數學史概論復習題及參考答案[1]

1、新疆昌吉學院初等教育學院,數學史概論總復習,主講:王克衛(wèi),http://www.cjc.net.cn/wkw-5588@163.com,TEL:0994-2347343,考試題型,一、填空題（每空1分，共30分） 二、簡答題（每小題5分，共50分） 三、簡述20世紀十例現代數學成果的內容 （10分） 四、談學習的心得體會（10分）,第0章 數學史—人類文明的重要篇章,一、數學史研究哪些內容？（Z)

2、二、歷史上關于數學概念的定義有哪些？ 三、數學史通常采用哪些線索進行分期 。 四、本書對數學史如何分期？,一、數學史研究哪些內容？P1 答：數學史研究數學概念、數學方法和數學思想的起源與發(fā)展，及其與社會政治、經濟和一般文化的聯系。,二、歷史上關于數學概念的定義有哪些？P5——8答： 1、公元前4世紀的希臘哲學家亞里士多德將數學定義為“數學是量的科學”。2、16世紀英國哲學家培根(1561—1626)將數學分為“

3、純粹數學” 與“混合數學”。 3、在17世紀，笛卡兒(1596—1650) 認為：“凡是以研究順序(order)和度量(measure)為目的的科學都與數學有關”。,4、19世紀恩格斯這樣來論述數學：“純數學的對象是現實世界的空間形式與數量關系”。根據恩格斯的論述，數學可以定義為：“數學是研究現實世界的空間形式與數量關系的科學?！?、19世紀晚期，集合論的創(chuàng)始人康托爾(1845—1918)曾經提出： “數學是絕對自由發(fā)展的學科，它只

4、服從明顯的思維，就是說它的概念必須擺脫自相矛盾，并且必須通過定義而確定地、有秩序地與先前已經建立和存在的概念相聯系”。,6、20世紀50年代，前蘇聯一批有影響的數學家試圖修正前面提到的恩格斯的定義來概括現代數學發(fā)展的特征：“現代數學就是各種量之間的可能的，一般說是各種變化著的量的關系和相互聯系的數學”。7、從20世紀80年代開始，又出現了對數學的定義作符合時代的修正的新嘗試。主要是一批美國學者，將數學簡單地定義為關于“模式” 的科學：

5、“【數學】這個領域已被稱作模式的科學，其目的是要揭示人們從自然界和數學本身的抽象世界中所觀察到的結構和對稱性” 。,三、數學史通常采用哪些線索進行分期？P9答：一般可以按照如下線索： (1)按時代順序； (2)按數學對象、方法等本身的質變過程； (3)按數學發(fā)展的社會背景。,四、本書對數學史如何分期？P9答：1、數學的起源與早期發(fā)展(公元前6世紀前) 2、初等數學時期(公元前6世紀一16世紀)

6、 (1)古代希臘數學(公元前6世紀－6世紀) (2)中世紀東方數學(3世紀一15世紀) (3)歐洲文藝復興時期(15世紀一16世紀) 3、近代數學時期(變量數學，17世紀－18世紀),4、現代數學時期(1820年一現在) (1)現代數學醞釀時期(1820’一1870) (2)現代數學形成時期(1870—1940’) (3)現代數學繁榮時期(當代數學時期,1950－現在),第一章 數學

7、的起源與早期發(fā)展,一、  世界上早期常見有幾種古老文明記數系統，它們分別是什么數字，采用多少進制數系？二、  “河谷文明”指的是什么？三、  關于古埃及數學的知識主要依據哪兩部紙草書？紙草書中問題絕大部分都是實用性質，但有個別例外，請舉例。四、  美索不大米亞人的記數制遠勝埃及象形數字之處主要表現在哪些方面？,一、  世界上早期常見有幾種古老文明記數系統，它們分別是什么數字，采用多

8、少進制數系？P13答：1．古埃及的象形數字（公元前3400年左右）：十進制數系2．巴比倫楔（xie）形數字（公元前2400年左右）：六十進制數系3．中國甲骨文數字（公元前1600年左右）：十進制數系4．希臘阿提卡數字（公元前500年左右）：十進制數系,5．中國籌算數碼數字（公元前500年左右）：十進制數系6．印度婆羅門數字（公元前300年左右）：十進制數系7．瑪雅數字（？）：二十進制數系,二、  “河谷文明”指的是

9、什么？P16答：歷史學家往往把興起于埃及。美索不大米亞、中國和印度等地域的古代文明稱為“河谷文明”。,三、  關于古埃及數學的知識主要依據哪兩部紙草書？P17,紙草書中問題絕大部分都是實用性質，但有個別例外，請舉例。P23答：古埃及數學的知識主要依據萊茵德紙草書和莫斯科紙草書兩部紙草書。 例如：萊茵德紙草書第79題：“7座房，49只貓，343只老鼠，2401棵麥穗，16807赫卡特。,四、  美索不大米亞

