排列、組合典型例題分析

1、排列、組合典型例題分析排列、組合典型例題分析例1設(shè)有3名學(xué)生和4個課外小組（1）每名學(xué)生都只參加一個課外小組；（2）每名學(xué)生都只參加一個課外小組，而且每個小組至多有一名學(xué)生參加各有多少種不同方法？解（1）由于每名學(xué)生都可以參加4個課外小組中的任何一個，而不限制每個課外小組的人數(shù)，因此共有種不同方法（2）由于每名學(xué)生都只參加一個課外小組，而且每個小組至多有一名學(xué)生參加，因此共有種不同方法點評由于要讓3名學(xué)生逐個選擇課外小組，故兩問都用乘法

2、原理進行計算例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少種？解依題意，符合要求的排法可分為第一個排、、中的某一個，共3類，每一類中不同排法可采用畫“樹圖”的方式逐一排出：∴符合題意的不同排法共有9種點評按照分“類”的思路，本題應(yīng)用了加法原理為把握不同排法的規(guī)律，“樹圖”是一種具有直觀形象的有效做法，也是解決計數(shù)問題的一種數(shù)學(xué)模型例３例３判斷下列問題是排列問題還是組合問題？并計算出結(jié)果（1）高三年級學(xué)生會有1

3、1人：①每兩人互通一封信，共通了多少封信？②每兩人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年級數(shù)學(xué)課外小組共10人：①從中選一名正組長和一名副組長，共有多少種不同的選法？②從中選2名參加省數(shù)學(xué)競賽，有多少種不同的選法？（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八個質(zhì)數(shù)：①從中任取兩個數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商？②從中任取兩個求它的積，可以得到多少個不同的積？（4）有8盆花：①從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆，有多少種不同的選

4、法？②從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法？分析（1）①由于每人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關(guān)是排列；②由于每兩人互握一次手，甲與乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序無關(guān)，所以是組合問題其他類似分析（1）①是排列問題，共用了封信；②是組合問題，共需握手（次）（2）①是排列問題，共有（種）不同的選法；②是組合問題，共有種不同的選法（3）①是排列問題，共有種不同的商；②是組合問題，共有種不同的積（4）①

5、是排列問題，共有種不同的選法；②是組合問題，共有種不同的選法例４例４證明證明左式右式∴等式成立點評這是一個排列數(shù)等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì)，可使變形過程得以簡化例5化簡解法一原式解法二原式點評解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式，并利用階乘的性質(zhì)；解法二選用了組合數(shù)的兩個性質(zhì)，都使變形過程得以簡化例6解方程：（1）；（2）解（1）原方程解得（2）原方程可變?yōu)椤撸?，∴原方程可化為即，解得?5位高中畢業(yè)生，準備報考3

6、所高等院校，每人報且只報一所，不同的報名方法共有多少種解：5個學(xué)生中每人都可以在3所高等院校中任選一所報名，因而每個學(xué)生都有3種不同的報名方法，根據(jù)乘法原理，得到不同報名方法總共有33333=35(種)應(yīng)選B.例10從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要有甲型與乙型電視機各1臺，則不同取法共有().A.140種B.84種C.70種D.35種解：取出的3臺電視機中，甲型電視機分為恰有一臺和恰有二臺兩種情形.∵C24C25C1

7、4=56104=70.∴應(yīng)選C.例11某小組共有10名學(xué)生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表，至少有1名女生當選的不同選法有()A.27種B.48種C.21種D.24種解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表兩類：∵C13C17C23=373=24，∴應(yīng)選D.例12由數(shù)學(xué)0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有().A.210個B.300個C.464個D.600個解：先考慮可組成無限制條件的六位數(shù)有多少個應(yīng)

8、有P15P55=600個.由對稱性，個位數(shù)小于十位數(shù)的六位數(shù)和個位數(shù)大于十位數(shù)的六位數(shù)各占一半.∴有600=300個符合題設(shè)的六位數(shù).應(yīng)選B.例13以一個正方體的頂點為頂點的四面體共有().A.70個B.64個C.58個D.52個解：如圖，正方體有8個頂點，任取4個的組合數(shù)為C48=70個.其中共面四點分3類：構(gòu)成側(cè)面的有6組；構(gòu)成垂直底面的對角面的有2組；形如(ADB1C1)的有4組.∴能形成四面體的有70624=58(組)應(yīng)選C.例

9、14如果把兩條異面直線看成“一對”，那么六棱錐的棱所在的12條直線中，異面直線共有().A.12對B.24對C.36對D.48對解：設(shè)正六棱錐為O—ABCDEF.任取一側(cè)棱OA(C16)則OA與BC、CD、DE、EF均形成異面直線對.∴共有C164=24對異面直線.應(yīng)選B.例15正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中三個點為頂點的三角形共個(以數(shù)字作答).解：7點中任取3個則有C37=35組.其中三點共線的有3組(正六邊形有3條直徑).∴

10、三角形個數(shù)為353=32個.例16設(shè)含有10個元素的集合的全部子集數(shù)為S，其中由3個元素組成的子集數(shù)為T，則的值為。解10個元素的集合的全部子集數(shù)有：S＝C010C110C210C310C410C510C610C710C810C910C1010=210=1024其中，含3個元素的子集數(shù)有T=C310=120故=例17例17在50件產(chǎn)品n中有4件是次品，從中任意抽了5件，至少有3件是次品的抽法共種(用數(shù)字作答).解：“至少3件次品”即“有