線性代數(shù)--科學(xué)出版社---李國王曉峰著--課堂講義第一章 (1)

1、1.2 矩陣的初等變換,我們先考察如下的一個(gè)例子. 求解下列方程組：,1.2.1 線性方程組的初等變換,2,交換前兩個(gè)方程的順序得：,3,4,5,6,一個(gè)n元線性方程組如滿足如下條件則稱為階梯型方程組:,(i) 如方程組中某一方程的各項(xiàng)系數(shù)全為零, 則它 下方的所有方程(如有)的各項(xiàng)系數(shù)全為零;,(ii)如方程組中某一方程的各項(xiàng)系數(shù)不全為零, 并 且第一個(gè)不為零的項(xiàng)是第i項(xiàng), 則此方程下方的所 有方程(如果存

2、在)的前i 項(xiàng)的系數(shù)全為零.,7,例如, 如下的方程組均是階梯形的.,,,8,消元法就是要對(duì)給定的線性方程組施行三種初等變換，將其變換成一個(gè)同解的階梯形方程組, 從而達(dá)到求解的目的.,II.  用一非零數(shù)乘以某一方程;,III. 某一方程乘以一數(shù)后加到另一方程上.,I. 交換某兩個(gè)方程的相互位置；,三種初等變換：,定理1.2.1 一線性方程組經(jīng)若干上述初等變換后得到的方程組與原方程組同解.,10,下面我們將對(duì)應(yīng)于方程組

3、的初等變換引入矩陣的初等變換.,仍然考察前面的例子.,1.2.2 矩陣的初等變換,11,交換前兩行得：,寫出增廣矩陣得：,12,將上述增廣矩陣的第一行的?1倍和?2倍分別加到第三、四行上得：,13,14,定義1.2.1 矩陣的初等行變換是指下述矩陣變換之一:,交換兩行的位置; 并用記號(hào) ri ?rj 表 i, j 行互換;,某一行乘以一個(gè)非零數(shù), 并用記號(hào)kri表第i行乘以數(shù)k(?0);,III. 某一行乘以一個(gè)數(shù)后加到另一行上

4、 , 并用記號(hào)kri+rj 表第 i 行乘以數(shù) k 后加到第 j 行上.,15,上述方程組的求解用緊湊的形式寫為：,16,17,18,定義1.3.2 滿足下列條件的矩陣稱為階梯型矩陣:,如一行元素全為零, 則它下方的行(如有)也全 為零;,(ii)  如某一行元素不全為零, 并且第一個(gè)不為零的 元素位于第i列, 則它下方所有的行(如果存在) 的前i個(gè)元素全為零.,19,定理1.2.2 任一矩陣經(jīng)若干

5、初等行變換可化為階梯型.,例如， 下述矩陣為階梯形.,20,定理1.2.1′ 將一個(gè)線性方程組的增廣矩陣施行一系列初等行變換后得到的矩陣作為增廣矩陣的線性方程組與原方程組同解.,定理1.2.1的矩陣形式：,例 將矩陣A用初等行變換化為階梯型矩陣,練習(xí)：,23,定義1.2.2 矩陣的初等列變換是指下述矩陣變換之一:,V. 交換兩列的位置; 并用記號(hào) ci ?cj 表 i, j 行互換;,VI. 某一列乘以一個(gè)非零數(shù), 并用記號(hào)k

6、ci表第i列乘以數(shù)k(?0);,VII. 某一列乘以一個(gè)數(shù)后加到另一列上 , 并用記號(hào)kci+cj 表第 i 列乘以數(shù) k 后加到第 j 列上.,相應(yīng)于矩陣的初等行變換，同樣可以定義矩陣的初等列變換.,矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.,24,定理1.2.3 任一矩陣經(jīng)若干初等列變換可化為階梯型.,25,1.2.3 矩陣的最簡型,定義 1.2.3 一階梯形矩陣稱為最簡型, 如果其元素不全為零的行的第一個(gè)非零元素均