第七章-統(tǒng)計規(guī)律性--混沌-熵與信息

1、第七章 統(tǒng)計規(guī)律性 混沌熵與信息,科學由事實構成，就像一所房子由石頭構成一樣。但是，事實的堆砌不是科學，正如一堆石頭不是房子。 ——彭加勒,版權所有 復制必究,高等教育出版社,兩條線索,宏觀物體到微觀粒子的運動規(guī)律,電磁場和波的運動規(guī)律,,,統(tǒng)一起來,波粒二象性,,對宏觀物體的熱學性質的研究,,熱力學（宏觀理論）：有限體積的宏觀系統(tǒng)處在平

2、 衡態(tài)下的宏觀性質。,統(tǒng)計物理（微觀理論）：從微觀角度研究宏觀系統(tǒng) 的性質。,從微觀上看，宏觀物體是由大量做無規(guī)則熱運動的微觀粒子組成的，盡管對每個粒子而言，運動似乎無規(guī)律，但從總體上看，在大量偶然事件中存在必然，即存在統(tǒng)計規(guī)律性。由此可以通過解宏觀量與微觀量的關系，闡明熱力學定律的統(tǒng)計意義。

3、,§7.1 力學中的機械決定論,你知道牛頓、開普勒等人為什么要從事科學研究嗎？出于對自然的好奇？為了拿到博士學位？為了養(yǎng)家糊口？——僅為了這個做不出這么大的成績?yōu)榱巳祟?？到底為什么呢？——為了敬畏上帝，證明上帝創(chuàng)造這個 世界之完美！,牛頓,——不止這么簡單,——那是你的想法,——還沒那么崇高,牛頓力學中只要知道力和初始條件，以后的運動狀態(tài)就全都知道了。這就是機械決定論，即牛頓的因果性原

4、理。例如單擺。 對力學機械決定論的第一次沖擊是19世紀末彭加勒用其卓越的才能發(fā)現(xiàn)在引力作用下，太陽、地球和月亮三體問題中，三體運動的軌道具有“無法描寫的復雜性”。最有意義的是，他的發(fā)現(xiàn)表面對三體以上的簡單力學體系，起運動狀態(tài)對初始條件顯示出極其靈敏的依賴性。這種現(xiàn)象后來被叫做“混沌”。,單擺,§7.2 混沌,1． 對單體體系，當運動方程不再是線行的時候，也可能出現(xiàn)類似的混沌現(xiàn)象。 當初始θ0很

5、大，達到π時，同時作用一個力F，則此時小球的運動也將具有幾乎無法描寫的復雜性。,復擺,2． 1961年以后，對混沌現(xiàn)象的研究，在氣象學、生態(tài)學、化學反應、生命科學等領域都被重視起來。 梅根據(jù)物理學家的研究方法，提出了建立能抓住主要矛盾的模型方法來進行研究。 池塘中的一群金魚，生態(tài)模型這是一個線性迭代方程。一年后，變?yōu)橐院笾鹉暝鲩L，這并不符合實際。 瑞克把方程改為如下非線性模型：加了因子

6、 ，表示了環(huán)境的限制作用，保證 不會增加太快，且不許超過1。,,,,,,3． 此方程反映的混沌現(xiàn)象：（1）當 ，有一個穩(wěn)定的上限，如 ，當 后 ，有極值0.5833。（2）當 是第一個“臨界值”。當

7、 ，極限值 由1個變?yōu)?個，即出現(xiàn)“分岔”現(xiàn)象， 作振蕩變化。（3）當 ， 有4個極限值。 時，又突然變?yōu)橛?個極限值。（4） 后，發(fā)生奇怪的現(xiàn)象 （n很大）不但上下跳，且數(shù)值幾乎無規(guī)則地遍及一個很大的范圍。尤其是梅發(fā)現(xiàn)十分靈敏地依賴于初始值 的選取。 只變動一點點， 就可突然變化很

