自考線性代數(shù)(經(jīng)管類)考點(diǎn)]

1、1線性代數(shù)（經(jīng)管類）考點(diǎn)線性代數(shù)（經(jīng)管類）考點(diǎn)第一章第一章行列式行列式（一）行列式的定義（一）行列式的定義行列式是指一個(gè)由若干個(gè)數(shù)排列成同樣的行數(shù)與列數(shù)后所得到的一個(gè)式子，它實(shí)行列式是指一個(gè)由若干個(gè)數(shù)排列成同樣的行數(shù)與列數(shù)后所得到的一個(gè)式子，它實(shí)質(zhì)上表示把這些數(shù)按一定的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算，其結(jié)果為一個(gè)確定的數(shù)質(zhì)上表示把這些數(shù)按一定的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算，其結(jié)果為一個(gè)確定的數(shù).1二階行列式二階行列式由4個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)得到下列式子：得到下列式子：稱為一個(gè)二階行

2、列式，其運(yùn)稱為一個(gè)二階行列式，其運(yùn))21(?jiaij11122122aaaa算規(guī)則為算規(guī)則為2112221122211211aaaaaaaa??2三階行列式三階行列式由9個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)得到下列式子：得到下列式子：)321(?jiaij333231232221131211aaaaaaaaa稱為一個(gè)三階行列式，它如何進(jìn)行運(yùn)算呢？教材上有類似于二階行列式的所謂對(duì)稱為一個(gè)三階行列式，它如何進(jìn)行運(yùn)算呢？教材上有類似于二階行列式的所謂對(duì)角線法，我角線法

3、，我們采用遞歸法，為此先要定義行列式中元素的余子式及代數(shù)余子式的們采用遞歸法，為此先要定義行列式中元素的余子式及代數(shù)余子式的概念概念.3余子式及代數(shù)余子式余子式及代數(shù)余子式設(shè)有三階行列式設(shè)有三階行列式3332312322211312113aaaaaaaaaD?對(duì)任何一個(gè)元素對(duì)任何一個(gè)元素，我們劃去它所在的第，我們劃去它所在的第i行及第行及第j列，剩下的元素按原先次序列，剩下的元素按原先次序ija組成一個(gè)二階行列式，稱它為元素組成一個(gè)二階

4、行列式，稱它為元素的余子式，記成的余子式，記成ijaijM例如例如，，3332232211aaaaM?3332131221aaaaM?2322131231aaaaM?再記再記，稱，稱為元素為元素的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式.ijjiijMA???)1(ijAija例如例如，，1111MA?2121MA??3131MA?那么那么，三階行列式，三階行列式定義為定義為3D3131212111113332312322211312113AaAaAaa

5、aaaaaaaaD????3行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，所得的行列式仍為行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，所得的行列式仍為D.D.定理定理1（行列式展開(kāi)定理）（行列式展開(kāi)定理）n階行列式階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子nijaD?式的乘積的和，即式的乘積的和，即)21(2211niAaAaAaDininiiii???????或)21(2211njAaAaAaDnjnjjjjj??

6、?????前一式稱為前一式稱為D按第按第i行的展開(kāi)式，后一式稱為行的展開(kāi)式，后一式稱為D按第按第j列的展開(kāi)式列的展開(kāi)式.本定理說(shuō)明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開(kāi)來(lái)求出它的值本定理說(shuō)明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開(kāi)來(lái)求出它的值.定理定理2n階行列式階行列式的任意一行（列）各元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的的任意一行（列）各元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的nijaD?代數(shù)余子式的乘積之和等于零代數(shù)余子式的乘積之和等于零.即)

7、(02211kiAaAaAakninkiki??????或)(02211sjAaAaAansnjsjsj??????（三）行列式的計(jì)算（三）行列式的計(jì)算行列式的計(jì)算主要采用以下兩種基本方法：行列式的計(jì)算主要采用以下兩種基本方法：（1）利用行列式性質(zhì)，把原行列式化為上三角（或下三角）行列式再求值，）利用行列式性質(zhì)，把原行列式化為上三角（或下三角）行列式再求值，此時(shí)要注意的是，在互換兩行或兩列時(shí)，必須在新的行列式的前面乘上（－此時(shí)要注意的是

8、，在互換兩行或兩列時(shí)，必須在新的行列式的前面乘上（－1），在按，在按行或按列提取公因子行或按列提取公因子k時(shí)，必須在新的行列式前面乘上時(shí)，必須在新的行列式前面乘上k.k.（2）把原行列式按選定的某一行或某一列展開(kāi)，把行列式的階數(shù)降低，再求）把原行列式按選定的某一行或某一列展開(kāi)，把行列式的階數(shù)降低，再求出它的值，通常是利用性質(zhì)在某一行或某一列中產(chǎn)生很多個(gè)出它的值，通常是利用性質(zhì)在某一行或某一列中產(chǎn)生很多個(gè)“0”“0”元素，再按這一行或元素

9、，再按這一行或這一列展開(kāi)：這一列展開(kāi)：例1計(jì)算行列式計(jì)算行列式52072325121314124??D解：觀察到第二列第四行的元素為解：觀察到第二列第四行的元素為0，而且第二列第一行的元素是，而且第二列第一行的元素是，利用，利用112?a這個(gè)元素可以把這一列其它兩個(gè)非零元素化為這個(gè)元素可以把這一列其它兩個(gè)非零元素化為0，然后按第二列展開(kāi)，然后按第二列展開(kāi).42141214156231212115062150523210503(2)172