地圖投影

1、地圖投影,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),§1 地球體   §2 地球坐標(biāo)系與大地定位   §3 地圖投影  §4 地圖投影的應(yīng)用,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),§1 地球體,1.1 地球的自然表面 —— 為了了解地球的形狀，讓我們由遠(yuǎn)及近地觀察一下地

2、球的自然表面。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),浩瀚宇宙之中 : 地球是一個(gè)表面光滑、藍(lán)色美麗的正球體。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),機(jī)艙窗口俯視大地 : 地表是一個(gè)有些微起伏、極其復(fù)雜的表面。,—— 珠穆朗瑪峰與太平洋的馬里亞納海溝之間高差近20km。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),事實(shí)是：,地球不是一個(gè)正球體，而是一個(gè)極半徑略短、赤道半徑略長，北極略突出、南極略扁平，近于梨形的橢

3、球體。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),1.2 地球的物理表面當(dāng)海洋靜止時(shí)，自由水面與該面上各點(diǎn)的重力方向（鉛垂線）成正交，這個(gè)面叫水準(zhǔn)面。 在眾多的水準(zhǔn)面中，有一個(gè)與靜止的平均海水面相重合，并假想其穿過大陸、島嶼形成一個(gè)閉合曲面，這就是大地水準(zhǔn)面。它實(shí)際是一個(gè)起伏不平的重力等位面——地球物理表面。它所包圍的形體稱為大地體。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),大地水準(zhǔn)面的意義1. 地球形體

4、的一級(jí)逼近：對(duì)地球形狀的很好近似，其面上高出與面下缺少的相當(dāng)。2. 起伏波動(dòng)在制圖學(xué)中可忽略： 對(duì)大地測量和地球物理學(xué)有研究價(jià)值，但在制圖業(yè)務(wù)中，均把地球當(dāng)作正球體。3. 重力等位面： 可使用儀器測得海拔高程（某點(diǎn)到大地水準(zhǔn)面的高度）。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),1.2 地球的數(shù)學(xué)表面 在測量和制圖中就用旋轉(zhuǎn)橢球體來代替大地球體，這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體通常稱為 地球橢球體，簡稱 橢球

5、體。,它是一個(gè)規(guī)則的數(shù)學(xué)表面，所以人們視其為 地球體的數(shù)學(xué)表面，也是對(duì)地球形體的二級(jí)逼近，用于測量計(jì)算的基準(zhǔn)面。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),橢球體 三要素: 長軸 a（赤道半徑）、短軸 b（極半徑）和橢球的扁率 f,WGS [world geodetic system] 84 ellipsoid:a = 6 378 137mb = 6 356 752.3mequatorial diameter = 12

6、 756.3kmpolar diameter = 12 713.5kmequatorial circumference = 40 075.1kmsurface area = 510 064 500km2,,a - b 6378137 - 6356752.3f = —— = ———————— a 6378137,1— = 298.257

7、 f,對(duì) a，b，f 的具體測定就是近代大地測量的一項(xiàng)重要工作。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),對(duì)地球形狀 a，b，f 測定后，還必須確定大地水準(zhǔn)面與橢球體面的相對(duì)關(guān)系。即確定與局部地區(qū)大地水準(zhǔn)面符合最好的一個(gè)地球橢球體 —— 參考橢球體，這項(xiàng)工作就是參考橢球體定位。 通過數(shù)學(xué)方法將地球 橢球體擺到與大地水準(zhǔn)面 最貼近的位置上，并求出 兩者各點(diǎn)間的偏差，從數(shù) 學(xué)上給出對(duì)地球形狀的三

8、 級(jí)逼近。,,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),由于國際上在推求年代、方法及測定的地區(qū)不同，故地球橢球體的元素值有很多種。,,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),中國1952年前采用海福特（Hayford）橢球體 ； 1953—1980年采用克拉索夫斯基橢球體（坐標(biāo)原點(diǎn)是前蘇聯(lián)玻爾可夫天文臺(tái)） ； 自1980年開始采用 GRS 1975（國際大地測量與地球物理學(xué)聯(lián)合會(huì) IUG