8、大，甚至變得不可預測。反映 時，系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)。,,,,,,,,,,,,,,,,,,4． 一位年輕學者鉆研混沌現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)各個分岔臨界值之間存在一個普適關系式 這位學者還猜測，流體從穩(wěn)恒流動到流速增加到一定值后會突然變?yōu)橥牧鳎举|上是一種從分岔周期倍增而進入混沌的過度。5． 科學家又在混沌區(qū)域中分析并找到了一種“自相似”結構，叫做“分形”。,,課堂欣賞——迷人的分形藝術

9、 “分形”(fractal)，是分形幾何的創(chuàng)始人曼德爾布羅特于1975年由拉丁語Frangere一詞創(chuàng)造而成，詞本身具有“破碎”、“不規(guī)則”等含義。 德爾布羅特研究中最精彩的部分是1980年他發(fā)現(xiàn)的并以他的名字命名的集合，他發(fā)現(xiàn)整個宇宙以一種出人意料的方式構成自相似的結構。 德爾布羅特集合圖形的邊界處，具有無限復雜和精細的結構。如果計算機的精度是不受限制的話，你可以無限地放大她的邊界。當你放大某個區(qū)域，它的結構就在變化，

10、展現(xiàn)出新的結構元素。這正如 “蜿蜒曲折的一段海岸線”，無論您怎樣放大它的局部，它總是曲折而不光滑，即連續(xù)不可微。,微積分中抽象出來的光滑曲線在我們的生活中是不存在的。所以說，德爾布羅特集合是向傳統(tǒng)幾何學的挑戰(zhàn)。用數(shù)學方法對放大區(qū)域進行著色處理，這些區(qū)域就變成一幅幅精美的藝術圖案，這些藝術圖案人們稱之為“分形藝術”。,§7.3 宏觀不可逆性與熵的概念,一、時間箭頭與洛喜密特佯謬1．時間是不可逆的 到19世紀，人們在

11、日常生活中所體會到的“時間箭頭”不可逆的經(jīng)驗在物理學中已上升為一條熱力學第二定律：自然過程總是不可逆的，如熱量總是自發(fā)地由高溫物體傳向低溫物體。 宏觀量溫度只對處于平衡態(tài)的體系才有意義，溫度乃是微觀分子（原子）運動劇烈程度的一種量度。微觀粒子動能的平均值直接決定氣體溫度T:,,2．洛喜密特佯謬 洛喜密特佯謬：如何理解經(jīng)典力學在時間上的可逆性（不存在有方向的時間箭頭）與熱力學在時間上的不可逆性（存在宏觀時間箭頭）之的矛盾。

12、,該如何理解呢？,洛喜密特,例 熱力學在時間上不可逆。有一箱子，中間用隔板分成A、B兩室，若A室中有大量粒子，而B室中沒有一個粒子。一旦把隔板抽走，則A室中的粒子會擴散到B室中，最后達到平衡態(tài)。此時再想回到開始的情況是不可能的，即時間上不可逆。要解釋這個佯謬，就要討論概率和熵。,二、概率和熵 大量分子趨于均勻分布是因為這中分布的微觀態(tài)數(shù)最多，即出現(xiàn)的概率最大。微觀狀態(tài) 宏觀狀態(tài) 宏觀

13、態(tài)對應的微觀態(tài)數(shù)目 概率,,1,4,1/16,4/16,微觀狀態(tài) 宏觀狀態(tài) 宏觀態(tài)對應的微觀態(tài)數(shù)目 概率,,,6,4,1,6/16,4/16,1/16,2．熵的定義 熵增加原理 熵是一種世界觀（1）在統(tǒng)計物理中引入“相空間”概念，把它分成許多“相格”，即 現(xiàn)有N個粒子，分布在第r格中的粒子數(shù)為 ，則N個粒子的微觀態(tài)數(shù)目（2）可以斷言，N個粒子運動，在微觀上是不可預測的，但宏觀上

