概率論-第6章-樣本及抽樣分布

1、概率論與數(shù)理分析第六章 樣本及抽樣分布,§1 隨機(jī)樣本§2 直線圖和箱線圖§3 抽樣分布,引言,隨機(jī)變量及其所伴隨的概率分布全面描述了隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律。,概率論的許多問(wèn)題中，隨機(jī)變量的概率分布通常是已知的，或者假設(shè)是已知的，而一切計(jì)算與推理都是在這已知是基礎(chǔ)上得出來(lái)的。,但實(shí)際中，情況往往并非如此，一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象所服從的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概型，但是其中的某些參數(shù)是

2、未知的。,§1 隨機(jī)樣本,例如：,某公路上行駛車輛的速度服從什么分布是未知的；,電視機(jī)的使用壽命服從什么分布是未知的；,產(chǎn)品是否合格服從兩點(diǎn)分布，但參數(shù)——合格率p是未知的；,數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)則是以概率論為基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)，對(duì)研究對(duì)象的客觀統(tǒng)計(jì)規(guī)律性做出合理的推斷。,§1 隨機(jī)樣本,一、總體與個(gè)體,1.總體,試驗(yàn)的全部可能的觀察值稱為總體.,2.個(gè)體,總體中的每個(gè)可能觀察值稱為個(gè)體.,例1 在研究2

3、000名學(xué)生的年齡時(shí),這些學(xué)生的年齡的全體就構(gòu)成一個(gè)總體,每個(gè)學(xué)生的年齡就是個(gè)體.,§1 隨機(jī)樣本,3.容量,總體中所包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為總體的容量.,4.有限總體和無(wú)限總體,容量為有限的稱為有限總體.,容量為無(wú)限的稱為無(wú)限總體.,產(chǎn)的燈泡壽命.,某工廠10月份生產(chǎn)的燈泡壽命所組成的總,個(gè)體的總數(shù)就是10月份生產(chǎn)的燈泡數(shù),,個(gè)有限總體;,例2,體中,,這是,而該工廠生產(chǎn)的所有燈泡壽命所組成,的總體是一個(gè)無(wú)限總體,,它包括以往生

4、產(chǎn)和今后生,§1 隨機(jī)樣本,所形成的總體中共含2 000個(gè),例3,在考察某大學(xué)一年級(jí)男生的身高這一試,試驗(yàn)中，,若一年級(jí)男生共2 000人，,每個(gè)男生的身高,是一個(gè)可能觀察值，,可能觀察值，,是一個(gè)有限總體.,總體也是有限總體.,例4 考察某一湖泊中某種魚(yú)的含汞量，,所得,§1 隨機(jī)樣本,我們可以認(rèn)為,有些有限總體，,它的容量很大,,它是一個(gè)無(wú)限總體.,例5,考察全國(guó)正在使用的某種型號(hào)燈泡的壽,可以認(rèn)為是無(wú)限總體.

5、,命所形成的總體,,由于可能觀察值的個(gè)數(shù)很多,就,§1 隨機(jī)樣本,因此在理論上可以把總體與概率分布等同起來(lái).,我們關(guān)心的是總體中的個(gè)體的某項(xiàng)指標(biāo)(如人的身高、燈泡的壽命,汽車的耗油量…) .,由于每個(gè)個(gè)體的出現(xiàn)是隨機(jī)的，所以相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)的出現(xiàn)也帶有隨機(jī)性 . 從而可以把這種數(shù)量指標(biāo)看作一個(gè)隨機(jī)變量X ，因此隨機(jī)變量X的分布就是該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布.,總體就可以用一個(gè)隨機(jī)變量及其分布來(lái)描述.,§1 隨機(jī)樣本

6、,5. 總體分布,例如:研究某批燈泡的壽命時(shí)，關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)就是壽命，那么，此總體就可以用隨機(jī)變量X表示，或用其分布函數(shù)F(x)表示.,某批燈泡的壽命,總體,,壽命 X 可用一概率（指數(shù)）分布來(lái)刻劃,鑒于此，常用隨機(jī)變量的記號(hào)或用其分布函數(shù)表示總體. 如說(shuō)總體X或總體F(x) .,§1 隨機(jī)樣本,類似地，在研究某地區(qū)中學(xué)生的營(yíng)養(yǎng)狀況時(shí) ，若關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)是身高和體重，我們用X 和Y 分別表示身高和體重，那么此總體就可