10、人的記數制遠勝埃及象形數字之處主要表現在哪些方面？P23--25答：1、六十進制為主德楔形文記數系統，2、巧妙地將位值原理應用到整數以外的分數。3、計算程序化4、數表計算,第二章 古代希臘數學,一、希臘數學一般是指什么時期，活動于什么地方的數學家創(chuàng)造的數學？二、什么使泰勒斯獲得了第一位數學家和論證幾何學鼻祖的美名？三、畢達哥拉斯學派認為宇宙萬物皆依賴于整數的信條由于什么發(fā)現而受到動搖？這個“第一次數學危機”是由于什么人提出

11、的新比例理論而暫時消除，這個新比例理論當今的語言可怎么敘述？,四、希臘數學學派主要有哪些學派?五、古希臘三大著名幾何問題是什么？(Z)六、亞里士多德《物理學》中記載芝諾提出的四個著名的悖論是什么？七、希臘數學的“黃金時代”指的是什么時間?這時期希臘數學的中心從雅典移到何處，此處出現了哪三大數學家？八、幾何《原本》共分多少卷，包括有多少條公理，多少條公設，多少個定義和多少條命題？九、阿基米德數學研究的最大功績是什么？十、阿波羅

12、尼奧斯最重要的數學成就是什么？,一、希臘數學一般是指什么時期，活動于什么地方的數學家創(chuàng)造的數學？P32答：希臘數學一般指從公元前600年至公元600年間，活動于希臘半島、愛琴海區(qū)域、馬其頓與色雷斯地區(qū)、意大利半島、小亞細亞以及非州北部的數學家們創(chuàng)造的數學。,二、什么使泰勒斯獲得了第一位數學家和論證幾何學鼻祖的美名？P33答：關于泰勒斯并沒有確鑿的傳記資料留傳下來。但是以下命題記載卻流傳至今，使泰勒斯獲得了第一位數學家和論證幾何學鼻

13、祖的美名。泰勒斯曾證明了下列四條定理： 1。圓的直徑將圓分為兩個相等的部分； 2。等腰三角形兩底角相等； 3。兩相交直線形成的對頂角相等；4。如果一三角形有兩角、一邊分別與另一三角形的對應角、邊相等，那么這兩個三角形全等。 傳說泰勒斯還證明了現稱“泰勒斯定理”的命題：半圓上的圓周角是直角。,三、畢達哥拉斯學派認為宇宙萬物皆依賴于整數的信條由于什么發(fā)現而受到動搖？這個“第一次數學危機”是由于什么人提出的新比例理論而暫時消除，P38

14、這個新比例理論當今的語言可怎么敘述？P48答：畢達哥拉斯學派認為宇宙萬物皆依賴于整數的信條由于不可公度量的發(fā)現而受到動搖, 這個“第一次數學危機”是大約一個世紀以后，由于畢達哥拉撕學派成員阿契塔斯的學生歐多克斯提出的新比例理論而暫時消除。,四、希臘數學學派主要有哪些學派?P39答：希臘數學也隨之走向繁榮，學派林立，主要有： 1、伊利亞學派； 2、詭辯學派； 3、雅典學院(柏拉圖學派)； 4、亞里士多德學派；,五、 古希

15、臘三大著名幾何問題是什么？P40(Z)答：（1）化圓為方，即作一個給定的圓面積相等的正方形。 （2）倍方立體，即求作一立方體，使其體積等于已知立方體的兩倍。 （3）三等分角，即分任意角為三等分 。,六、亞里士多德《物理學》中記載芝諾提出的四個著名的悖論是什么？P43答：芝諾四個著名悖論：1、兩分法2、阿基里斯3、飛箭4、運動場,七、 希臘數學的“黃金時代”指的是什么時間?這時期希臘數學的中心從雅典移到何處，此

16、處出現了哪三大數學家？P45答：從公元前338年希臘諸邦被馬其頓控制，至公元前30年羅馬消滅最后一個希臘化國家托勒密王國的三百余年，史稱希臘數學的“黃金時代“。這時期希臘數學的中心從雅典移到亞歷山大城；此處出現了歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯三大數學家，標志著古代希臘數學的顛峰,八、 幾何《原本》共分多少卷，包括有多少條公理，多少條公設，多少個定義和多少條命題？P46答：幾何《原本》共分13卷，包括有5條公理，5條公設，1

17、19定義和465條命題？,九、 阿基米德數學研究的最大功績是什么？P52­­­­53 答：阿基米德數學研究的最大功績是集中探討與面積與體積計算相關的問題。主要著述：（1）《圓的度量》（2）《拋物線求積》（3）《論螺線》（4）《論球和圓柱》,（5）《論劈錐曲面和旋轉橢球》（6）《引理集》（7）《處理力學問題的方法》（8）《論平面圖形的平衡或其重心》（9）《論浮體》（10）《沙