14、卻可以預測：即一定趨向于概率最大，即對應的微觀態(tài)數(shù)目W最大（最無序、最混亂）的平衡狀態(tài)?；谶@種考慮，玻爾茲曼提出了熵的定義 由熵的定義可見，宏觀態(tài)總是從非平衡態(tài)趨向于平衡態(tài)。,,,,,玻爾茲曼離開人世后，人們在他的墓碑上只刻著一個公式：,時間上不可逆！,,統(tǒng)計物理中,熵增加原理,玻爾茲曼的墓碑,,這正是反映了熵在科學發(fā)展中起的重要作用。熵增加原理不只是解釋了熱力學第二定律，而是揭示了自然演化的不可逆性，使物理學研究

15、進入到演化物理學領域。熵概念的提出使人們在認識觀念上有了重要變化，熵是一種世界觀。目前熵的概念已被廣泛拓展到信息論、宇宙論、天體物理及生命科學等領域中。,§ 7.4 麥克斯韋分布和玻爾茲曼分布,N個分子組成的理想氣體到達平衡態(tài)時，分子的速度分布是什么？這是一個非常有實際意義的問題，也是統(tǒng)計物理研究的主要問題之一。1．玻爾茲曼分布率 首先在兩個約束條件下：通過變分法可以導出在相應概率最大的平衡態(tài)條件下，分

16、子動能為 的分子數(shù)為,,,,稱為玻爾茲曼分布率。2．麥克斯韋速度分布率 由上式可得在速度區(qū)間 中，分子速度分布公式（在直角坐標系中）為：,,,,,,,其中： , 在球坐標中為：其中 它滿足

17、歸一化條件： 稱為麥克斯韋速度分布函數(shù)。,,,,,,,圖中，豎線所指為方均根速率， 可由下式計算為：,,讀者也可以求出平均速率 、最概然（概率最大的）速度 與 相比較，將會發(fā)現(xiàn),,,§7.5 物態(tài)變化相變潛熱和熱力學第一定律,1．狀態(tài)方程 對一種純物質組成的體系，處在平衡態(tài)時，p、V、T三個量之間有一定的函數(shù)關系，稱物態(tài)方程（三者哪兩個作為獨立參量可視具體情況

18、而定）。知道了物態(tài)方程，可知道物質系統(tǒng)的許多熱學性質。但是在實際情況下，物質系統(tǒng)的狀態(tài)方程的精確表達式很復雜，在熱力學宏觀理論中只能由實驗來確定。,2．相變過程 相變潛熱 物體氣、液、固三態(tài)之間的變化稱為相變。 例如，水有水蒸氣、水、冰三種狀態(tài)，在保持100℃的情況下，使壓強準靜態(tài)地增大，當壓強為標準大氣壓時，可以看到容器中的水蒸氣開始有水滴凝結出來，出現(xiàn)期、液兩相共存狀態(tài)。,壓縮水蒸氣,一杯冰茶證明的水的不同形態(tài)的共

19、存,汽化熱：單位質量的液體汽化成同溫度的氣體所吸收的熱量。 同一物質，不同溫度，汽化熱不同； 相同溫度，不同物質，汽化熱不同。 凝結過程中，放出的熱量的大小與汽化熱相等。相變潛熱：這種吸收或放出的熱量。,水在標準大氣壓下不同溫度下的汽化熱,幾種液體在標準大氣壓下，在沸點時的汽化熱,圖中A點是三相平衡共存的三相點，位于Tt=273.16K=0.01℃，pt=0.00603atm=611Pa處。AC是氣

20、液相變曲線，AC上每點所對應的p和T表示在這種壓強和溫度下可氣、液兩相平衡。C點是臨界點，在此點處水和它的蒸氣密度相等——0.32g/cm3，不可分辨了。AD是固液相變曲線。 同樣，當水凝固成冰時，放出相變潛熱為333.6J/g，冰融化為水時要放出同樣的熱量。,4．為什么水會浮在冰上？ 水有奇特的性質——在4℃以上體積隨溫度下降而縮小，在4℃以下反轉為膨脹。因此，0℃時的冰變的相當松，密度比水小，浮在水面上。這是因

