應(yīng)用統(tǒng)計(jì)分析

1、2024/3/19,1,第一章 多元正態(tài)分布第二章 均值向量和協(xié)方差陣的檢驗(yàn)第三章 聚類分析第四章 判別分析第五章 主成分分析第六章 因子分析第七章 對(duì)應(yīng)分析第八章 典型相關(guān)分析 第九章 定性數(shù)據(jù)的建模分析第十章 路徑分析第十一章 結(jié)構(gòu)方程模型 第十二章 聯(lián)合分析第十三章 多變量的圖表示法 第十四章 多維標(biāo)度法,2024/3/19,3,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

2、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,均值及協(xié)方差陣的檢驗(yàn),1999年財(cái)政部、國(guó)家經(jīng)貿(mào)委、人事部和國(guó)家計(jì)委聯(lián)合發(fā)布了《國(guó)有資本金效績(jī)?cè)u(píng)價(jià)規(guī)則》。其中，對(duì)競(jìng)爭(zhēng)性工商企業(yè)的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系包括下面八大基本指標(biāo)：凈資產(chǎn)收益率、總資產(chǎn)報(bào)酬率、總資產(chǎn)周轉(zhuǎn)率、流動(dòng)資產(chǎn)周轉(zhuǎn)率、資產(chǎn)負(fù)債率、已獲利息倍數(shù)、銷售增長(zhǎng)率和資本積累率。借助于這一指標(biāo)體系對(duì)我國(guó)35家上市公司的運(yùn)營(yíng)情況進(jìn)行分析，這些上市公司分別來(lái)自于電力、煤

3、氣及水的生產(chǎn)和供應(yīng)業(yè)，房地行業(yè)，信息技術(shù)業(yè)。,聚類分析,城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平通常用人均糧食支出、人均副食支出、人均煙酒飲料支出、人均其他副食支出、人均衣著支出、人均日用雜品支出、人均水電燃料支出、人均其他食品支出等八項(xiàng)指標(biāo)來(lái)描述，八項(xiàng)指標(biāo)間存在一定的線性相關(guān)。為研究城鎮(zhèn)居民的消費(fèi)結(jié)構(gòu)，需將相關(guān)性強(qiáng)的指標(biāo)歸并到一起，這實(shí)際就是對(duì)指標(biāo)聚類。,判別分析,上述問(wèn)題，判別廣東、河南、西藏的消費(fèi)水平,主成分分析,在經(jīng)濟(jì)效益的評(píng)價(jià)中，設(shè)計(jì)的指標(biāo)往往很多，

4、為了抓住經(jīng)濟(jì)效益評(píng)價(jià)中的主要問(wèn)題，需要進(jìn)行主成分分析。,2024/3/19,7,第一章 多元正態(tài)分布,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,§1.1 多元分布的基本概念,§1.2 統(tǒng)計(jì)距離和馬氏距離,§1.3 多元正態(tài)分布,§1.4 均值向量和協(xié)方差陣的估計(jì),§1.5 常用分布及抽樣分布,學(xué)習(xí)目標(biāo),掌握多元分布的有關(guān)概念掌握統(tǒng)計(jì)距離與馬氏距離的概念理解多

5、元正態(tài)分布的定義及其有關(guān)性質(zhì)了解常用多元分布及其抽樣分布的定義和基本性質(zhì),2024/3/19,8,2024/3/19,9,第一章 多元正態(tài)分布,一元正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論和實(shí)際應(yīng)用中都有著重要的地位。同樣，在多變量統(tǒng)計(jì)學(xué)中，多元正態(tài)分布也占有相當(dāng)重要的位置。原因是：許多隨機(jī)向量確實(shí)遵從正態(tài)分布，或近似遵從正態(tài)分布；對(duì)于多元正態(tài)分布，已有一整套統(tǒng)計(jì)推斷方法，并且得到了許多完整的結(jié)果。,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2024