18、粒計數》（11）《牛群問題》,十、 阿波羅尼奧斯最重要的數學成就是什么？P58答：阿波羅尼奧斯最重要的數學成就是創(chuàng)立了相當完美的圓錐曲線理論。,第三章 中世紀的中國數學,,一、中國數學史上何時何人何種方法最先完成勾股定理證明？二、《九章算術》中各章名稱是什么?這些章節(jié)中談論算術、代數、幾何方面的內容為哪些章節(jié)？三、劉徽的數學成就中最突出是什么？四、 賈憲增乘開方法能否適用于開任意高次方?五、為什么說一次同余組

19、求解的剩余定理常常被稱為“中國剩余定理”？,一、中國數學史上何時何人何種方法最先完成勾股定理證明？P70答：公元3世紀三國時期的趙爽在注《周髀算經》，作“勾股圓方圖“，其中的”弦圖“，相當于運用面積的出入相補證明了勾股定理。,二、《九章算術》中各章名稱是什么?這些章節(jié)中談論算術、代數、幾何方面的內容為哪些章節(jié)？P71----78答 ：《九章算術》采用問題集的形式，全書246個問題，分成九章，依次為：方田、粟米、衰分、少廣、商功、

20、均輸、盈不足、方程、勾股，其中所包含的數學成就是豐富和多方面的。算術方面：方田、粟米、衰分、均輸、盈不足代數方面：方程幾何方面：方田、商功、勾股,三、 劉徽的數學成就中最突出是什么？P78  答：劉徽的數學成就中最突出是 “割圓術”和“體積理論”,四、 賈憲增乘開方法能否適用于開任意高次方?P93答：賈憲增乘開方法，是一個非常有效的和高度機械化的算法，可適用于開任意高次方。,五、為什么說一次同余組求解的剩

21、余定理常常被稱為“中國剩余定理”？P96答：秦九韶（約公元1202――1261）的“大衍求一術”是完全正確且十分嚴密的，但本人沒有給出證明，到18、19世紀，歐拉（1743）和高斯（1801）分別對一次同余組進行了詳細研究，重新獨立地獲得與秦九韶“大衍求一術”相同的定理，并對模數兩兩互素的情形作出了嚴格證明。1876年德國人馬蒂生首先指出秦九韶的算法與高斯算法是一致的，因此關于一次同余組求解的剩余定理常常被稱為“中國剩余定理”。,第四

22、章 印度與阿拉伯的數學,一、印度數學的發(fā)展可劃分為3個重要時期，這3個重要時期是指什么時期？二、用圓圈符號“O”表示零，可以說是印度數學的一大發(fā)明，印度人起初用什么表示零，直到最后發(fā)展為圈號。三、“巴克沙利手稿”中涉及到哪些的數學內容?四、“阿拉伯數學“是否單指阿拉伯國家的數學？五、 第一次給出一元二次方程的一般代數解法是來至何人著的著作?,一、印度數學的發(fā)展可劃分為3個重要時期，這3個重要時期是指什么時期？答;

23、 印度數學的發(fā)展可以劃分為三個重要時期，首先是雅利安人入侵以前的達羅毗（pi）荼人時期（約公元前3000——前1400），史稱河谷文化；隨后是吠（fei）陀（tuo）（約公元前10世紀——前3世紀）；其次是悉檀（tan）多時期（5世紀——12世紀）.,二、 用圓圈符號“O”表示零，可以說是印度數學的一大發(fā)明，印度人起初用什么表示零，直到最后發(fā)展為圈號。答：點號 ，直到最后發(fā)展為圈號。 1.“0”表示空位；2. “0”表示

24、“無”；3.數域的一個基本元素，可以運算。,三、 “巴克沙利手稿”中涉及到哪些的數學內容?P107答：“巴克沙利手稿”中涉及到分數，平方根、數列、收支與利潤計算、比例算法、級數求和、代數方程等，其代數方程包括一次方程、聯立方程組、二次方程。特別值得注意的是手稿中使用了一些數學符號如：減號、零號“0”。,四、 “阿拉伯數學“是否單指阿拉伯國家的數學？P113答：“阿拉伯數學“并非單指阿拉伯國家的數學，而是指8――15世紀阿拉

25、伯帝國統治下整個中亞和西亞地區(qū)的數學，包括希臘人、波斯人、猶太人和基督徒等所寫的阿拉伯文及波斯文等數學著作。,五、 第一次給出一元二次方程的一般代數解法是來自何人著的著作?P114答：第一次給出一元二次方程的一般代數解法是來自中世紀對歐洲數學影響最大的阿拉伯數學家花拉子米（約783－850）的《代數學》。,第五章 近代數學的興起,一、卡爾丹在1545年出版的著作《大法》中公布了形如x3+mx2=n(m,n>0)的三次方程的