9、G 1975 推薦）新參考橢球體系，并確定陜西涇陽縣永樂鎮(zhèn)北洪流村為“1980西安坐標(biāo)系”大地坐標(biāo)的起算點(diǎn)。,陜西省涇陽縣永樂鎮(zhèn)北洪流村為 “1980西安坐標(biāo)系” 大地坐標(biāo)的起算點(diǎn)——大地原點(diǎn)。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),地球表面上的定位問題，是與人類的生產(chǎn)活動(dòng)、科學(xué)研究及軍事國防等密切相關(guān)的重大問題。具體而言，就是球面坐標(biāo)系統(tǒng)的建立。,§2 地球坐標(biāo)系與大地定位,2.1 地理坐標(biāo)

10、 —— 用經(jīng)緯度表示地面點(diǎn)位的球面坐標(biāo)。,① 天文經(jīng)緯度② 大地經(jīng)緯度③ 地心經(jīng)緯度,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),① 天文經(jīng)緯度：表示地面點(diǎn)在大地水準(zhǔn)面上的位置，用天文經(jīng)度和天文緯度表示。,2.1 地理坐標(biāo),天文經(jīng)度：觀測點(diǎn)天頂子午面與格林尼治天頂子午面間的兩面角。 在地球上定義為本初子午面與觀測點(diǎn)之間的兩面角。,天文緯度： 在地球上定義為鉛垂線與赤道平面間的夾角。,新編地圖學(xué)教程

11、 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),② 大地經(jīng)緯度：表示地面點(diǎn)在參考橢球面上的位置，用大地經(jīng)度l 、大地緯度 ? 和大地高 h 表示。,2.1 地理坐標(biāo),大地經(jīng)度l ：指參考橢球面上某點(diǎn)的大地子午面與本初子午面間的兩面角。東經(jīng)為正，西經(jīng)為負(fù)。,大地緯度? ：指參考橢球面上某點(diǎn)的垂直線（法線）與赤道平面的夾角。北緯為正，南緯為負(fù)。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),③ 地心經(jīng)緯度：即以地球橢球體質(zhì)量中心為基點(diǎn)，地心經(jīng)度同大地經(jīng)度l

12、 ，地心緯度是指參考橢球面上某點(diǎn)和橢球中心連線與赤道面之間的夾角y 。,2.1 地理坐標(biāo),在大地測量學(xué)中，常以天文經(jīng)緯度定義地理坐標(biāo)。 在地圖學(xué)中，以大地經(jīng)緯度定義地理坐標(biāo)。 在地理學(xué)研究及地圖學(xué)的小比例尺制圖中，通常將橢球體當(dāng)成正球體看，采用地心經(jīng)緯度。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.2 中國的大地坐標(biāo)系統(tǒng),1.中國的大地坐標(biāo)系 1980年以前：參見電子教案本章第十三頁；

13、 1980年選用1975年國際大地測量協(xié)會(huì)推薦的參考 橢球：,ICA-75橢球參數(shù)a = 6 378 140mb = 6 356 755mf = 1/298.257,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.中國的大地控制網(wǎng),平面控制網(wǎng) : 按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測定地理坐標(biāo)的地面點(diǎn)組成，由三角測量或?qū)Ь€測量完成，依精度不同，分為四等。,,,,,2.2 中國的大地坐標(biāo)系統(tǒng),由平面控制網(wǎng)和高程控制網(wǎng)組成，控

14、制點(diǎn)遍布全國各地。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),高程控制網(wǎng) : 按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測定高程的地面點(diǎn)組成，以水準(zhǔn)測量或三角高程測量完成。依精度不同，分為四等。,中國高程起算面是 黃海平均海水面。1956年在青島觀象山設(shè)立了水準(zhǔn)原點(diǎn)，其他各控制點(diǎn)的絕對(duì)高程均是據(jù)此推算，稱為1956年黃海高程系。1987年國家測繪局公布：啟用《1985國家高程基準(zhǔn)》取代《黃海平均海水面》其比《黃海平均海水面》上升 29毫米。

15、,青島觀象山水準(zhǔn)原點(diǎn),2.2 中國的大地坐標(biāo)系統(tǒng),新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),,絕對(duì)高程相對(duì)高程,,,國家水準(zhǔn)原點(diǎn),,國家測繪局,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),,平面控制網(wǎng),國家測繪局,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),,高程控制網(wǎng),國家測繪局,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),,水準(zhǔn)面示意圖,國家測繪局,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),,GPS控制網(wǎng)

16、,國家測繪局,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.3 全球定位系統(tǒng) - GPS 授時(shí)與測距導(dǎo)航系統(tǒng)/全球定位系統(tǒng) (Navigation Satellite Timing and Ranging/Global Positioning System--GPS)：是以人造衛(wèi)星為基礎(chǔ)的無線電導(dǎo)航系統(tǒng)，可提供高精度、全天候、實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)定位、定時(shí)及導(dǎo)航服務(wù)。,,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),1.

