拋物線焦點(diǎn)弦的弦長公式

1、關(guān)于拋物線焦點(diǎn)弦的弦長公式在高中教材第八章中有關(guān)于已知傾斜角的焦點(diǎn)弦，求焦點(diǎn)弦的弦長的問題，其中只介紹了開口向右時的焦點(diǎn)弦的長度計(jì)算問題：(1)已知：拋物線的方程為，過焦點(diǎn)F的弦AB交拋物線于AB兩點(diǎn)，pxy22?)0(?p且弦AB的傾斜角為，求弦AB的長。?解：由題意可設(shè)直線AB的方程為將其代入拋物線方程整理得：)2(pxky??)2(???，且0)84(422222????kpkxkxpp?tan?k設(shè)AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)為則：，)()(

2、2211yxyxkkxxpp22212???4221pxx?)(sin)(2212224211||?pABxxxxk?????當(dāng)時，斜率不存在，，|AB|=2p.即為通徑2???1sin??而如果拋物線的焦點(diǎn)位置發(fā)生變化，則以上弦長公式成立嗎？這只能代表開口向右時的弦長計(jì)算公式，其他幾種情況不盡相同。現(xiàn)在我們來探討這個問題。(2)已知：拋物線的方程為，過焦點(diǎn)的弦AB交拋物線于AB兩點(diǎn)，)0(22??ppyx直線AB傾斜角為，求弦AB的長

3、。?解：設(shè)AB的坐標(biāo)為，斜率為k，而焦點(diǎn)坐標(biāo)為，)()(2211yxyx)tan(??k)20(p故AB的方程為，將其代入拋物線的方程整理得：kxpy??2從而，0222???pxpkxpxxxxpk221212????弦長為：)(cos)(2212224211||?pABxxxxk?????，即為通徑。pAB2||1cos0?????而與（1）的結(jié)果一樣，與（2）的結(jié)果一樣，但是（1）與pxy22??pyx22??（2）的兩種表達(dá)式不

4、一樣，為了統(tǒng)一這兩種不同的表達(dá)式，只須作很小的改動即可。現(xiàn)將改動陳述于下：（3）已知：拋物線的方程為，過焦點(diǎn)F的弦AB交拋物線于Apxy22?)0(?p，B兩點(diǎn)，且弦AB與拋物線的對稱軸的夾角為，求弦AB的長。?當(dāng)傾斜角則2??????????sin)2cos(cos2??????所以恒成立。)(sin22||?pAB?當(dāng)時，，|AB|=2p.即為通徑。2???1sin??而與（4）的結(jié)果一樣。pyx22??故只要直線AB與拋物線的對稱