26、解法是從何人那里傳授來的？在《大法》中卡爾丹對三次方程又進一步作了哪些工作？二、數學符號系統化首先應歸功于哪位數學家，對這位數學使用的代數符號的改進工作是由何人完成的？三、球面三角與平面三角何者先出現？四、對數是何人首先發(fā)明？它的產生主要是由于什么的需要？五、笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的靈感有幾個傳說，請試述其中的任意一,一、卡爾丹在1545年出版的著作《大法》中公布了形如x3+mx2=n(m,n>0)的三次方程的解法是從何人那里

27、傳授來的？在《大法》中卡爾丹對三次方程又進一步作了哪些工作？P126答：卡爾丹在1545年出版的著作《大法》中公布了形如x3+mx2=n(m,n>0)的三次方程的解法是從塔塔利亞（1499――1557）那里傳授來的。在《大法》中卡爾丹給出了一般三次方程的解法，而且補充了幾何證明；書中還把其學生費拉里（1522――1565）的一般四次方程的解法寫進《大法》中。,三、 球面三角與平面三角何者先出現？P131答：球面三角先于平

28、面三角出現,四、對數是何人首先發(fā)明？它的產生主要是由于什么的需要？P136答 ：蘇格蘭貴族數學家納皮爾正是在球面天文學的三角研究中首先發(fā)明對數方法的。對數的產生主要是由于天文和航海計算的強烈需要。,五、 笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的靈感有幾個傳說，請試述其中的任意一個。P142答：笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的靈感有兩個傳說。第一個傳說“晨思”時，看見一只天花板的蒼蠅，想確定其路線；另一個傳說是1619年冬天的三個連慣的三個夢。,第六章 微

29、積分的創(chuàng)立,一、微積分與積分學的起源何者在先，何者在后？二、微積分醞釀階段最有代表性的工作有哪幾項？(Z)三、牛頓走上創(chuàng)立微積分之路受哪兩部著作的影響最深？四、牛頓1666年寫了《流數簡論》之后，始終不渝努力改進，完善自己的微積分學說，先后寫成三篇微積分論文，這三篇論文的名稱是什么？為什么其中第三篇是牛頓最成熟的微積分著述？五、 為什么說在微積分的創(chuàng)立上牛頓需要與萊布尼茨分享榮譽？,一、微積分與積分學的起源何者在先，何者在后？

30、P145答：積分學的起源在先，微積分的起源比積分學的起源要晚的多。,二、 微積分醞釀階段最有代表性的工作有哪幾項？P146—154(Z)答： （一）開普勒與旋轉體體積，（二）卡瓦列里不可分量原理，（三）笛卡爾“圓法”（四）費馬求極大值與極小值的方法，（五）巴羅“微分三角形”，（六）沃利斯“無窮算術”,三、 牛頓走上創(chuàng)立微積分之路受哪兩部著作的影響最深？P155答：就數學思想的形成而言，笛卡兒的《幾何學》和沃利斯

31、的《無窮算術》對他的影響最深，正是這兩部著作引導牛頓走上創(chuàng)立微積分之路。,四、 牛頓1666年寫了《流數簡論》之后，始終不渝努力改進，完善自己的微積分學說，先后寫成三篇微積分論文，這三篇論文的名稱是什么？P158為什么其中第三篇是牛頓最成熟的微積分著述？P160答：牛頓1666年寫了《流數簡論》之后，始終不渝努力改進，完善自己的微積分學說，先后寫成三篇微積分論文，這三篇論文的名稱是：1、《運用無窮多項方程的分析》，簡稱《分析學》（1

32、669）2、《流數法與無窮級數》，簡稱《流數法》(1671)3、《曲線求積分》簡稱《求積術》（1691）,五、為什么說在微積分的創(chuàng)立上牛頓需要與萊布尼茨分享榮譽？P174答：牛頓和萊布尼茨都是他們時代的巨人，就微積分的創(chuàng)立而言，盡管在背景、方法和形式上存在差異、各有特色，但兩者的功績是相當的，他們都使微積分成為能普遍適用的算法，同時又都將面積、體積及相當的問題歸結為反切線（微分）運算。應該說，微積分能成為獨立的科學并給整個自然科學