17、GPS系統(tǒng)由三個(gè)獨(dú)立的部分組成,空間部分：21顆工作衛(wèi)星，3顆備用衛(wèi)星（白色）。它們?cè)诟叨?0 200km的近圓形軌道上運(yùn)行，分布在六個(gè)軌道面上，軌道傾角55°，兩個(gè)軌道面之間在經(jīng)度上相隔60°，每個(gè)軌道面上布放四顆衛(wèi)星。衛(wèi)星在空間的這種配置，保障了在地球上任意地點(diǎn)，任意時(shí)刻，至少同時(shí)可見到四顆衛(wèi)星。,,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),地面支撐系統(tǒng)：1個(gè)主控站，3個(gè)注入站，5個(gè)監(jiān)測站。它向GPS導(dǎo)航衛(wèi)

18、星提供一系列描述衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)及其軌道的參數(shù)；監(jiān)控衛(wèi)星沿著預(yù)定軌道運(yùn)行；保持各顆衛(wèi)星處于GPS時(shí)間系統(tǒng)及監(jiān)控衛(wèi)星上各種設(shè)備是否正常工作等。,,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),用戶設(shè)備部分：GPS接收機(jī)——接收衛(wèi)星信號(hào)，經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到接收機(jī)所在點(diǎn)位的導(dǎo)航和定位信息。通常會(huì)顯示出用戶的位置、速度和時(shí)間。還可顯示一些附加數(shù)據(jù)，如到航路點(diǎn)的距離和航向或提供圖示。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2. GPS系統(tǒng)定位原理

19、,數(shù)據(jù)，組成3個(gè)方程式，就可以解出觀測點(diǎn)的位置（X,Y,Z）?？紤]到衛(wèi)星的時(shí)鐘與接收機(jī)時(shí)鐘之間的誤差，實(shí)際上有4個(gè)未知數(shù)，X、Y、Z和鐘差，因而需要引入第4顆衛(wèi)星，形成4個(gè)方程式以求解，從而得到觀測點(diǎn)經(jīng)緯度和高程。,,通過測量衛(wèi)星信號(hào)到達(dá)接收機(jī)的時(shí)間延遲，即可算出用戶到衛(wèi)星的距離。再根據(jù)三維坐標(biāo)中的距離公式，利用3顆衛(wèi)星的,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),3.常用GPS測量模式,常規(guī)靜態(tài)測量：采用兩臺(tái)(或兩臺(tái)以上)GPS

20、接收機(jī)，分別安置在一條或數(shù)條基線的兩端，同步觀測4顆以上衛(wèi)星，每時(shí)段根據(jù)基線長度和測量等級(jí)觀測45分鐘以上的時(shí)間。常用于建立全球性或國家級(jí)大地控制網(wǎng)、地殼運(yùn)動(dòng)監(jiān)測網(wǎng) ?！　】焖凫o態(tài)測量：這種模式是在一個(gè)已知測站上安置一臺(tái)GPS接收機(jī)作為基準(zhǔn)站，連續(xù)跟蹤所有可見衛(wèi)星。移動(dòng)站接收機(jī)依次到各待測測站，每測站觀測數(shù)分鐘。這種模式常用于控制網(wǎng)的建立及其加密、工程測量、地籍測量等。 這種方法要求在觀測時(shí)段內(nèi)確保有5顆以上衛(wèi)星可供觀測；流動(dòng)點(diǎn)與基

21、準(zhǔn)點(diǎn)相距應(yīng)不超過20km。,,靜態(tài)測量模式,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),準(zhǔn)動(dòng)態(tài)測量 在一已知測站上安置一臺(tái)GPS接收機(jī)作為基準(zhǔn)站，連續(xù)跟蹤所有可見衛(wèi)星。移動(dòng)站接收機(jī)在進(jìn)行初始化后依次到各待測測站，每測站觀測幾個(gè)歷元數(shù)據(jù)。這種方法不同于快速靜態(tài)，除觀測時(shí)間不一樣外，它要求移動(dòng)站在搬站過程中不能失鎖，并且需要先在已知點(diǎn)或用其它方式進(jìn)行初始化（采用有OTF功能的軟件處理時(shí)例外）?！　∵@種模式可用于