6、/3/19,10,第一章 多元正態(tài)分布,,,多元正態(tài)分布是最常用的一種多元概率分布。除此之外，還有多元對(duì)數(shù)正態(tài)分布，多項(xiàng)式分布，多元超幾何分布，多元 分布、多元 分布、多元指數(shù)分布等。本章從多維變量及多元分布的基本概念開(kāi)始，著重介紹多元正態(tài)分布的定義及一些重要性質(zhì)。,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2024/3/19,11,§1.1多元分布的基本概念,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,§1

7、.1.1 隨機(jī)向量,§1.1.2 分布函數(shù)與密度函數(shù),§1.1.3 多元變量的獨(dú)立性,§1.1.4 隨機(jī)向量的數(shù)字特征,2024/3/19,12,§1.1.1 隨機(jī)向量,,,,,,表示對(duì)同一個(gè)體觀測(cè)的 個(gè)變量。若觀測(cè)了 個(gè)個(gè)體，則可得到如下表1-1的數(shù)據(jù)，稱每一個(gè)個(gè)體的 個(gè)變量為一個(gè)樣品，而全體 個(gè)樣品形成一個(gè)樣本。,假定所討論的是多個(gè)變量的總體，所研究的

8、數(shù)據(jù)是同時(shí)觀測(cè) 個(gè)指標(biāo)（即變量），又進(jìn)行了 次觀測(cè)得到的，把這 個(gè)指標(biāo)表示為 常用向量,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2024/3/19,13,,,,,,,橫看表1-1，記 ， 它表示第 個(gè)樣品的觀測(cè)值。豎看表1-1,第 列的元素 表示對(duì) 第個(gè)變量 的n次觀測(cè)數(shù)值。下面為表1-1,,,,,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

9、結(jié)束,§1.1.1 隨機(jī)向量,2024/3/19,14,因此,樣本資料矩陣可用矩陣語(yǔ)言表示為:,定義1.1 設(shè) 為 個(gè)隨機(jī)變量，由它們組成的向量 稱為隨機(jī)向量。,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,§1.1.1 隨機(jī)向量,若無(wú)特別說(shuō)明，所稱向量均指列向量,2024/3/19,15,定義1.2 設(shè) 是一隨機(jī)向量，它的多元分

10、布函數(shù)是,,式中， ，并記成 。,§1.1.2 分布函數(shù)與密度函數(shù),描述隨機(jī)變量的最基本工具是分布函數(shù)，類似地描述隨機(jī)向量的最基本工具還是分布函數(shù)。,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2024/3/19,16,§1.1.2 分布函數(shù)與密度函數(shù),,,,,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,定義1.3：設(shè) = ,若存

11、在一個(gè)非負(fù)的函數(shù) ,使得,,對(duì)一切 成立，則稱 （或 ）有分布密度 并稱 為連續(xù)型隨機(jī)向量。,一個(gè) 維變量的函數(shù) 能作為 中某個(gè)隨機(jī)向量的分布密度，當(dāng)且僅當(dāng),2024/3/19,17,§1.1.3 多元變量的獨(dú)立性,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,,,,,,,,,,,,,,,,,,注意:在上述定義中， 和 的維數(shù)一般是不同的。,若 有密度 ，用

12、 分別表示 和 的分布密度，則 和 獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng) (1.5),2024/3/19,18,§1.1.4 隨機(jī)向量的數(shù)字特征,是一個(gè) 維向量，稱為均值向量.,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,,,,,當(dāng) 為常數(shù)矩陣時(shí)，由定義可立即推出如下性質(zhì)：,1、隨機(jī)向量 的均值 設(shè)

13、有 個(gè)分量。若 存在， 定義隨機(jī)向量 的均值為,,,2024/3/19,19,§1.1.4 隨機(jī)向量的數(shù)字特征,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,2、隨機(jī)向量 自協(xié)方差陣,,稱它為 維隨機(jī)向量 的協(xié)方差陣，簡(jiǎn)稱為 的協(xié)方差陣。稱 為 的廣義方差，它是協(xié)差陣的行列式之值。,2024/3/19,20,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