33、帶來革命性的影響，主要是靠了牛頓與萊布尼茲的工作，在科學上，重大的真理往往在條件成熟的一定時期的探索者相互獨立地發(fā)現，微積分地出來，情形也是如此。所以說在微積分的創(chuàng)立上牛頓需要與萊布尼茨分享榮譽。,第七章 分析時代,一、18世紀微積分發(fā)展包括哪幾個主要方面？(Z)二、簡述18世紀常微分方程的發(fā)展過程。三、簡述18世紀微分幾何的形成過程。四、簡述哥德巴赫猜想與華林問題。,一、 18世紀微積分發(fā)展包括哪幾個主要方面？P176—187

34、(Z)答： （一）積分技術與橢圓積分，（二）微積分向多元函數的推廣，（三）無窮級數理論，（四）函數概念的深化，（五）微積分嚴格化的嘗試。,二、 簡述18世紀常微分方程的發(fā)展過程。P188答：1、常微分方程是伴隨著微積分一起發(fā)展起來的，從17世紀末開始，擺的運動、彈性理論以及天體力學等實際問題的研究引出了一系列常微分方程，2、數學家們起初是采取特殊的技巧來對付特殊的方程，但逐漸開始尋找?guī)毡樾缘姆椒ǎ纾喝R布尼茲1691

35、年分離變量法，1696年雅各布伯努利的“伯努利方程”；歐拉和克萊洛的“積分因子法”3、歐拉1743年關于n階常系數線性齊次方程的完整解法。4、18世紀常微分方程求解的最高成就是拉格朗日1774――1775年間用參數變易法解出了一般n階變系數非齊次常微分方程。,三、 簡述18世紀微分幾何的形成過程。P196答：1、1731年十八歲的法國青年數學家克萊洛發(fā)表《關于雙重曲率曲線的研究》，開創(chuàng)了空間曲線理論，是建立微分幾何的的重要一步；

36、2、歐拉是微分幾何的重要奠基人。他早在1736年就引進了平面曲線的內在坐標概念；3、18世紀微分幾何的發(fā)展由于蒙日的工作而臻于高峰，1795年發(fā)表的《關于分析的幾何應用的活頁論文》是第一步系統的微分幾何著述。,第八章 代數學的新生,一、 數學家阿貝爾通過證明什么樣的結論解決了五次和高于五次的一般方程的求解問題？二、 布爾的邏輯代數思想集中在他的哪兩本書中。三、《算術研究》的作者是誰，發(fā)表的年份是何時？它的發(fā)表有何意義。,二、 布

37、爾的邏輯代數思想集中在他的哪兩本書中。P219答：布爾(英國數學家，1815－－1864)的邏輯代數思想集中在他的1847年發(fā)表的《邏輯的數學分支》和1854年出版的《思維規(guī)律研究》。,三、《算術研究》的作者是誰，發(fā)表的年份是何時？它的發(fā)表有何意義。P221答 ：《算術研究》是德國數學家高斯在1801年發(fā)表的。在19世紀以前，數論只是一系列孤立的結果，《算術研究》發(fā)表后數論作為現代數學的一個重要分支得到了系統的發(fā)展?！端阈g研

38、究》中有三個主要思想：同余理論，復整數理論和型的理論。,第九章 幾何學的變革,一、 非歐幾何三位發(fā)明人（高斯、波約、羅巴切夫斯基）中哪位是最早、最系統地發(fā)表自己關于非歐幾何的研究成果？二、 最先理解非歐幾何全部意義的數學家是誰？在歐幾里得空間中給出非歐幾何的直觀模型的數學家有哪幾位？三、在射影幾何的發(fā)展過程中，龐斯列有哪些創(chuàng)舉？,一、 非歐幾何三位發(fā)明人（高斯、波約、羅巴切夫斯基）中哪位是最早、最系統地發(fā)表自己關于非歐幾何的研究成

39、果？P230答：羅巴切夫斯基,二、 最先理解非歐幾何全部意義的數學家是誰？在歐幾里得空間中給出非歐幾何的直觀模型的數學家有哪幾位？P235­——236答：最先理解非歐幾何全部意義的數學家是黎曼 在歐幾里得空間中給出非歐幾何的直觀模型的數學家有：意大利數學家貝爾特拉米、德國數學家克萊因和法國數學家龐加萊。,三、 在射影幾何的發(fā)展過程中，龐斯列有哪些創(chuàng)舉？P239——240答：龐斯列（法國數學家，1788－1

40、867）1822年出版的《論圖形的射影性質》，帶來了這門學科歷史上的黃金時期。龐斯列有探討一般問題：圖形在射影和截影下保持不變的性質；選擇并發(fā)展了對偶與調和點列理論；采用中心投影而不是平行投影及兩個基本原理——連續(xù)性原理和對偶原理的創(chuàng)舉。,第十章 分析的嚴格化,一、柯西在分析基礎工作方面做了哪些工作？二、魏爾斯特拉斯在1861年舉出一個什么例子來說明存在處處連續(xù)但卻處處不可微的函數？三、 魏爾斯特拉斯關于分析嚴格化的突出表現是創(chuàng)造