22、開闊地區(qū)的加密控制測量、工程定位及碎部測量、剖面測量及線路測量等。 要求在觀測時(shí)段內(nèi)確保有5顆以上衛(wèi)星可供觀測；流動(dòng)點(diǎn)與基準(zhǔn)點(diǎn)相距應(yīng)不超過20km。,動(dòng)態(tài)測量模式,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)測量：DGPS和RTK 在一個(gè)已知測站上架設(shè)GPS基準(zhǔn)站接收機(jī)和數(shù)據(jù)鏈，連續(xù)跟蹤所有可見衛(wèi)星，并通過數(shù)據(jù)鏈向移動(dòng)站發(fā)送數(shù)據(jù)。移動(dòng)站接收機(jī)通過移動(dòng)站數(shù)據(jù)鏈接收基準(zhǔn)站發(fā)射來的數(shù)據(jù)，并在機(jī)進(jìn)行處理，從而實(shí)時(shí)得

23、到移動(dòng)站的高精度位置。 DGPS通常叫做實(shí)時(shí)差分測量，精度為亞米級(jí)到米級(jí)，這種 方式是基準(zhǔn)站將基準(zhǔn)站上測量得到的RTCM數(shù)據(jù)通過數(shù)據(jù)鏈傳輸?shù)揭苿?dòng)站，移動(dòng)站接收到RTCM數(shù)據(jù)后，自動(dòng)進(jìn)行解算，得到經(jīng)差分改正以后的坐標(biāo)。 RTK 則是以載波相位觀測量為根據(jù)的實(shí)時(shí)差分GPS測量，它是GPS測量技術(shù)發(fā)展中的一個(gè)新突破。它的工作思路與DGPS相似，只不過是基準(zhǔn)站將觀測數(shù)據(jù)發(fā)送到移動(dòng)站（而不是發(fā)射RTCM數(shù)據(jù)），移動(dòng)

24、站接收機(jī)再采用更先進(jìn)的在機(jī)處理方法進(jìn)行處理，從而得到精度比DGPS高得多的實(shí)時(shí)測量結(jié)果。這種方法的精度一般為2cm左右。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),§3 地 圖 投 影,3.1 地圖投影的意義 地球橢球體表面是不可展曲面，要將曲面上的客觀事物表示在有限的平面圖紙上，必須經(jīng)過由曲面到平面的轉(zhuǎn)換。 地圖投影： 在地球橢球面和平面之間建立點(diǎn)

25、與點(diǎn)之間函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，稱為地圖投影。 地圖投影的實(shí)質(zhì)： 是將地球橢球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)按照一定的數(shù)學(xué)法則轉(zhuǎn)移到平面上。,x = f1(j , l ) y = f2(j , l ),新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),,,新編地圖學(xué)教程

26、 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),3.2 地圖的比例尺 1. 地圖比例尺的含義,地圖比例尺：地圖上一直線段長度與地面相應(yīng)直線水平投影長度之比。 可表達(dá)為（d為圖上距離，D為實(shí)地距離）  根據(jù)地圖投影變形情況，地圖比例尺分為：主比例尺 ： 在投影面上沒有變形的點(diǎn)或線上的比例尺。局部比例尺： 在投影面上有變形處的比例尺。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2. 地圖比例尺的表示①

27、 數(shù)字式比例尺 如 1:10 000② 文字式比例尺 如 百萬分之一③ 圖解式比例尺 直線比例尺 斜分比例尺 復(fù)式比例尺④ 特殊比例尺 變比例尺 無級(jí)別比例尺,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),3.3 地圖投影變形,1. 投影變形的概念 把地圖上和地球儀上的經(jīng)緯線網(wǎng)進(jìn)行比較，可以發(fā),現(xiàn)變形表現(xiàn)在長度、面積和角度三個(gè)方面。,新編地圖學(xué)教程

28、 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.變形橢圓 取地面上一個(gè)微分圓（小到可忽略地球曲面的影響，把它當(dāng)作平面看待），它投影到平面上通常會(huì)變?yōu)闄E圓，通過對(duì)這個(gè)橢圓的研究，分析地圖投影的變形狀況。這種圖解方法就叫變形橢圓。,為經(jīng)線長度比；,為緯線長度比,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),微小圓→變形橢圓,該方程證明: 地球面上的微小圓，投影后通常會(huì)變?yōu)闄E圓，即： 以O(shè)'為原點(diǎn)，以相交成q角的兩共軛直徑

