計(jì)量地理學(xué)-3.5-主成分分析

1、,,,,主成分分析的基本原理,主成分分析的計(jì)算步驟,主成分分析方法應(yīng)用實(shí)例,,主成分分析,,問題的提出,地理系統(tǒng)是多變量要素的復(fù)雜系統(tǒng)。在地理學(xué)研究中，多變量問題是經(jīng)常會遇到的。變量太多，無疑會增加分析問題的難度與復(fù)雜性，而且在許多實(shí)際問題中，多個(gè)變量之間是具有一定的相關(guān)關(guān)系的。,因此，人們會很自然地想到，能否在相關(guān)分析的基礎(chǔ)上，用較少的新變量代替原來較多的舊變量，而且使這些較少的新變量盡可能多地保留原來變量所反映的信息？,事實(shí)上，

2、這種想法是可以實(shí)現(xiàn)的，主成分分析方法就是綜合處理這種問題的一種強(qiáng)有力的工具。 主成分分析是把原來多個(gè)變量劃為少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。從數(shù)學(xué)角度來看，這是一種降維處理技術(shù)。,主成分分析的基本原理,在某多要素地理系統(tǒng)中，假定有n個(gè)樣本，每個(gè)樣本共有p個(gè)變量，構(gòu)成一個(gè)n×p階的地理數(shù)據(jù)矩陣：,地理數(shù)據(jù)樣本數(shù)n，自然是越大越好，也即數(shù)據(jù)矩陣的行數(shù)n越大越好。,地理系統(tǒng)的變量數(shù)p值較大時(shí)，一方面在p維空間中考察問題

3、較為麻煩，另一方面大量變量之間可能有相關(guān)性的重復(fù)。為了克服這一困難，就需要進(jìn)行降維處理。,地理系統(tǒng)的變量數(shù)p值應(yīng)該是少而精。主成分分析是用較少幾個(gè)綜合指標(biāo)代替原來較多的變量指標(biāo)，而且使這些較少的綜合指標(biāo)既能盡量多地反映原來較多變量指標(biāo)所反映的信息，同時(shí)它們之間又是彼此獨(dú)立的。,記x1，x2，…，xP為原變量指標(biāo)，z1，z2，…，zm（m≤p）為新的綜合變量指標(biāo)，則考慮每個(gè)新變量都是由原所有變量的線性加權(quán)總和所構(gòu)成：,,,,lij,如何

4、確定這些系數(shù)lij？,系數(shù)lij的確定原則：,① zi與zj（i≠j; i, j=1,2,…,m）相互無關(guān)；,② z1是x1，x2，…，xP的一切線性組合中方差最大者；z2是與z1不相關(guān)的x1，x2，…，xP的所有線性組合中方差最大者;… … … … … … … … … … … …zm是與z1，z2，……，zm－1都不相關(guān)的x1，x2，…xP的所有線性組合中方差最大者。,保證新變量之間彼此獨(dú)立沒有相關(guān)性,新變量依次分別降序排列地保

5、留原變量所包含的信息,這樣得到的新變量指標(biāo)z1，z2，…，zm分別稱為原變量指標(biāo)x1，x2，…，xP的第1，第2，…，第m主成分。,從數(shù)學(xué)上可以證明，載荷系數(shù)lij分別是原變量相關(guān)系數(shù)矩陣的m個(gè)較大特征根所對應(yīng)的特征向量。,從以上的分析可以看出，主成分分析的實(shí)質(zhì)就是確定原來變量xj（j=1，2 ，…， p）在諸主成分變量zi（i=1，2，…，m）上的荷載 lij（ i=1，2，…，m； j=1，2 ，…，p）。,載荷系數(shù)lij的確定遵循

6、兩個(gè)原則,主成分分析的計(jì)算步驟,,①計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣②計(jì)算特征值與特征向量③計(jì)算主成分貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率④計(jì)算主成分載荷 ⑤各主成分的得分,數(shù)據(jù)基礎(chǔ),求解出待定的系數(shù)lij,確定主成分變量個(gè)數(shù),求解主成分變量載荷系數(shù)lij,確定主成分變量的數(shù)據(jù)內(nèi)容及貢獻(xiàn)程度,①計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣,rij (i, j=1,2,…,p)為原變量xi與xj的單相關(guān)系數(shù)， rij=rji，其計(jì)算公式為：,②計(jì)算特征值與特征向量,求解特征方程

7、 　　　　，常用雅可比法（Jacobi）求出特征值，并使其按大小順序排列 ；,相關(guān)系數(shù)矩陣,特征根個(gè)數(shù)與相關(guān)系數(shù)矩陣的階數(shù)一致，即原變量有p個(gè)，特征根也有p個(gè)。,然后再分別求出對應(yīng)于特征值　 的特征向量 　 ，要求 　　=1，即 　　　　　，其中 　表示向量 的第j個(gè)分量。,p個(gè)特征根對應(yīng)于p個(gè)主成分

8、變量，與原變量個(gè)數(shù)相同，沒有達(dá)到數(shù)據(jù)降維要求？,③計(jì)算主成分貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率,主成分貢獻(xiàn)率：,主成分累計(jì)貢獻(xiàn)率：,一般取累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)85%~95%的特征值 所對應(yīng)的第1、第2、…、第m（m≤p）個(gè)主成分。,一方面新的主成分變量保留了超過85%的原變量信息內(nèi)容；另一方面主成分個(gè)數(shù)m少于原變量個(gè)數(shù)p，達(dá)到了數(shù)據(jù)降維效果。,④計(jì)算主成分載荷系數(shù),第i個(gè)主成分的載荷系數(shù)lij的求解：,第i個(gè)特征根,第

9、i個(gè)特征根 所對應(yīng)的特征向量 的第j個(gè)分量,⑤計(jì)算各主成分的得分,,,,Z1,Z2,Zm,主成分分析方法應(yīng)用實(shí)例,對下表的某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析：,解：（1）將原數(shù)據(jù)表中的變量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化處理，然后將它們代入公式單相關(guān)系數(shù)公式中來計(jì)算，得出9個(gè)變量的9×9相關(guān)系數(shù)矩陣：,（2）由相關(guān)系數(shù)矩陣R構(gòu)成的特征方程，計(jì)算其對應(yīng)的特征值，按照特征根的數(shù)值大小進(jìn)行降序排序，在此基礎(chǔ)上計(jì)算各

10、個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率與累計(jì)貢獻(xiàn)率：,,,第3主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率已高達(dá)86.596%（大于85%），即第1、2、3主成分已可代表原變量的86.596%的信息內(nèi)容。因此，只需要求出第1、第2、第3主成分z1，z2，z3即可。,（3）對于選擇的3個(gè)主成分的3個(gè)特征值λ1=4.6610，λ2=2.0890，λ3=1.0430，分別求出其特征向量e1，e2，e3，再用公式計(jì)算各變量x1，x2，…，x9在主成分z1，z2，z3上的載荷lij ：

11、,,,第1主成分z1與x1，x5，x6，x7，x9呈現(xiàn)出較強(qiáng)的正相關(guān)，與x3呈現(xiàn)出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，而這幾個(gè)變量則綜合反映了生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)狀況，因此可以認(rèn)為第1主成分z1是生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的代表。,,第2主成分z2與x2，x4，x5呈現(xiàn)出較強(qiáng)的正相關(guān)，與x1呈現(xiàn)出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，其中，除了x1為人口總數(shù)外，x2，x4，x5都反映了人均占有資源量的情況，因此可以認(rèn)為第2主成分z2代表了人均資源量。,,第3主成分z3與x8呈現(xiàn)出的正相關(guān)程度最高，其次是