41、了一套什么語言？四、集合論的建立是由哪些問題研究而導致的？五、19世紀分析的擴展表現在哪些方面？（Z),一、 柯西在分析基礎工作方面做了哪些工作？P247答：柯西（法國數學家，1789——1851）在分析基礎工作方面，他寫出了一系列著作，其中最有代表性的是《分析教程》（1821）和《無窮小計算教程概論》（1823），它們以嚴格化為目標，對微積分的基本概念，如變量、函數、極限、連續(xù)性、導數、微分、收斂等等給出了明確的定義，并在此基

42、礎上重建和拓展了微積分的重要事實與定理。,三、 魏爾斯特拉斯關于分析嚴格化的突出表現是創(chuàng)造了一套什么語言？P253答：魏爾斯特拉斯關于分析嚴格化的突出表現是創(chuàng)造了一套語言。,四、 集合論的建立是由哪些問題研究而導致的？P255答：在分析的嚴格化過程中，一些基本概念如極限、實數、級數等的研究都涉及到由無窮多個元素組成的集合，特別是在對那些不連續(xù)函數進行分析時，需要對使函數不連續(xù)或使收斂問題變得很困難的點集進行研究，這樣就導致了

43、集合論的建立。,五、 19世紀分析的擴展表現在哪些方面？P258——263(Z)答：1、復分析的建立2、解析數論的形成3、數學物理方程與微分方程,第十一章 20世紀數學概觀（I）純粹數學的主要趨勢,一、 與19世紀相比，20世紀純粹數學的發(fā)展表現出哪些主要的特征與趨勢？(Z)二、 1900年德國數學家希爾伯特在巴黎國際數學家大會上作演說中提出23個數學問題，至今這23個問題解決狀況如何？三、 集合論觀點的滲透和公理化方法

44、的運用導致20世紀上半葉哪四大數學抽象分支的崛興？四、簡述實變函數論的建立。,五、“泛函”這個名稱是由誰最先采用的？為什么說泛函分析的建立體現了20世紀在集合論影響下空間和函數這兩個基本概念的進一步變革？六、《環(huán)中的理想論》的作者是誰?七、拓撲學研究什么內容?“拓撲學”這一術語是由何人首先引用的?八、簡述概率論起源以及公理化后概率論取得哪些突破？九、舉例說明20世紀下半葉不同分支領域的數學思想與數學方法互相融合導致重大發(fā)現的事

45、實。十、試述羅素關于集合的悖論。十一、數學基礎的三大學派是什么?(Z)十二、現代數理邏輯的四大分支是什么？(Z),一、 與19世紀相比，20世紀純粹數學的發(fā)展表現出哪些主要的特征與趨勢？P271答：1、更高的抽象性2、更強的統一性3、更深入的基礎探討,二、 1900年德國數學家希爾伯特在巴黎國際數學家大會上作演說中提出23個數學問題，至今這23個問題解決狀況如何？P272——274答：太長，略，詳見教材。,三、 集

46、合論觀點的滲透和公理化方法的運用導致20世紀上半葉哪四大數學抽象分支的崛興？P276答：集合論觀點的滲透和公理化方法的運用導致20世紀上半葉實變函數論、范函分析、拓撲學和抽象代數四大數學抽象分支的崛興。,四、 簡述實變函數論的建立。P276——278答：1、法國數學家勒貝格1902年發(fā)表的《積分，長度與面積》中利用以集合論為基礎的“測度”概念而建立勒所謂“勒貝格積分”，2、在勒貝格積分的基礎上進一步推廣導數等其他微積分基本

47、概念，并重建微積分基本定理（微分運算與積分運算的互逆性）等微積分的基本事實，從而形成了一門新的數學分支——實變函數論,五、“泛函”這個名稱是由誰最先采用的？(P279)為什么說泛函分析的建立體現了20世紀在集合論影響下空間和函數這兩個基本概念的進一步變革？P279-280答：“泛函”這個名稱是由法國數學家阿達馬最先采用的.因為“空間”現在被理解為某類元素的集合，這些元素按習慣被稱作“點”，它們之間受到某種關系的約束，這些關系被稱之為空間

48、的結構，簡言之，“空間”僅僅是具有某種結構的集合，而“函數”的概念則推廣為兩空間之間的元素（映射）關系。所以說泛函分析的建立體現了20世紀在集合論影響下空間和函數這兩個基本概念的進一步變革,六、 《環(huán)中的理想論》的作者是誰?P282答：《環(huán)中的理想論》的作者是諾特（1882－1935）。,七、 拓撲學研究什么內容?“拓撲學”這一術語是由何人首先引用的?P285答：拓撲學研究幾何圖形的連續(xù)性質，即在連續(xù)變形下保持不變的性質（允