29、為坐標(biāo)軸的橢圓方程式。,代入： X2 + Y2 = 1，得,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),特別方向： 變形橢圓上相互垂直的兩個(gè)方向及經(jīng)向和緯向,長軸方向（極大值）a短軸方向（極小值）b經(jīng)線方向 m ；緯線方向 n,統(tǒng)稱 主方向,據(jù)阿波隆尼定理，有m2 + n2 = a2 + b2m·n·sinq = a·b,,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),3.投影變形的性質(zhì)和大

30、小 長度比和長度變形： 投影面上一微小線段（變形橢圓半徑）和球面上相應(yīng)微小線段（球面上微小圓半徑，已按規(guī)定的比例縮?。┲?。 m表示長度比，Vm表示長度變形

31、 長度比是變量，隨位置和方向的變化而變化。,= 0 不變> 0 變大< 0 變小,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),面積比和面積變形： 投影平面上微小面積（變形橢圓面積）dF′與球面上相應(yīng)的微小面積（微小圓面積）dF之比。 P 表示

32、面積比　　Vp 表示面積變形 P = a·b = m · n (q = 90) P = m · n · sinq (q ≠ 90) 面積比是變量，隨位置的不同而變化。,= 0 不變> 0 變大< 0 變小,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

33、,角度變形： 投影面上任意兩方向線所夾之角與球面上相應(yīng)的兩方向線夾角之差，稱為角度變形。以ω表示角度最大變形。 設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x、y），A ′點(diǎn)的坐標(biāo)為(x ′ 、y ′ )，則,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),將上式兩邊各減和加 tana 即：,將兩式相除，得：,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),,,顯然當(dāng)（a +a ′ ）= 90°時(shí)，右端取最大值，則最大方向變形：,以

34、w表示角度最大變形：,若已知 m, n, q ，則：,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),3.4 地圖投影方法,1. 幾何投影法,地圖投影最初建立在透視的幾何原理上，它是把橢球面直接透視到平面上，或透視到可展開的曲面上，如平面、圓柱面和圓錐面。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2. 數(shù)學(xué)解析法,—— 以正軸圓錐投影為例經(jīng)線 投影為放射直線，經(jīng)差l 與投影面上d成正比：d = c·l （c

35、為圓錐系數(shù)，0 < c < 1）。 緯線 投影為同心圓弧，其半徑 r 是緯度 ? 的函數(shù)， r = f（?）。圓錐投影的一般公式為：,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),等角投影條件：ω=0，m=n，構(gòu)成,經(jīng)移項(xiàng)、積分、整理得：,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),3.5 地圖投影分類,1. 按地圖投影的構(gòu)成方法分類 （1）幾何投影: 將橢球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面

36、。 方位投影: 以平面作投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。 圓柱投影: 以圓柱面作投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。 圓錐投影: 以圓錐面作投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)

37、基礎(chǔ),新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),（2）非幾何投影： 根據(jù)某些條件，用數(shù)學(xué)解析法確定球面與平面之間點(diǎn)與點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系。偽方位投影：在方位投影的基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對(duì)稱中央經(jīng)線的曲線。偽圓柱投影：在圓柱投影基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，無等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對(duì)稱中央經(jīng)線的曲線。偽圓錐投影：在圓錐投影基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)

38、線形狀而成，無等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對(duì)稱中央經(jīng)線的曲線。多圓錐投影：設(shè)想有更多的圓錐面與球面相切，投影后沿一母線剪開展平。緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經(jīng)線的延長線上。中央經(jīng)線為直線，其余經(jīng)線投影為對(duì)稱于中央經(jīng)線的曲線。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2. 按地圖投影的變形性質(zhì)分類 等角投影: 投影面上某點(diǎn)的任意兩方向線夾角與橢球

39、面上相應(yīng)兩線段夾角相等，即角度變形為零 ω=0（或 a=b，m=n）。 等積投影: 投影面與橢球面上相應(yīng)區(qū)域的面積相等，即面積變形為零 Vp=0（或 P=1，a=1/b）。 任意投影: 投影圖上，長度、面積和角度都有變形，它既不等角又不等積。其中，等距投影是在特定方向上沒有長度變形的任意投影（m=1）。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),3.6 地圖投

