了像12=0這樣的荒謬結(jié)果。進(jìn)入19世紀(jì)以后，隨著微積分應(yīng)用的更加廣泛和深入，遇到的數(shù)量關(guān)系也更加復(fù)雜，在這種情況下，要求有明確的概念、合乎邏輯的推理和運(yùn)算法則，就顯得更加重要和迫切了。事實(shí)上，微積分作

6、為變量數(shù)學(xué)，是運(yùn)用“無(wú)窮“來(lái)描畫和研究運(yùn)動(dòng)和變化過(guò)程，獲得了成功的，卻長(zhǎng)期沒有對(duì)有關(guān)“無(wú)窮“的概念給出正確的闡述，甚至導(dǎo)致邏輯上的混亂，這也正是微積分的理論基礎(chǔ)所要解決的問題。數(shù)學(xué)家們經(jīng)過(guò)一百多年的艱苦探索歷程，終于在前人所積累的大量成果（包括許多失敗的嘗試）的基礎(chǔ)上，建立起微積分的理論基礎(chǔ)。其中最大貢獻(xiàn)的就是柯西，魏爾斯特拉斯了?？挛骺挛鳎–auchy，AugustinLouis17891857）自從牛頓和萊布尼茨發(fā)明微積分（即無(wú)窮小

7、分析，簡(jiǎn)稱分析）以來(lái)，這門學(xué)科的理論基礎(chǔ)是模糊的。為了進(jìn)一步發(fā)展，必須建立嚴(yán)格的理論?？挛鳛榇耸紫瘸晒Φ亟⒘藰O限論。1813年柯西在擔(dān)任工程師期間，用復(fù)變函數(shù)的積分計(jì)算實(shí)積分，這是復(fù)變函數(shù)論中柯西積分定理的出發(fā)點(diǎn)?？挛?821年出版的《分析教程》和1827年出版的《關(guān)于定積分理論的報(bào)告》中，開始有了極限概念的基本明確的敘述，并以極限概念為基礎(chǔ)，對(duì)“無(wú)窮小量“、無(wú)窮級(jí)數(shù)的“和“等概念給出了比較明確的定義。極限論正是從變化趨向上說(shuō)明了“無(wú)