49、許拉伸、扭曲，但不能割斷和粘合）?！巴負鋵W”這一術語是由高斯的學生李斯廷1847年首先引用的。,八、 簡述概率論起源以及公理化后概率論取得哪些突破？P287、P291答：概率論起源于博弈問題。P287公理化后概率論取得如下突破：P2911、  使隨機過程的研究獲得了新的起點，2、  隨機過程是“鞅”，鞅論使隨機過程的研究進一步抽象化，1942年開始，日本數學家伊藤清引進隨機積分與隨機微分方程，不僅開辟了隨

50、機過程研究的新道路，而且為一門意義深遠的數學新分支——隨機分析的創(chuàng)立與發(fā)展奠定了基礎。,九、 舉例說明20世紀下半葉不同分支領域的數學思想與數學方法互相融合導致重大發(fā)現的事實。P292-297答：1.微分拓撲與代數拓撲 2．整體微分幾何 3．代數幾何 4．多復變函數論 5．動力系統 6．偏微分方程與泛函分析 7．隨機分析,十、 試述羅素關于集合的悖論。P298

51、答：以M表示是其自身成員的集合的幾何，N表示不是其自身成員的集合的集合。然后問：集合N是否為它自身的成員？如果N是它自身的成員，則N屬于M而不屬于N，也就是說N不是它自身的成員；另一方面，如果N不是它自身的成員，則N屬于N而不屬于M，也就是說N是它自身的成員。無論出現哪一種情況，都將導出矛盾的結論。,十一、 數學基礎的三大學派是什么?P300(Z)答：1。以羅素為代表的邏輯主義2．以布勞威爾為代表的直覺主義3．以希爾伯特

52、為代表的形式主義,十二、 現代數理邏輯的四大分支是什么？P303(Z)答：1。公理化集合論 2．證明論 3．模型論 4．遞歸論,第十二章 20世紀數學概觀（II）空前發(fā)展的應用數學,一、 應用數學新時代具有哪幾個方面特點？二、 數學向其他科學滲透表現在哪些方面？三、 簡述數理統計、運籌學、控制論發(fā)展過程。四、 簡述電子計算機的誕生。五、計算機對數學的影響表現在哪些方面？ (Z),一、

53、 應用數學新時代具有哪幾個方面特點？P307——309答：1、數學的應用突破了傳統的范圍而向人類幾乎所有的知識領域滲透，2、純粹數學幾乎所有的分支都獲得了應用，其中最抽象的一些分支也參與了滲透，3、現代數學對生產技術的應用變得越來越直接，4、  現代數學在向外滲透的過程中，產生了一些相對獨立的應用學科如：數理統計、運籌學、控制論等等。,二、 數學向其他科學滲透表現在哪些方面？P309答：1、數學物理2、生物數學

54、3、數理經濟學,三、 簡述數理統計、運籌學、控制論發(fā)展過程。P317——324答：略四、 簡述電子計算機的誕生。P325答：略,五、 計算機對數學的影響表現在哪些方面？P330(Z)答：1、計算數學的興旺2、純粹數學研究與計算機3、計算機科學中的數學,第十三章 20世紀數學概觀（III）現代數學成果十例,一、 簡述20世紀十例現代數學成果的內容。(Z)二、  龐加萊猜想、哥德巴赫猜想、黎曼猜想的

55、內容是什么?,一 簡述20世紀十例現代數學成果的內容。Z答：1．哥德爾不完全性定理P3392．高斯－博內公式的推廣P3413．米爾諾怪球P3434．阿蒂亞－辛格指標定理P3445．孤立子與非線性偏微分方程P3456．四色問題P3477．分形與混沌P3498．有限單群分類P3539．費馬大定理的證明P35510．若干著名未決猜想的進展359,第十四章 數學與社會,一、 為什么說數學的發(fā)展與社會的進化之間聯系是雙向的？

56、(Z)二、 數學如何促進社會進步？三、 1850——1899年間創(chuàng)辦，至今仍在發(fā)行的主要數學期刊有哪些？四、 中國數學會是何年建立的？五、 試述各屆國際數學家大會召開年份與地點。六、 兩項影響最大的國際數學獎勵是什么獎？中國數學家何人、何年、在何領域取得其中的那個獎？,一、 為什么說數學的發(fā)展與社會的進化之間聯系是雙向的？P363(Z)答：一方面，數學的發(fā)展依賴于社會環(huán)境，受著社會經濟、政治和文化等諸多因素的影響；