40、影變換,1. 傳統(tǒng)地圖的投影變換 格網(wǎng)轉(zhuǎn)繪法 藍(lán)圖嵌貼法,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2. 數(shù)字地圖的投影變換 投影變換的一般公式,X = f1(x,y) Y = f2(x,y),x = f1(?, l ) X = Φ1(?, l )y = f2(?, l ) Y = Φ2(?, l ),? = ?(x,y) l =l(

41、x,y),X = ?1[?(x,y), l(x,y) ] Y = ?2[?(x,y), l(x,y) ],定域內(nèi)單值、連續(xù),,,A投影 B投影,,反解,代入 B,,,,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),如不知地圖的投影系統(tǒng)，可通過多項(xiàng)式實(shí)施變換：,X = a00 + a10x + a20x2 + a01y + a11xy + a02y2 +

42、 a30x3 + a21x2y + a12xy2 + a03y3 + … Y = b00 + b10x + b20x2 + b01y + b11xy + b02y2 + b30x3 + b21x2y + b12xy2 + b03y3 + …,系數(shù) aij， bij 可用多個(gè)已知坐標(biāo)點(diǎn)求出。,,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),根據(jù)投影方程進(jìn)行變換的實(shí)例 等角圓柱投影 →

43、 等角圓錐投影,,r = K / U2 X = r s - r cosδd = a l Y = r sin d,,,K 為積分常數(shù)， a為圓錐系數(shù),新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),根據(jù)投影方程進(jìn)行變換的實(shí)例 等距圓柱投影 → 等距圓錐投影,x = s , y = rkl,yl= — rk,yX = r s - (C

44、- s )cos(a ·— ) rk yY = (C - s ) sin(a ·— ) rk,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),§4 地圖投影的應(yīng)用,4.1 地圖投影的選擇依據(jù) 1.制圖區(qū)域的范圍、形狀和地理位置 2.制圖比例尺 3.地圖的內(nèi)容

45、 4.出版方式,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),1.制圖區(qū)域的范圍、形狀和地理位置,4.1 地圖投影的選擇依據(jù),制圖區(qū)域的地理位置決定 投影種類,制圖區(qū)域的形狀直接制約 投影選擇,制圖區(qū)域的范圍大小影響 投影選擇,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.制圖比例尺,不同比例尺地圖對(duì)精度要求不同，投影亦不同。,大比例尺地形圖，對(duì)精度要求高，宜采用變形小的投影，如分帶投影。 中、小比例尺地圖范

46、圍大，概括程度高，定位精度低，可有等角、等積、任意投影的多種選擇。,4.1 地圖投影的選擇依據(jù),新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),3. 地圖的內(nèi)容,主題和內(nèi)容不同，對(duì)投影的要求也不同。,要求方向正確，應(yīng)選擇等角投影,要求面積對(duì)比正確，應(yīng)選擇等積投影,教學(xué)或一般參考圖，要求各方面變形都不大，則應(yīng)選擇任意投影,4.1 地圖投影的選擇依據(jù),新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),4.出版方式,單幅圖系列圖地圖

47、集,4.1 地圖投影的選擇依據(jù),新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),,4.2 地形圖投影 1. 高斯-克呂格投影（等角橫切橢圓柱投影） 以橢圓柱為投影面，使地球橢球體的某一經(jīng)線與橢圓柱相切，然后按等角條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。   由德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家高斯（C.F. Gauss，1777—1855）及大地測量學(xué),家克呂

48、格（J. Krüger，1857—1923）共同創(chuàng)建。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),此投影無角度變形，中央經(jīng)線無長度變形。為保證精度，采用分帶投影方法： 經(jīng)差 6°或 3°分帶，長度變形 < 0.14%,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),中國國家基本比例尺地形圖采用高斯-克呂格6°分帶投影：1∶1萬

49、（3°分帶）1∶2.5萬、1∶5萬、1∶10萬、1∶25萬、1∶50萬。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),高斯-克呂格直角坐標(biāo),yA = 245 863.7 myB = - 168 474.8 m,yA通 = 20 745 863.7 myB通 = 20 331 525.2 m,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2. 通用橫軸墨卡托投影 —— UTM 投影 以橫軸橢圓柱面割于

50、地球橢球體的兩條等高圈，按等角條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。又稱 Universal Transverse Mercator—— UTM 投影。,此投影無角度變形，中央經(jīng)線長度比為0.9996，距中央經(jīng)線約±180km處的兩條割線上無變形。亦采用分帶投影方法：經(jīng)差6°或3°分帶。長度變形 < 0.04%,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),3.