14、結(jié)束,§1.1.4 隨機(jī)向量的數(shù)字特征,3、隨機(jī)向量X 和Y 的協(xié)差陣,,,,,設(shè) 分別為 維和 維隨機(jī)向量，它們之間的協(xié)方差陣定義為一個(gè) 矩陣，其元素是 ，即,,,,當(dāng)A、B為常數(shù)矩陣時(shí)，由定義可推出協(xié)差陣有如下性質(zhì)：,,2024/3/19,21,,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,§1.1.4 隨機(jī)向量的數(shù)字特征,（3

15、）設(shè)X為 維隨機(jī)向量，期望和協(xié)方差存在記 則,對(duì)于任何隨機(jī)向量 來(lái)說(shuō)，其協(xié)差陣∑都是對(duì)稱陣，同時(shí)總是非負(fù)定（也稱半正定）的。大多數(shù)情形下是正定的。,2024/3/19,22,目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

16、返回 結(jié)束,§1.1.4 隨機(jī)向量的數(shù)字特征,,,4、隨機(jī)向量X 的相關(guān)陣 若隨機(jī)向量 的協(xié)差陣存在,且每個(gè)分量的方差大于零，則X的相關(guān)陣定義為:,,也稱為分量 與 之間的（線性）相關(guān)系數(shù)。,,,2024/3/19,23,在數(shù)據(jù)處理時(shí)，為了克服由于指標(biāo)的量綱不同對(duì)統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果帶來(lái)的影響，往往在使用某種統(tǒng)計(jì)分析方法之前，常需將每個(gè)指標(biāo)“標(biāo)準(zhǔn)化”，即做如下變換,目錄 上頁(yè)

17、 下頁(yè) 返回 結(jié)束,§1.1.4 隨機(jī)向量的數(shù)字特征,2024/3/19,24,§1.2 統(tǒng)計(jì)距離和馬氏距離,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,歐氏距離,馬氏距離,2024/3/19,25,§1.2 統(tǒng)計(jì)距離和馬氏距離,歐氏距離,在多指標(biāo)統(tǒng)計(jì)分析中,距離的概念十分重要,樣品間的不少特征都可用距離去描述。大部分多元方法是建立在簡(jiǎn)單的距離概念基礎(chǔ)上的。即平時(shí)人們熟悉的歐氏距離,或稱直線距離.如幾何平面

18、上的點(diǎn)p=(x1,x2)到原點(diǎn)O=(0,0)的歐氏距離,依勾股定理有,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2024/3/19,26,§1.2 統(tǒng)計(jì)距離和馬氏距離,但就大部分統(tǒng)計(jì)問(wèn)題而言，歐氏距離是不能令人滿意的。這里因?yàn)?，每個(gè)坐標(biāo)對(duì)歐氏距離的貢獻(xiàn)是同等的。當(dāng)坐標(biāo)軸表示測(cè)量值時(shí)，它們往往帶有大小不等的隨機(jī)波動(dòng)，在這種情況下，合理的辦法是對(duì)坐標(biāo)加權(quán)，使得變化較大的坐標(biāo)比變化小的坐標(biāo)有較小的權(quán)系數(shù)，這就產(chǎn)生了各種距離。 歐氏

19、距離還有一個(gè)缺點(diǎn)，這就是當(dāng)各個(gè)分量為不同性質(zhì)的量時(shí)，“距離”的大小竟然與指標(biāo)的單位有關(guān)。,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2024/3/19,27,§1.2 統(tǒng)計(jì)距離和馬氏距離,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,,例如，橫軸 代表重量（以kg為單位），縱軸 代表長(zhǎng)度（以cm為單位）。有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D見(jiàn)圖1.1，它們的坐標(biāo)如圖1.1所示,2024/3/19,28,§1.2 統(tǒng)計(jì)距離和馬氏距離,目