57、另一方面，數學的發(fā)展又反過來對人類社會的進步起推動作用，包括對人類物質文明和精神文明兩大方面的影響。,二、 數學如何促進社會進步？P363——364答：數學的發(fā)展對人類社會的進步起推動作用，包括對人類物質文明和精神文明兩大方面的影響。數學對人類物質文明的影響，最突出的是反映在與能從根本上改變人類物質生活方式的產業(yè)革命的關系上。人類歷史上先后共有三次重大的產業(yè)革命，其主體技術都與數學的新理論、新方法的應用有直接或間接的關聯；數學對于人類

58、精神文明的影響同樣也很深刻，數學本就是一種精神，一種探索精神，這種精神的兩個要素，即對理性（真理）與完美的追求，千百年來對人們的思維方式、教育方式以及世界觀、藝術觀等的影響是不容否認的，數學往往成為解放思想的決定性武器。,三、 1850——1899年間創(chuàng)辦，至今仍在發(fā)行的主要數學期刊有哪些？P372答：《純粹與應用數學年報》（1850，意大利）《數學匯刊》（1865，俄國）《數學年刊》（1868，德國）《美國數學雜志》（187

59、8，美國）《數學年報》（1882，瑞典）《數學年刊》（1884，美國）《美國數學月刊》（1894，美國）。,四、 中國數學會是建立何年建立的？P376答：1935年中國數學會建立的。五、 試述各屆國際數學家大會召開年份與地點。P375答：略,六、兩項影響最大的國際數學獎勵是什么獎？中國數學家何人、何年、在何領域取得其中的那個獎？P376，P378——379答：兩項影響最大的國際數學獎勵是菲爾茲獎和沃爾夫獎，中國

60、數學家丘成桐，1983年，微分幾何，偏微分方程，相對論，菲爾茲獎。中國數學家陳省身，1984年，整體微分幾何，沃爾夫獎,第十五章 中國現代數學的開拓,一、 試述17世紀初至19世紀末在中國出現兩次西方數學傳播的高潮的時間與內容。二、 中國第一個大學數學系是在哪所大學設立？三、 1912年至1930年中國有哪些大學創(chuàng)辦了數學系？四、  簡述華羅庚生平五、  寫一篇學習數學史教程的心得體會。(Z),一、 試

61、述17世紀初至19世紀末在中國出現兩次西方數學傳播的高潮的時間與內容。P381答：第一次是從17世紀初到18世紀初，標志性的事件是歐幾里得《原本》的首次翻譯，17世紀中頁以后，文藝復興時代以來發(fā)展起來的西方初等數學知識如三角學、透視學、代數學等也部分傳入中國；第二次高潮是從19世紀中葉開始，除了初等數學，這一時期傳入的數學知識還包括了解析幾何、微積分、無窮級數論、概率論等近代數學。,二、 中國第一個大學數學系是在哪所大學設立？P38

62、3答：1912，中國第一個大學數學系是在北京大學數學系成立。,三、 1912年至1930年中國有哪些大學創(chuàng)辦了數學系？P384答：北京大學、清華大學、南開大學、浙江大學、南京大學、北京師范大學、武漢大學、廈門大學、四川大學、中山大學、東北大學、交通大學、安徽大學、山東大學、河南大學。,一、  簡述華羅庚生平P387答：略二、  寫一篇學習數學史教程的心得體會。答：略(Z),一、填空題（每空

63、1分，共30分）(Z) 1．歷史學家往往把興起于­­­­­­­­­­­­­­­­ 、 、 和 等地域的古代文明稱為“河谷文明”。 埃及、美索不達亞、中國、印度2．歐幾里得是希臘論證幾何學的集大成者

64、，他的著作中，最重要的莫過于 ?！对尽?3．在現存的中國古代數學著作中， ——是最早的一部。《周髀算經》4．《九章算術》“ ”、“ ”、“ ”諸章集中討論比例問題。 粟米、衰分、均輸5．劉徽數學成就中最突出的是“ ”和 。割圓術、體積理論,6． 的推導和 的計算是祖沖之本人引以為榮的兩大數學

65、成就。球體積 圓周率7．宋元數學發(fā)展中一個最深刻的動向是代數符號化的嘗試，這就是“ ”和“ ”。天元術 四圓術8．數學符號系統化首先歸功于法國數學家 。韋達9．解析幾何的真正發(fā)明歸功于法國另外兩位數學家 和 。 笛卡兒 費馬,10．牛頓的《 》標志著微積分的誕生。流數簡論11．18世紀微積分最重大的進步是由

66、 作出的。歐拉12．“巴黎三L”指 、 、 。拉普拉斯 拉格朗日 勒讓德 13.___________是歷史上并不多見的以“神童”著稱的一位數學家。高斯14.___________-可以說是最先理解非歐幾何全部意義的數學家。黎曼 15．19世紀偏微分方程發(fā)展的序幕，是由法國數學家 拉開的。傅立葉,16．現代數理統計學作為一門獨