51、 百萬分一地形圖投影,新編國際百萬分一地圖采用 雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等角圓錐投影，自赤道起按緯差4°分帶，北緯84°以北和南緯80°以南采用等角方位投影。,,中國《1∶100萬地形圖編繪規(guī)范》規(guī)定采用邊緯線與中緯線長度變形絕對(duì)值相等的雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等角割圓錐投影,按緯差4°分帶長度變形最大值: ± 0.03% 面積變形最大值: ± 0.06%,,,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的

52、數(shù)學(xué)基礎(chǔ),4.3 區(qū)域圖投影,1. 方位投影 正軸方位投影 正軸等角方位投影 正軸等距方位投影 橫軸和斜軸方位投影,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),4.3 區(qū)域圖投影,2. 圓錐投影 以圓錐面作投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),① 正軸圓錐投影

53、 經(jīng)線: 投影為放射直線，經(jīng)差 l 與投影面上 d 成正比：d = Cl （C為常數(shù)）。 緯線: 投影為同心圓弧，其半徑 r 是緯度 ? 的函數(shù)，r = f（?） 圓錐投影的各種變形均是緯度?的函數(shù)，與經(jīng)度 l 無關(guān)。,適于制作中緯度沿東西方向延伸地區(qū)的地圖,4.3 區(qū)域圖投影,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),等角割圓錐投影條件：w = 0 ; m = n ;

54、 n1 = n2 = 1相割緯線： ?1 = 25° ； ?2 = 45°,4.3 區(qū)域圖投影,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),等積割圓錐投影條件：P = mn = 1 ; n1 = n2 = 1多用于要求面積對(duì)比正確的圖種，如分布圖、類型圖、區(qū)劃圖如 1:800萬，1:600萬，1:400萬《中華人民共和國地圖》采用了(?1 = 25° ； ?2 =

55、 47°)的該投影。等距割圓錐投影條件：m = 1 ; n1 = n2 = 1原蘇聯(lián)出版的蘇聯(lián)全圖，采用(?1 = 47 ° ； ?2 = 62 °)的該投影。,4.3 區(qū)域圖投影,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),3. 偽圓錐投影由法國彭納（R. Bonne）在圓錐投影的基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀設(shè)計(jì)而成，故又稱彭納投影。,緯線長度比 n = 1，同心圓弧

56、中央經(jīng)線 m0 = 1其他經(jīng)線為對(duì)稱m0的曲線常用于編制中緯度地區(qū)小比例區(qū)域圖,4.3 區(qū)域圖投影,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),4.4 世界地圖投影,主要類型：多圓錐投影、圓柱投影和偽圓柱投影 具體方案： 等差分緯線多圓錐投影 正切差分緯線多圓錐投影 墨卡托（Mercator）投影 摩爾威特（Mollweide）投影 古德（Goode）投影,新編地圖學(xué)教程

57、 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),4.4 世界地圖投影,1. 多圓錐投影 設(shè)想更多的圓錐面與球面相切，投影后沿一母線剪開展平。緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經(jīng)線的延長線上。中央經(jīng)線為直線，其余經(jīng)線投影為對(duì)稱中央經(jīng)線的曲線。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),普通多圓錐投影（1820年美國 Hasslar 所創(chuàng)）,m0 = 1n = 1m > 1任意投影適于南北方向延伸地區(qū)地圖,新編地圖

58、學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),普通多圓錐分帶投影圖,將整個(gè)地球按一定經(jīng)差分為若干帶，每帶中央經(jīng)線投影為直線，各帶在赤道相接。用于制作地球儀。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),等差分緯線多圓錐投影,中國地圖出版社1963年設(shè)計(jì)，其經(jīng)線間隔隨距中央經(jīng)線距離的增大而呈等差遞減，屬任意投影。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),正切差分緯線多圓錐投影,中國地圖出版社1976年設(shè)計(jì)，其經(jīng)線間隔按與中央經(jīng)線經(jīng)差