21、為結冰時水分子之間整齊排列的“氫鍵”把分子間距離略微推開的緣故。 水的這個性質對生命進化至關重要。討論與思考： 為什么拿速凍食品時，會感到手被粘住了呢？,水的分子結構,冰的晶體結構,5．從熱力學觀點看相變問題 圖7-5-1的逆過程是讓活塞在保持T不變時，逐漸膨脹上升，此時將有一部分水化為蒸氣，要吸收熱量。在正逆過程中，有熱量變化，這寫熱量變化何去何從？實際是與外界對系統(tǒng)做功，以及系統(tǒng)內能的變化有關。這

22、正是熱力學第一定律所表述的：它是能量守恒定律在熱力學過程中的表述形式。,,活塞做功,§7.6 從比熱看物質結構,本節(jié)討論在不發(fā)生相變的情況下，物質變化所吸收或放出的熱量，即比熱容問題。這個問題與物質結構有密切關系，并說明利用量子理論來描述的必要性，是量子理論的又一偉大勝利。一、能量均分原理（即能量按自由度均分原理）1．分子的自由度自由度：確定一個物體在空間的位置所必需的獨立坐標

23、 數(shù)目,2． 要知道比熱容，涉及系統(tǒng)內能。對理想氣體，內能即每個分子的平均動能和勢能之和，對平動和轉動只有動能貢獻，但對多原子分子，原子之間做相對振動時，分子的能量除動能外，還有勢能。,3．對平動而言。已證明：且每一方向的平均動能都為 。也就是對平動講，每個自由度具有相同的平均動能。對振動和轉動，同樣每個自由度的平均能量為 。于是在經(jīng)典物理中建立了一條能量均分原理：在熱平衡狀態(tài)下，分子運動的每個自由

24、度將有 的平均能量。,,,,,二、單原子理想氣體的比熱容和摩爾熱容比熱容定義：單位質量氣體每升高單位溫度所需的 熱量。 定容比熱容cV：保持系統(tǒng)體積V不變測得的CV,m=McV 定壓比熱容cp：保持系統(tǒng)壓強p不變測得的Cp,m=Mcp其中為M摩爾質量。按定義，單原子氣體摩爾熱容：（1）,,,,,上式計算中用了物態(tài)方程pV=RT對單原子氣體，有與實驗值相符。,,,,表7-

25、6-1 若干物質的比熱容,表7-6-1 若干物質的比熱容（續(xù)表）,三、雙原子分子氣體1．對值的解釋，經(jīng)典理論遇到困難 理論上：雙原子氣體N2、O2的γ=1.40，利用經(jīng)典能量均分原理，考慮到雙原子分子有3個平動自由度，2個振動自由度，2個轉動自由度，可得與實驗不符。,,，,,,2．利用量子理論可以解釋 由量子理論，振動能量應是量子化的，計算可得 在室溫下，kT≈0.0

26、26eV，假定分子振動對應波長 紅外光子，相應的 ，即 ，所以,,（n=0，1，2，…）,,,,,,。,注意到， ，也是振子的基態(tài)與第一激發(fā)態(tài)之間的能量差， 意味著室溫下，分子振動不會因為分子間的碰撞而激發(fā)起來，即振動自由度被凍結。 而轉動的量子化能級的間隔往往小于0.01eV，所以轉動自

27、由度不會凍結。 于是與實驗相符。,,,,四、三原子分子氣體理論上：CO2 ，9個自由度； H2O ，9個自由度。由此得：CO2 ，H2O都與實驗不符。,,,,,水分子,一個合理的解釋是： 對CO2氣體，4個振動自由度中有2個被凍結，可得 。 對H2O氣體，

28、3個振動自由度全部凍結，轉動自由度中也有1個被凍結了?？傻门c實驗值相符的 值。,,,,五、固態(tài)金屬摩爾熱容1． 由于固態(tài)物質的體膨脹系數(shù)很小，所以其體積變化時做功很小，不必區(qū)分定容和定壓熱容。2． 杜隆-柏蒂定律：當溫度較高（ ）時，各種固態(tài)金屬的摩爾熱容都在26 J/(mol·K)附近。 這是因為固定在晶體晶格上的各個原子受周圍原子作用相當于3個振子，當它們都