20、錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,這時(shí),顯然AB比CD要長(zhǎng)。,現(xiàn)在，如果 用mm作單位， 單位保持不變，此時(shí)A坐標(biāo)為（0，50），C坐標(biāo)為（0，100），則,結(jié)果CD反而比AB長(zhǎng)！這顯然是不夠合理的。,2024/3/19,29,§1.2 統(tǒng)計(jì)距離和馬氏距離,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,因此，有必要建立一種距離，這種距離要能夠體現(xiàn)各個(gè)變量在變差大小上的不同，以及有時(shí)存在著的相關(guān)性，還要求距離與各變量所用的單位無(wú)關(guān)

21、。看來(lái)我們選擇的距離要依賴于樣本方差和協(xié)方差。因此，采用“統(tǒng)計(jì)距離” 這個(gè)術(shù)語(yǔ)，以區(qū)別通常習(xí)慣用的歐氏距離。最常用的一種統(tǒng)計(jì)距離是印度統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬哈拉諾比斯（Mahalanobis）于1936年引入的距離，稱為“馬氏距離”。,2024/3/19,30,§1.2 統(tǒng)計(jì)距離和馬氏距離,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,下面先用一個(gè)一維的例子說(shuō)明歐氏距離與馬氏距離在概率上的差異。,設(shè)有兩個(gè)一維正態(tài)總體

22、 。若有一個(gè)樣品，其值在A處，A點(diǎn)距離哪個(gè)總體近些呢？由圖1-2,圖1-2,2024/3/19,31,§1.2 統(tǒng)計(jì)距離和馬氏距離,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,,,,,由圖1-2可看出,從絕對(duì)長(zhǎng)度來(lái)看,A點(diǎn)距左面總體G1近些,即A點(diǎn)到 比A點(diǎn)到 要“近一些”（這里用的是歐氏距離，比較的是A點(diǎn)坐標(biāo)與 到 值之差的絕對(duì)值），但從概率觀點(diǎn)來(lái)看，A點(diǎn)在 右側(cè)約4 處，A點(diǎn)在 的左側(cè)約3 處，若

23、以標(biāo)準(zhǔn)差的觀點(diǎn)來(lái)衡量，A點(diǎn)離 比A點(diǎn)離 要“近一些”。顯然，后者是從概率角度上來(lái)考慮的，因而更為合理些，它是用坐標(biāo)差平方除以方差（或說(shuō)乘以方差的倒數(shù)），從而化為無(wú)量綱數(shù)，推廣到多維就要乘以協(xié)方差陣∑的逆矩陣 ，這就是馬氏距離的概念，以后將會(huì)看到，這一距離在多元分析中起著十分重要的作用。,2024/3/19,32,§1.2 統(tǒng)計(jì)距離和馬氏距離,馬氏距離,設(shè)X、Y從均值向量為μ，協(xié)方差陣為∑的總體G中抽取的兩個(gè)樣品，定義X

24、、Y兩點(diǎn)之間的馬氏距離為,,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2024/3/19,33,§1.2 統(tǒng)計(jì)距離和馬氏距離,,,,,,設(shè) 表示一個(gè)點(diǎn)集， 表示距離，它 是到 的函數(shù)，可以證明,馬氏距離符合如下距離的四條基本公理 :,,（2） 當(dāng)且僅當(dāng) ；,,,（3）,,,（4）,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2024/3/19,34,

25、7;1.3 多元正態(tài)分布,多元正態(tài)分布是一元正態(tài)分布的推廣。迄今為止,多元分析的主要理論都是建立在多元正態(tài)總體基礎(chǔ)上的,多元正態(tài)分布是多元分析的基礎(chǔ)。另一方面，許多實(shí)際問(wèn)題的分布常是多元正態(tài)分布或近似正態(tài)分布，或雖本身不是正態(tài)分布，但它的樣本均值近似于多元正態(tài)分布。 本節(jié)將介紹多元正態(tài)分布的定義，并簡(jiǎn)要給出它的基本性質(zhì)。,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2024/3/19,35,§1.3 多元正態(tài)分布,目錄 上

