第四章 平面問題的極坐標解答(4.6-4.10)

1、46圓環(huán)或圓筒受均布壓力設有圓環(huán)或圓筒，內(nèi)半徑為r，外半徑為R，受內(nèi)壓力q1及外壓力q2，圖44a。顯然，應力分布應當是軸對稱的。因此，取應力分量表達式（411），應當可以求出其中的任意常A，B，C。內(nèi)外的應力邊界條件要求（a）???????????????????????.0021qqRrRr??????????????由表達式（411）可見，前兩個關于的條件是滿足的，而后兩個條件要求???（b）???????????????????

2、??.2ln212ln212212qCRBRAqCrBrA現(xiàn)在，邊界條件都已滿足，但上面2個方程不能決定3個常數(shù)A，B，C。因為這里討論的是多連體，所以我們來考察位移單值條件。由（412）可見，在環(huán)向位移的表達式中，一項是多值的：對于同一個?uEB??4值，例如時，環(huán)向位移相差。在圓環(huán)或圓筒????????2111????時與在，EB18??中，這是不可能的，因為是同一點，不可能有不同的位移。于是?????????21111?，，與由位

3、移單值條件可見必須B=0。對于單連體和多連體，位移單值條件都是必須滿足的。在按應力求解時，首先求出應力分量，自然取為單值函數(shù)；再求形變分量，并由幾何方程通過積分求出位移分量。在多連體中，積分時常常會出現(xiàn)多值函數(shù)，因此，須要校核位移單值條件，以排除其中的多值項。命B=0，即可由式（b）求得A和2C：。??2222212212222rRRqrqCrRqqRrA??????代入式（411），稍加整理，即得圓筒受均布壓力的拉梅解答如下：（413

4、）??????????????????????????.1111111122222122222222212222qRrrqrRRqRrrqrRR????????大彈性體解答中的系數(shù)為，由多連體中的位移單值條件，有CBA???，（a）0?BB′=0。（b）現(xiàn)在，取圓筒的應力表達式為（c）CACA2222???????????取無限大彈性體的應力表達式為（d）CACA???????????2222??????試考慮邊界條件和接觸條件來求解常

5、數(shù)。CACA??首先，在圓筒的內(nèi)面，有邊界條件，由此得??qr??????。（e）qCrA???22其次，在遠離圓筒處，按照圣維南原理，應當幾乎沒有應力，于是有，????00??????????????由此得。（f）02??C再其次，在圓筒和無限大彈性體的接觸面上，應當有。????RR?????????于是由式（c）及式（d）得CRACRA?????2222（g）上述條件仍然不足以確定4個常數(shù)，下面來考慮位移。應用式（412）中的第一式

6、，并注意這里是平面應變問題，而且，可以寫出圓0?B筒和無限大彈性體的徑向位移的表達式，??????????sincos1121112KICAEu??????????????????????????????????????????sincos1121112KICAEu???????????????????????????????????????????將上列二式稍加簡化，得（h）??????????????????????????????