59、的正切函數(shù)遞減。屬任意投影。,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),世界圖,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2. 圓柱投影 設(shè)想以圓柱面為投影面，使圓柱面與地球表面相切或相割，將地球表面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，再把圓柱面沿一條母線剪開展為平面而成。,4.4 世界地圖投影,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2. 圓柱投影 ① 正軸等角圓柱投影 由荷蘭地圖學(xué)家墨卡托（M

60、ercator Gerardus，1512—1594）于1569年所創(chuàng)設(shè)，故又名墨卡托投影。,特點(diǎn): 不僅保持了方向和相對(duì)位置的正確，而且使等角航線在圖上表現(xiàn)為直線。這一特性對(duì)航海具有重要的實(shí)用價(jià)值。,4.4 世界地圖投影,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),墨卡托投影,等角航線：是地球表面上與經(jīng)線相交成相同角度的曲線。在地球表面上除經(jīng)線和緯線以外的等角航線，都是以極點(diǎn)為漸近點(diǎn)的螺旋曲線。 等角航線在圖

61、上表現(xiàn)為直線。這一特性對(duì)航海具有很重要的意義。,大圓航線：地球面上兩點(diǎn)間最短距離是通過兩點(diǎn)間的大圓弧，也稱為大圓航線。,4.4 世界地圖投影,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),墨卡托投影,等角航線 在圖上表現(xiàn)為直線。這一特性對(duì)航海具有很重要的意義。地球面上兩點(diǎn)間最短距離是通過兩點(diǎn)間的大圓弧，也 稱為大圓航線,4.4 世界地圖投影,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖

62、的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),3. 偽圓柱投影 是在圓柱投影的基礎(chǔ)上，規(guī)定緯線仍然為平行直線，而經(jīng)線則根據(jù)某些特定條件改變經(jīng)線形狀而設(shè)計(jì)成對(duì)稱于中央經(jīng)線的各類曲線的非幾何投影，在具體應(yīng)用中以等積性質(zhì)居多，而無等角投影。,⑴ 桑遜（Sanson）投影⑵ 摩爾威特（Mollweide）投影⑶ 古德（Goode）投影,常用的投影方案：,4.4 世界地圖投影,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),⑴ 桑遜（Sanson -

63、Flam steed）投影 經(jīng)線為正弦曲線的等積偽圓柱投影，緯線為間隔相等的平行直線，每條緯線上經(jīng)線間隔相等。由法國桑遜于1650年設(shè)計(jì)。,投影特點(diǎn)：P = 1 無面積變形n = 1 緯線長度比為1m0 = 1 中央經(jīng)線長度比=1m > 1 經(jīng)線長度比 >1,4.4 世界地圖投影,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),⑵ 摩爾威特（Mollweide）投影 經(jīng)線

64、為正弦曲線的等積偽圓柱投影，緯線為間隔相等的平行直線，每條緯線上經(jīng)線間隔相等。由德國摩爾威特于1805年設(shè)計(jì)。,投影特點(diǎn)：P = 1 無面積變形S90 = Searth / 2赤道長度= 中央經(jīng)線 × 2常用于編制世界地圖及東、西半球地圖,40°44 ′11.8 ″,,,4.4 世界地圖投影,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),⑶ 古德（Goode）投影 美地理學(xué)家古德（J.Paul

65、Goode）于1923年提出在整個(gè)制圖區(qū)域主要部分中央都設(shè)置一條中央經(jīng)線，分別進(jìn)行投影，則全圖就分成幾瓣，各瓣沿赤道連接在一起。,投影特點(diǎn)： 分瓣、組合投影， 變形減小且均勻 大陸完整，大洋割裂 大洋完整，大陸割裂 常用于編制世界地圖,4.4 世界地圖投影,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),摩爾威特 — 古德投影,,4.4 世界地圖投影,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)

66、基礎(chǔ),第 2 章 結(jié) 束,新編地圖學(xué)教程 第2章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),阿波隆尼定理(Apollonius): 橢圓內(nèi)兩共軛半徑的平方和等于其長短半徑的平方和；兩個(gè)共軛半徑與它們的交角正弦的乘積等于其長短半徑的乘積。,有:m2 + n2 = a2 + b2m·n·sinq = a·b,橢圓內(nèi)任一條直徑d的平行弦中點(diǎn)在橢圓內(nèi)的軌跡形成另一直徑d ′ ， 則d ′稱為d