26、頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2024/3/19,36,§1.3.1 多元正態(tài)分布的定義,|∑|為協(xié)差陣∑的行列式。,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,定義1.5：若 元隨機(jī)向量 的概率密度函數(shù)為：,,則稱 遵從 元正態(tài)分布，也稱X為 元正態(tài)變量。記為,2024/3/19,37,定理1.1將正態(tài)分布的參數(shù)μ和∑賦于了明確的統(tǒng)計(jì)意義。,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

27、 結(jié)束,§1.3.1 多元正態(tài)分布的定義,,,定理1.1：設(shè) 則,2024/3/19,38,§1.3.2 多元正態(tài)分布的性質(zhì),目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,1、如果正態(tài)隨機(jī)向量 的協(xié)方差陣∑是對(duì)角陣，則X的各分量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。,,,容易驗(yàn)證， ，但 顯然不是正態(tài)分布。,,2、多元正態(tài)分布隨機(jī)

28、向量X的任何一個(gè)分量子集的分布（稱為X的邊緣分布）仍然遵從正態(tài)分布。而反之，若一個(gè)隨機(jī)向量的任何邊緣分布均為正態(tài)，并不能導(dǎo)出它是多元正態(tài)分布。例如，設(shè) 有分布密度,2024/3/19,39,,,,,§ 1.3.2 多元正態(tài)分布的性質(zhì),目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,,3、多元正態(tài)向量 的任意線性變換仍然遵從多元正態(tài)分布。即設(shè) ，而 維隨機(jī)向

29、量 ，其中 是 階的常數(shù)矩陣， 是 維的常向量。則 維隨機(jī)向量 也是正態(tài)的，且 。即 遵從 元態(tài)分布，其均值向量為 ，協(xié)差陣為 。,,,4、若 ，則 若為定值，隨著 的變化其軌跡為一橢球面，是 的密度函數(shù)的等值面.若 給定，則 為 到 的馬氏距離。,2024/3/19,40

30、,§ 1.3.3 條件分布和獨(dú)立性,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,我們希望求給定 的條件分布，即 的分布。下一個(gè)定理指出：正態(tài)分布的條件分布仍為正態(tài)分布。,,,設(shè) p≥2,將X、μ和Σ剖分如下：,2024/3/19,41,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,§ 1.3.3 條件分布和獨(dú)立性,,定理1.2：設(shè) ，Σ>0，則,2024/3

31、/19,42,§1.4 均值向量和協(xié)方差陣的估計(jì),上節(jié)已經(jīng)給出了多元正態(tài)分布的定義和有關(guān)的性質(zhì),在實(shí)際問(wèn)題中,通常可以假定被研究的對(duì)象是多元正態(tài)分布,但分布中的參數(shù)μ和Σ是未知的,一般的做法是通過(guò)樣本來(lái)估計(jì)。,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2024/3/19,43,§1.4 均值向量和協(xié)方差陣的估計(jì),均值向量的估計(jì),在一般情況下,如果樣本資料陣為：,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2024/3/19

32、,44,§1.4 均值向量和協(xié)方差陣的估計(jì),即均值向量μ的估計(jì)量,就是樣本均值向量.這可由極大似然法推導(dǎo)出來(lái)。,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,,,設(shè)樣品 相互獨(dú)立,同遵從于P元正態(tài)分布 ,而且 ,Σ>0,則總體參數(shù)均值μ的估計(jì)量是,2024/3/19,45,§1.4 均值向量和協(xié)方差陣的估計(jì),協(xié)方差陣的估計(jì),總體參數(shù)協(xié)差陣Σ的極大似然估計(jì)是,,目錄 上

33、頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,,2024/3/19,46,§1.4 均值向量和協(xié)方差陣的估計(jì),目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,2024/3/19,47,§1.5常用分布及抽樣分布,,多元統(tǒng)計(jì)研究的是多指標(biāo)問(wèn)題,為了了解總體的特征,通過(guò)對(duì)總體抽樣得到代表總體的樣本,但因?yàn)樾畔⑹欠稚⒃诿總€(gè)樣本上的,就需要對(duì)樣本進(jìn)行加工,把樣本的信息濃縮到不包含未知量的樣本函數(shù)中,這個(gè)函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量,如前面介紹的樣本均值向量

