凸函數(shù)在初等代數(shù)中的應用

1、凸函數(shù)在初等代數(shù)中的應用凸函數(shù)在初等代數(shù)中的應用摘要本文通過對凸函數(shù)定義及性質(zhì)定理的介紹歸納了判定凸函數(shù)的幾種方法并用于討論初等代數(shù)中關于函數(shù)凸性的問題進一步提高了運用這些方法解決相關數(shù)學問題的能力.關鍵詞關鍵詞凸函數(shù)判別不等式應用中圖分類號中圖分類號O174.13174.131引言引言函數(shù)的凹凸性主要用于高等數(shù)學中例如凸函數(shù)在泛函分析、最優(yōu)化理論以及數(shù)學規(guī)劃和控制論等領域有著廣泛的應用而在初等代數(shù)中并沒有相關的概念以及系統(tǒng)的定義、性質(zhì)

2、但它在初等代數(shù)解題中頻頻出現(xiàn).例如有些對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)以及一些不等式的計算或證明往往看起來很復雜甚至無從下手若用常規(guī)方法去解決會相當困難再加上計算量大且繁鎖使許多人產(chǎn)生厭學數(shù)學的情緒但如果利用凸函數(shù)的相關性質(zhì)給予計算或證明則會起到簡捷明了、事半功倍的效果.為了培養(yǎng)與提高學生學習數(shù)學的興趣讓學生初步掌握凸函數(shù)相關性質(zhì)是很必要的.因此本文通過凸函數(shù)的基本知識及相關性質(zhì)的介紹歸納了判定其凸性的幾種方法并用于討論初等代數(shù)中關于函數(shù)凸性的問題.2

3、預備知識預備知識定義定義設為定義在區(qū)間上的函數(shù)若對上的任意兩點[1]1f（x）[]ab[]ab1x和任意實數(shù)總有2x(01)??1212((1))()(1)()fxxfxfx?????????(1)則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).反之如果總有f（x）[]ab.1212((1))()(1)()fxxfxfx?????????(2)則稱為區(qū)間上的凹函數(shù).f（x）[]ab定義定義若在區(qū)間上有定義當且僅當曲線的切線恒保??22()fx[]aby()fx?

4、持在曲線以下則稱為上的凸函數(shù).()fx[]ab性質(zhì)性質(zhì)若在區(qū)間上為凸函數(shù)則當時在上也1()fx[]ab1[]Iab?f（x）1I為凸函數(shù).性質(zhì)性質(zhì)若在區(qū)間都為凸函數(shù)則在區(qū)間2()fx()gx[]ab()()fxgx?[]ab上也為凸函數(shù).性質(zhì)性質(zhì)若在區(qū)間上為凸函數(shù)則當時在區(qū)間上3()fx[]ab0a?()afx[]ab23.13.1定義法定義法一些基本的初等函數(shù)可以直接用定義去判別它的凸性.例如.由2()(0)fxxx??定義1對有12

5、(01)0xx????1212()(1)()((1))fxfxfxx?????????2221212(1)[(1)]xxxx??????????212(1)()0xx??????即1212((1))()(1)()fxxfxfx?????????所以為上的凸函數(shù).2()fxx?(0)??3.23.2定理法定理法例1判別函數(shù)的凸性.()xfxe?解令且則123()xxx?????123xxx??21212121()()xxfxfxeexxx

6、x?????32323232()()xxfxfxeexxxx?????由定理1有32213221()()()()0fxfxfxfxxxxx??????所以為上的凸函數(shù).()xfxe?()????例2判別的凸性.2()ln(1)fxx??解由于22()1xfxx???22222()(1)xfxx?????則由定理2知當2220x???即時有.故在上為凸函數(shù)在11x???()0fx??2()ln(1)fxx??[11]?(1)????上為凹