圓錐曲線中焦點(diǎn)三角形問題

1、圓錐曲線中焦點(diǎn)三角形問題焦點(diǎn)三角形是圓錐曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)與圓錐曲線上任意一點(diǎn)組成的三角形，以這個(gè)三角形的某些元素作為條件的圓錐曲線問題稱為焦點(diǎn)三角形問題。焦點(diǎn)三角形是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，本文將介紹一些關(guān)于焦點(diǎn)三角形問題的解法。一、周長(zhǎng)問題例1是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上任一點(diǎn)，求12FF、22221xyab??(0)ab??A的周長(zhǎng)。12AFF?分析由于的三邊由構(gòu)成，故考慮運(yùn)用橢圓的定義。12AFF?1122AFFFAF、、解據(jù)橢圓的定義

2、有，，則的周長(zhǎng)為。||||12AFAF=2a12||||2FFc??12AFF?22ac?變式是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上任一點(diǎn)，的延長(zhǎng)12FF、22221xyab??(0)ab??A1AF線交橢圓于點(diǎn)，求的周長(zhǎng)。B2ABF?解12||||2AFAFa???12||||2BFBFa??2221212||||||||||||||224ABFABAFBFAFAFBFBFaaa????????????小結(jié)：解此類題關(guān)鍵是運(yùn)用圓錐曲線的定義。二、

3、面積問題例2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上任一點(diǎn)，12FF、22221xyab??(0)ab??P求的面積。12FPF???12AFF?解設(shè)12||||PFmPFn??由橢圓定義可知，。2mn=a在中，運(yùn)用余弦定理有12PFF?2222122cos4mnmnFFc?????可得，。（1）221cosbmn???122222sin2sintan1cos2PFFbSmnb????????????由此類比雙曲線可得到任意一點(diǎn)，，12=FPF??求

4、（1）的最大值；?（2）面積的最大值；12PFF?（3）的周長(zhǎng)的最大值。12PFF?解（1）法一設(shè)由橢圓定義可知，。12||||PFmPFn??2mn=a在中，運(yùn)用余弦定理有12PFF?2222122cos4mnmnFFc?????22cos1bmn????又，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）22amnmn????2mna??mn?又因當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，(0)???cosy??22arccos(21)ba????且在時(shí)，取得最大值或者mn??22a

5、rccos(21)ba?22arccos(21)ba???又時(shí)，取得最大值。2amn???mna????即位于橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，取得最大值。P?法二設(shè)由焦半徑公式可知：，)(ooyxPoexaPF??1oexaPF??1在中，21PFF?2122121212cosPFPFFFPFPF????21221221242)(PFPFcPFPFPFPF????=1))((24124422122???????ooexaexabPFPFca122222