7、用二維隨機(jī)變量(X,Y)或其聯(lián)合分布函數(shù) F(x,y)來(lái)表示.,統(tǒng)計(jì)中，總體這個(gè)概念的要旨是：總體就是一個(gè)隨機(jī)變量(向量)或一個(gè)概率分布.,§1 隨機(jī)樣本,X 的分布函數(shù)和數(shù)字特征就稱為總體的分布,函數(shù)和數(shù)字特征.,今后將不區(qū)分總體與相應(yīng)的隨機(jī),變量.,參數(shù)為p的（0-1）分布：,例如，,我們檢驗(yàn)自生產(chǎn)線出來(lái)的零件是次品還,是正品，,以0表示產(chǎn)品是正品，,以1表示產(chǎn)品為次品.,的隨機(jī)變量.,設(shè)出現(xiàn)次品的頻率為 p（常數(shù)），,

8、那么總體是由一,些“0”和一些“1”所組成，,這一總體對(duì)應(yīng)于一個(gè)具有,§1 隨機(jī)樣本,根據(jù)獲得的數(shù)據(jù)來(lái)對(duì)總體分布得出,在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,人們都是通過(guò)從總體中抽取,一部分個(gè)體,,被抽出的部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本.,判斷的.,所謂從總體抽取一個(gè)個(gè)體,,就是對(duì)總體X 進(jìn)行,一次觀察并記錄其結(jié)果.,§1 隨機(jī)樣本,二、隨機(jī)樣本的定義,1.樣本的定義,§1 隨機(jī)樣本,2. 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義,獲得簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的抽樣方法

9、稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.,§1 隨機(jī)樣本,解,例7,§1 隨機(jī)樣本,解,例8,§1 隨機(jī)樣本,§1 隨機(jī)樣本,三、小結(jié),個(gè)體 總體,有限總體,無(wú)限總體,基本概念:,統(tǒng)稱為總體X.,說(shuō)明2,隨機(jī)樣本,一個(gè)總體對(duì)應(yīng)一個(gè)隨機(jī)變量X,,說(shuō)明1,我們將不區(qū),分總體和相應(yīng)的隨機(jī)變量,,在實(shí)際中遇到的總體往往是有限總體,,它,個(gè)數(shù)很大時(shí),,在理論上可認(rèn)為它是一個(gè)無(wú)限總體.,對(duì)應(yīng)一個(gè)離散型隨機(jī)變量;,當(dāng)總體中包含的個(gè)

10、體的,§1 隨機(jī)樣本,男子的頭顱的最大寬度（mm），,一、直方圖,例1,下面給出了84個(gè)伊特拉斯坎（Etruscan）人,數(shù)據(jù)的“頻率直方圖”.,現(xiàn)在來(lái)畫(huà)這些,§2 直方圖和箱線圖,步驟：,1. 找出最小值126，,最大值158，,現(xiàn)取區(qū)間,[124.5,159.5]；,2. 將區(qū)間[124.5，159.5]等分為7個(gè)小區(qū)間，,3. 小區(qū)間的端點(diǎn)稱為組限,,數(shù)出落在每個(gè)小區(qū),§2 直方圖和箱線圖,列表

11、如下：,這樣的圖形叫頻率直方圖.,§2 直方圖和箱線圖,§2 直方圖和箱線圖,頻率直方圖,二、箱線圖,定義,§2 直方圖和箱線圖,綜上，,§2 直方圖和箱線圖,§2 直方圖和箱線圖,例2,設(shè)有一組容量為18的樣本如下（已經(jīng)排過(guò)序）,122 126 133 140 145 145 149 150 157,解,162 166 175 177 177 183 188

12、 199 212,§2 直方圖和箱線圖,§2 直方圖和箱線圖,數(shù)據(jù)集的箱線圖是由箱子和直線組成的圖形，,它是基于以下五個(gè)數(shù)的圖形概括：,§2 直方圖和箱線圖,在同一水平,高度自箱子右側(cè)引一條水平線直至最大值.,§2 直方圖和箱線圖,以下是8個(gè)病人的血壓（收縮壓，mmHg）數(shù),解,故,例3,試作出箱線圖.,據(jù)（已經(jīng)過(guò)排序 ），,102 110 117 118 122 123

13、 132 150,§2 直方圖和箱線圖,故,故,作出箱線圖如圖所示.,§2 直方圖和箱線圖,例4,量（以升計(jì).數(shù)據(jù)應(yīng)經(jīng)過(guò)排序）,女子組,2.7 2.8 2.9 3.1 3.1 3.1 3.2 3.4 3.4,男子組,4.1 4.1 4.3 4.3 4.5 4.6 4.7 4.8 4.8,試分別畫(huà)出這兩組數(shù)據(jù)的箱線圖.,下面分別給出了25個(gè)男子和25個(gè)女子的肺活,3.4 3.4