34、 、樣本離差陣 等都是統(tǒng)計(jì)量.統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.,在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的抽樣分布有 分布、 分布和 分布.在多元統(tǒng)計(jì)中,與之對(duì)應(yīng)的分布非別為Wishart分布、 分布和Wilks分布.,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2024/3/19,48,§1.5常用分布及抽樣分布,1.5.2 分布與 分布,1.5.1 分布與Wishart分布,1.5.3 中心分布與Wilks分

35、布,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2024/3/19,49,分布有兩個(gè)重要的性質(zhì):,,,§1.5.1 分布與Wishart分布,,,,,,,在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,若 ( ),且相互獨(dú)立,則 所服從的分布為自由度為 的 分布(chi squared distribution),記為 .,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2024/3/19,50,2. 設(shè)

36、 ( ),且相互獨(dú)立, 為 個(gè) 階對(duì)稱陣,且 (階單位陣),記 , 則 為相互獨(dú)立的 分布的充要條件為 .此時(shí) , .,這個(gè)性質(zhì)稱為Cochran定理,在方差分析和回歸分析中起著重要作用.,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,§

37、;1.5.1 分布與Wishart分布,2024/3/19,51,所服從的分布稱為自由度為 的 維非中心Wishart分布,記為 ,,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,§1.5.1 分布與Wishart分布,2024/3/19,52,,,,由Wishart分布的定義知,當(dāng) 時(shí), 退化為 ,此時(shí)中心Wishart分布就退化為 ,由此可以看出, Wishart分布

38、實(shí)際上是 分布在多維正態(tài)情形下的推廣.,下面不加證明的給出Wishart分布的5條重要性質(zhì):,相互獨(dú)立.,和,(1),(2),,,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,§1.5.1 分布與Wishart分布,2024/3/19,53,,,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,§1.5.1 分布與Wishart分布,2.若,且相互獨(dú)立,則,2024/3/19,54,,,,,特別的,設(shè) 和

39、 分別為 和 的第 個(gè)對(duì)角元,則：,,5. 若 , 為任一 元非零常向量,比值,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,§1.5.1 分布與Wishart分布,2024/3/19,55,,,§1.5.2 分布與 分布,,,,,,,,,,,,,,,,在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,若 , ,且 與 相互獨(dú)立,

40、則稱 服從自由度為 的 分布,又稱為學(xué)生分布(student distribution),記為 .如果將 平方,即 ,則 ,即 分布的平方服從第一自由度為1第二自由度為 的中心分布.,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2024/3/19,56,,,,,,,,,,所服從的分布稱為第一自由度為 第

41、二自由度為 的中心 分布,記為,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,§1.5.2 分布與 分布,2024/3/19,57,,,,,§1.5.3 中心分布與Wilks分布,,,,,,,在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,若 , ,且與相互獨(dú)立,則稱 所服從的分布為第一自由度為 第二自由度為 的中心 分布.記為 . 分布本質(zhì)上是從正態(tài)總體 隨機(jī)抽取的

42、兩個(gè)樣本方差的比.,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2024/3/19,58,,所服從的分布稱為維數(shù)為 ,第一自由度為 第二自由度為 的Wilks Λ分布,記為,(1.34),定義1.9 設(shè) , , , ,且 與 相互獨(dú)立,則稱隨機(jī)變量,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,§1.5.3 中心分布與Wilks分布,2024/3/19,59,,目錄

43、 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,§1.5.3 中心分布與Wilks分布,由于Λ分布在多元統(tǒng)計(jì)中的重要性,關(guān)于它的近似分布和精確分布不斷有學(xué)者進(jìn)行研究,當(dāng)p和n2中的一個(gè)比較小時(shí), Λ分布可化為F分布,表1-2列舉了常見(jiàn)的情況.,,表1-2,2024/3/19,60,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,§1.5.3 中心分布與Wilks分布,,,當(dāng) 不屬于表1-2情況時(shí), Bartlett指出用 分布來(lái)近