29、沒凍結時，有于是定容摩爾熱容但這畢竟是近似的，實際是有大有小的。,,,,,六、冰和水的摩爾熱容1． 0℃時，冰的摩爾熱容為 ，超過杜隆-柏蒂值47%。 這是因為晶格上H2O分子內部也有些熱激發(fā)。平均地說，每個分子將等價地對應4.41個振子。2． 水的摩爾熱容是最大的，其 合理的解釋：H2O中每個原子就像一個獨立的“分子”，使原來的NA變成了3NA。,,,七、對溶解熱和汽

30、化熱的進一步說明1． 由冰到水，每個分子的自由度相當于從4.41個振子增加到9個振子（每個振子2個自由度），需要的能量是 ，除了從外界吸收溶解熱外，還需4406J/mol。這一部分能量部分來自外界做功（冰變成水時體積被壓縮），主要是由分子間的引力勢在它們之間距離縮小時所提供。2． 100℃時，由水到氣，要吸收汽化熱2256J/g≈40613 J/mol，其中一部分因體積膨脹而對外做功

31、外，主要是為了克服分子間的吸引力，而使分子變?yōu)樽杂蛇\動所必需的。,,§7.7 信息與概率的關系 ——信息量的定義,1．信息量定義 美國科學家香農(nóng)認為：一個100%地會出現(xiàn)的，即概率等于1的事件對我們來說是不含信息量的。一個事件發(fā)生的概率越小，它發(fā)生時引起的驚異程度便越高，其各個荷載的信息量應該越大。換言之，信息量應該是信息所帶來的“驚異度”的一種量度。

32、 定義：“信息量”Ir與事件發(fā)生的概率pr,,2．平均信息量定義 n個同類事件，各自發(fā)生的概率pr（r=0, 1, 2, …, n-1）不一定相等，于是它們的信息量Ir也不相等。則我們對它們的“平均信息量”I 感興趣，定義此式與熵的表達式相似，所以稱為信息熵。例 擲硬幣當pr彼此相等時，不論同類事件的數(shù)目（n）多大，它們的平均信息量總與單個事件的信息量相等，即I=Ir,,,（對比

33、 ）,,（bit）,3．以2為底的對數(shù)來定義信息量，既非常合理，又十分方便。實際上香農(nóng)是用一種數(shù)字上的“二進位制”來代替沿用了上千年的“十進位制”。,二進位的數(shù)字信號與十進制的對應,,,,,,,,,,,,,,,,,二進制的數(shù)字信號優(yōu)越性 因為只有“0”和“1”兩種分立的狀態(tài)，在電路中很容易通過“關”和“開”來實現(xiàn)。 在信息傳輸過程中又相當穩(wěn)定，抗噪聲的干擾能力強，不易失真。此外

34、，傳輸?shù)男畔⒘吭酱?，通道越多，距離越遠，用數(shù)字信號的成本相對地越低。應用舉例：電子計算機全部使用二進制語言進行工作 人腦是用語言來進行思維的，電腦也必須有自己的語言才能進行運轉。所謂程序設計，正是依靠這種專用語言來實現(xiàn)的。電腦是使用二進制來進行計算的，它用二進制記數(shù)作為自己的數(shù)學語言，而不是用人們所熟悉的十進制。,電腦的二進制記數(shù)法最早是由德國數(shù)學家萊布尼茲所創(chuàng)。萊布尼茲受中國八卦圖的啟發(fā)，認為八卦圖就是十進制記數(shù)的

35、，二進制記數(shù)就是逢二進一的記數(shù)方法。形象地說，二進制就是兩本書裝一盒，兩盒裝一箱，兩箱裝一柜，依此推進記錄數(shù)值。,如果是一柜一箱一盒零一本書， 用二進制就表示為“1111”， 十進制的表示則是“15”。 電腦畢竟是一種機器，由于它獨特的內部構造，所以只有采用二進制計算和存儲才很方便。二進制的計算規(guī)則如下：　 　0+0=0　　 1+0=1