3c 虛功原理推導單元剛度矩陣

1、3333虛功原理推導梁單元的（單元）剛度矩陣虛功原理推導梁單元的（單元）剛度矩陣設在力在力P的作用下，梁的作用下，梁單元ij的兩端點分的兩端點分別發(fā)別發(fā)生了生了線位移和角位移，位移和角位移，用來表示梁來表示梁單元的端點位移（又稱元的端點位移（又稱結(jié)點位移）：點位移）：e???Teiijjvv????使梁使梁單元發(fā)生結(jié)點位移點位移的單元結(jié)點力（桿端力）點力（桿端力）為：e???TeiijjFFMFM?根據(jù)材料力學，如果已知梁的兩端點位移，

2、根據(jù)材料力學，如果已知梁的兩端點位移，則可求出等截面梁上任意可求出等截面梁上任意一點的位移（一點的位移（撓度）。即梁上任意一點的位移度）。即梁上任意一點的位移v(x)可以用可以用表示出來，表示出來，e?設二者的關(guān)系二者的關(guān)系為：??1234()()()()()iiTejjvvxNxNxNxNxNv???????????????????又設由于某種其他原因，由于某種其他原因，該梁發(fā)生了生了變形，引起梁形，引起梁單元兩端點的位兩端點的位○e

3、移為（用向量形式表示）：（用向量形式表示）：??jeiijvv????梁中任意一點的位移梁中任意一點的位移為：[]eeeFk??3434單元位移函數(shù)的基本概念單元位移函數(shù)的基本概念對于梁和二力桿，已知于梁和二力桿，已知單元兩端點位移（兩端點的力），即可求得元兩端點位移（兩端點的力），即可求得單元內(nèi)任意一點的位移。元內(nèi)任意一點的位移。對于其他于其他類型的型的單元即使知道元即使知道單元結(jié)點位移點位移（或（或單元結(jié)點力）也點力）也難以求得以求

4、得單元內(nèi)任意一點的位移。元內(nèi)任意一點的位移。有限元法的解決方法：假有限元法的解決方法：假設一個一個單元結(jié)點位移與點位移與單元內(nèi)任意一點位移元內(nèi)任意一點位移的關(guān)系的關(guān)系—多項式形式，稱式形式，稱這個關(guān)系個關(guān)系為單為單元位移函數(shù)，又稱元位移函數(shù)，又稱單元位移元位移場、單元位移模式。多元位移模式。多項式的式的獲得采用插得采用插值的方法的方法—對單對單元結(jié)點位移插點位移插值。例：用插例：用插值方法方法獲得梁得梁單元的元的單元位移函數(shù)元位移函數(shù)v

5、(x)已知梁兩端點已知梁兩端點ij的位移分位移分別為別為：iijjvv??解：解：設v(x)為一個多一個多項式，其式，其階數(shù)根據(jù)已知條件的個數(shù)確定。數(shù)根據(jù)已知條件的個數(shù)確定?！摺鄬τ趯τ趘(x)v(x)有4個已知條件：個已知條件：dvdx??①v(0)=v(0)=②③v(l)=v(l)=④iv0ixdvdx???jvjxldvdx???∴可設：可設：231234()vxaaxaxax????其中：其中：為待定系數(shù)，現(xiàn)將其用向量為待定系數(shù)