14、 3.4 3.5 3.5 3.5 3.6 3.7 3.7,3.7 3.8 3.8 4.0 4.1 4.2 4.2,5.1 5.3 5.3 5.3 5.4 5.4 5.5 5.6 5.7,5.8 5.8 6.0 6.1 6.3 6.7 6.7,§2 直方圖和箱線圖,解,女子組,男子組,作出箱線圖如（教材P134）圖6-4所示.,§2 直方圖和箱線圖,在數(shù)據(jù)集中，,稱為四

15、分位數(shù)間距.,某一個(gè)觀察值不尋常地大于或,小于該數(shù)據(jù)集中的其他數(shù)據(jù)，,稱為疑似異常值.,疑似異常值,§2 直方圖和箱線圖,修正箱線圖,自箱子左側(cè)引一水平線段直至數(shù)據(jù)集中,又自箱子右側(cè)引一,除去疑似異常值后的最小值，,水平線直至數(shù)據(jù)集中除去疑似異常值后的最大值.,§2 直方圖和箱線圖,例5,下面給出了某醫(yī)院21個(gè)病人的住院時(shí)間（以,1 2 3 3 4 4 5 6 6 7 7

16、9 9,解,試畫(huà)出修正箱線圖（數(shù)據(jù)已經(jīng)過(guò)排序）.,天計(jì)），,10 12 12 13 15 18 23 55,,§2 直方圖和箱線圖,故55 是疑似異常值，,且僅此一個(gè)疑,疑似異常值.,作出修正箱線圖如（教材P135）圖6-5所示.,§2 直方圖和箱線圖,1.頻率直方圖作圖步驟,(1) 找出最小值和最大值，,(2) 將選定區(qū)間分為k個(gè)小區(qū)間；,三、小結(jié),§2 直方圖和箱線圖,高

17、度自箱子右側(cè)引一條水平線直至最大值.,2.箱線圖作圖步驟,§2 直方圖和箱線圖,一、基本概念,1. 統(tǒng)計(jì)量的定義,§3 抽樣分布,,,是,不是,實(shí)例1,§3 抽樣分布,2. 幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量的定義,(1) 樣本平均值,(2) 樣本方差,其觀察值,§3 抽樣分布,其觀察值,(3) 樣本標(biāo)準(zhǔn)差,其觀察值,§3 抽樣分布,(4) 樣本k 階(原點(diǎn))矩,其觀察值,(5) 樣本k 階中心矩,其觀察值

18、,§3 抽樣分布,證明,再根據(jù)第五章辛欽定理知,由以上定義得下述結(jié)論:,§3 抽樣分布,由第五章關(guān)于依概率收斂的序列的性質(zhì)知,由第五章關(guān)于依概率收斂的序列的性質(zhì)知,以上結(jié)論是下一章所要介紹的矩估計(jì)法的理,論根據(jù).,§3 抽樣分布,3. 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù),經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的做法如下:,§3 抽樣分布,實(shí)例,§3 抽樣分布,實(shí)例,§3 抽樣分布,一般地，,§3 抽樣分布,格里汶科

19、定理,§3 抽樣分布,二、常見(jiàn)分布,統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.,自由度是指上式右端包含的獨(dú)立變量的個(gè)數(shù).,§3 抽樣分布,證明,§3 抽樣分布,§3 抽樣分布,性質(zhì)1,( 此性質(zhì)可以推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形. ),§3 抽樣分布,性質(zhì)2,證明,§3 抽樣分布,§3 抽樣分布,根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性知,例1,§3 抽樣分布,附表5只詳列到n=40為止.,例2,&

20、#167;3 抽樣分布,例如,利用上面公式,,而查詳表可得,費(fèi)舍爾(R.A.Fisher)證明:,§3 抽樣分布,例3,解,根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì),,§3 抽樣分布,§3 抽樣分布,§3 抽樣分布,t 分布又稱學(xué)生氏(Student)分布.,2.,§3 抽樣分布,形.,當(dāng)n充分大時(shí),,其圖,形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài),變量概率密度的圖,§3 抽樣分布,由分布的對(duì)稱性知,§3 抽樣分

21、布,例4,§3 抽樣分布,3.,§3 抽樣分布,§3 抽樣分布,根據(jù)定義可知,,§3 抽樣分布,,例5,§3 抽樣分布,證明,§3 抽樣分布,§3 抽樣分布,4. 正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布,定理一,§3 抽樣分布,定理二,§3 抽樣分布,證明,由 t 分布的定義知,定理三,且兩者獨(dú)立,,§3 抽樣分布,定理四,§3 抽